人教版高中數(shù)學(xué)【選修1-1】[知識(shí)點(diǎn)整理及重點(diǎn)題型梳理]_變化率與導(dǎo)數(shù)_提高

1、精品文檔用心整理人教版高中數(shù)學(xué)選修1-1知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（?？贾R(shí)點(diǎn)）鞏固練習(xí)變化率與導(dǎo)數(shù)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（1）理解平均變化率的概念；（2）了解瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念；（3）理解導(dǎo)數(shù)的概念，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；（4）會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或瞬時(shí)變化率；【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：平均變化率問題1.變化率事物的變化率是相關(guān)的兩個(gè)量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值；2.平均變化率一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間x,x12上的平均變化率為：f(x2)-f(x1)x-x21dy,dy=f(x)-f(x),則函數(shù)f(x)從x到x的平均變化率為dydxx-x

2、要點(diǎn)詮釋：本質(zhì)：如果函數(shù)的自變量的“增量”為dx,且dx=x-x,相應(yīng)的函數(shù)值的“增量”為21f(x)-f(x)=21211221函數(shù)的平均變化率可正可負(fù)，平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢.即遞增或遞減幅度的大小。對(duì)于不同的實(shí)際問題，平均變化率富于不同的實(shí)際意義。如位移運(yùn)動(dòng)中，位移s（m）從t1秒到t2秒的平均變化率即為t1秒到t2秒這段時(shí)間的平均速度。高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中平均速度只能粗略地描述物體在某段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，要想更精確地刻畫物體運(yùn)動(dòng)，就要研究某個(gè)時(shí)刻的速度即瞬時(shí)速度。3.如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：作差：求出dy=f(x)-f(x)和dx=

3、x-x2121資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理作商：對(duì)所求得的差作商，即dyf(x)-f(x)=21dxx-x21。要點(diǎn)詮釋：1.dx是x1的一個(gè)“增量”，可用x1+dx代替x2，同樣dy=f(x2)-f(x1)。2.x是一個(gè)整體符號(hào)，而不是與x相乘。3.求函數(shù)平均變化率時(shí)注意x,y，兩者都可正、可負(fù)，但x的值不能為零，y的值可以為零。若函數(shù)y=f(x)為常函數(shù)，則y=0.知識(shí)點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的概念定義：函數(shù)f(x)在x=x處瞬時(shí)變化率是lim0dx0dydx=limdx0f(x+dx)-f(x)00dx，我們稱它為函數(shù)y=f(x)在x=x處的導(dǎo)數(shù),記作f(x)或y00即x=x0dx0

4、)f(xlim0dydx=limdx0f(x+dx)-f(x)00dx要點(diǎn)詮釋：增量dx可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0。dx0的意義：dx與0之間距離要多近有多近，即|dx-0|可以小于給定的任意小的正數(shù)。dx0時(shí)，y在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)。即存在一個(gè)常數(shù)與dyf(x+dx)-f(x)=00dxdx無限接近。導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率。如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)刻的瞬間變化率。知識(shí)點(diǎn)三：求導(dǎo)數(shù)的方法：求導(dǎo)數(shù)值的一般步驟：求函數(shù)的增量：dy=f(x+dx)-f(x)；00求平均變化率：dyf(x+dx)-f(x)=00dxdx

5、；dx0dx求極限，得導(dǎo)數(shù)：f(x)=lim0dy=limdx0f(x+dx)-f(x)00dx。也可稱為三步法求導(dǎo)數(shù)?！镜湫屠}】類型一：求平均變化率例1函數(shù)y=f(x)=1x在區(qū)間1，1+x內(nèi)的平均變化率為_。資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用=1-1+dx精品文檔用心整理【解析】dy=f(1+dx)-f(1)=1-11+dx1-(1+dx)=1+dx(1+1+dx)1+dx=-dx(1+1+dx)1+dx，dy1=-dx(1+1+dx)1+dx【點(diǎn)評(píng)】由于平均變化率是函數(shù)值增量與自變量增量之比，所以求函數(shù)在給定區(qū)間x0，x0+x上的平均變化率問題，就是求舉一反三：dyf(x+dx)-f(x)

6、1-1+dx=00的值。本例的關(guān)鍵是對(duì)進(jìn)行分子有理化。dxdx1+dx【變式1】求函數(shù)y=2x2+5在區(qū)間2，2+x上的平均變化率；并計(jì)算當(dāng)dx=12時(shí)，平均變化率的值?！敬鸢浮縟y=f(2+dx)-f(2)=2(2+dx)2+5-(222+5)=8dx+2(dx)2dydx=8+2dx，函數(shù)在區(qū)間2，2+x上的平均變化率為8+2dx。1dy當(dāng)dx=時(shí)，=8+2dx=9，即平均變化率的值為9.2dx【變式2】已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點(diǎn)a(-1,-2)及臨近一點(diǎn)b(-1+dx,-2+dy),則dydx=【答案】-2+dy=-(-1+dx)2+(-1+dx)，dy-(-1+dx)2

7、+(-1+dx)+2=3-dxdxdx【變式3】已知函數(shù)的平均變化率【答案】，分別計(jì)算在區(qū)間3，1，0，5上函數(shù)及函數(shù)函數(shù)在3，1上的平均變化率為在3,1上的平均變化率為在0，5上的平均變化率為資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理在0，5上的平均變化率為類型二：利用定義求導(dǎo)數(shù)值例2用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y=f(x)=1x在x=1處的導(dǎo)數(shù)。【解析】dy=f(1+dx)-f(1)=1-11+dx=1-1+dx1-1-dx=1+dx(1+1+dx)1+dx=-dx(1+1+dx)1+dxdyf(1)=limdy1=-dx(1+1+dx)1+dx1=-。dx0dx2【點(diǎn)評(píng)】利用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

8、值，需熟練掌握求導(dǎo)數(shù)的步驟和方法，即三步法。舉一反三：【變化率與導(dǎo)數(shù)383113例1】【變式1】（1）求函數(shù)f(x)=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).（2）求函數(shù)f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)【答案】(1)dy=f(1+dx)-f(1)=3(1+dx)2-3=6dx+3(dx)2dy6dx+3(dx)2=6+3dx,lim(6+3dx)=6，即f(1)=6.dxdxdx0所以函數(shù)f(x)=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù)為6.（2）依照定義，f(x)在x=-1的平均變化率，為兩增量之比，需先求dy=f(x+dx)-f(x)=-(-1+dx)2+(-1+dx)-2=3dx-(

9、dx)2，00=3-dx，即為f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均變化率。再求：dy3dx-(dx)2dxdx再由導(dǎo)數(shù)定義得：f(-1)=limdy=lim(3-dx)=3dx0dxdx0資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用【變式2】已知函數(shù)y=1x精品文檔用心整理-x，求函數(shù)在x=4處的導(dǎo)數(shù).f(4+dx)-f(4)【答案】（1）f(4)=lim=lim4+dx-(4+dx-2)-4+dx44+dx+24(4+dx)11-4+dx-(-2)4dx0dx0dxdx11-dxdx=lim=limdx0dx0dxdx=lim-=-dx04(4+dx)164+dx+2-115，【變式3】已知f(x)=

10、x+2，求f(x)，f(2)【答案】因?yàn)閐y=x+dx+2-x+2，所以dydx=x+dx+2-x+2(x+dx+2)-(x+2)=dxdx(x+dx+2+x+2)1x+dx+2+x+2。當(dāng)x0時(shí)，f(x)=12x+2，當(dāng)x=2時(shí)，f(2)=11=。22+242類型三：實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例3.設(shè)一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程是：s(t)=vt+10at2，其中v是初速度，時(shí)間單位為，0求：時(shí)的瞬時(shí)速度（函數(shù)s(t)的瞬時(shí)變化率）?！窘馕觥縟ss(t+dt)-s(t)=00dtdt22=11v(t+dt)+a(t+dt)2-vt+at2000000dt=v+at0120+adtt=2s時(shí)，瞬時(shí)速度是v+2

11、a0【點(diǎn)評(píng)】t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度就是t=2s附近平均速度的極限，亦即速度在t=2s時(shí)導(dǎo)數(shù)。舉一反三：【變式1】質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s(t)=at2+1做直線運(yùn)動(dòng)（位移單位：m，時(shí)間單位：s）。若質(zhì)點(diǎn)在t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s，求常數(shù)a的值。【答案】s=s(2+t)s(2)=a(2+t)2+1a221=4at+a(t)2，資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理dtds=4a+adt。dtlimds=4a在t=2s時(shí)，瞬時(shí)速度為dt0，即4a=8。a=2?！咀兪?】如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從固定點(diǎn)a開始運(yùn)動(dòng)，關(guān)于時(shí)間t的位移函數(shù)是求（1）t=4時(shí)、物體的位移是s(4);（2）t=4時(shí)、物體的速度v(4);

12、（3）t=4時(shí)、物體的加速度a(4).【答案】(1)s(4)=43+3=67s(t)=t3+3(2)t=4時(shí)，ds(4+dt)3+3-(43+3)=48+12dt+(dt)2dtdtdslimdt0dt=lim48+12dt+(dt)2=48dt0(3)v(4)=48ds(t+dt)3+3-(t3+3)=3t2+3tdt+(dt)2dtdtv(t)=limdsdt0dt=lim3t2+3tdt+(dt)2=3t2dt0dvv(t+dt)-v(4)3(4+dt)2-342t=4時(shí)=dtdtdt=24+3dtdvlimdt0dt=lim24+3dt=24dt0a(4)=24【變式3】槍彈在槍筒中運(yùn)動(dòng)可以看做勻加速運(yùn)動(dòng)，如果它的加速度是a=5105m/s2，槍彈從槍口射出所用的時(shí)間為1.6103s。求槍彈射出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度