人教版八下數(shù)學(xué)家之勾股定理的逆定理 (提高)知識(shí)講解

1、勾股定理的逆定理（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系2.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形.3.能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b，c，滿足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.，要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”是通過計(jì)算來判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.要點(diǎn)二、如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形（1）首先確定最大邊（

2、如c）.（2）驗(yàn)證c2與a2b2是否具有相等關(guān)系.若c2a2b2，則abc是c=90的直角三角形；若c2a2b2，則abc不是直角三角形.要點(diǎn)詮釋：當(dāng)a2b2c2時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)a2b2c2時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中c為三角形的最大邊.要點(diǎn)三、互逆命題如果兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個(gè)叫原命題，則另一個(gè)叫做它的逆命題.要點(diǎn)詮釋：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯(cuò)誤；正確的命題我們稱為真命題，錯(cuò)誤的命題我們稱它為假命題.要點(diǎn)四、勾股數(shù)滿足不定方程x2y2z2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)）顯然，以x、

3、y、z為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助：3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41如果a、b、c是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以at、bt、ct為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.要點(diǎn)詮釋：（1）n21，2n，n21（n1,n是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；（2）2n2長(zhǎng)；2n,2n1,2n22n1（n是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊（3）m2n2,m2n2,2mn（mn,m、n是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；【典型例題】類型一、原命題與逆命題1、寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假：（1）同位角相等，兩直線平行；（2）如果x

4、2，那么x24；（3）等腰三角形兩底角相等；（4）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等（5）對(duì)頂角相等（6）線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等【思路點(diǎn)撥】寫一個(gè)命題的逆命題的關(guān)鍵是分清它的題設(shè)和結(jié)論，然后將其交換位置，判斷一個(gè)命題為真命題要經(jīng)過證明，是假命題只需舉出反例說明即可【答案與解析】解：（1）逆命題是：兩直線平行，同位角相等，它是真命題（2）逆命題是：如果x24，那么x2，它是假命題（3）逆命題是：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，它是真命題（4）逆命題是：對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等，它是假命題（5）逆命題是：如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角，它是假命題（6）逆命題是：到線段兩個(gè)端點(diǎn)

5、距離相等的點(diǎn)一定在線段的垂直平分線上，它是真命題【總結(jié)升華】寫一個(gè)命題的逆命題的關(guān)鍵是分清它的題設(shè)和結(jié)論，然后將題設(shè)和結(jié)論交換位置，寫出它的逆命題，可以借助“如果那么”分清題設(shè)和結(jié)論每一個(gè)命題都有逆命題，其中有真命題，也有假命題舉一反三：【變式】下列定理中，有逆定理的個(gè)數(shù)是（）有兩邊相等的三角形是等腰三角形；若三角形三邊a，b，c滿足a2該三角形是直角三角形；全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；若ab，則a2b2b2c2，則a1個(gè)b2個(gè)c3個(gè)d4個(gè)【答案】b；提示：的逆命題是：等腰三角形有兩邊相等，是真命題；的逆命題是：若三角形是直角三角形，則三邊滿足a2b2c2（c為斜邊）；但對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形不一定

6、全等；若a2b2，a與b不一定相等，所以、的逆命題是假命題，不可能是定理類型二、勾股定理逆定理的應(yīng)用2、如圖所示，四邊形abcd中，abad，ab2，ad23，cd3，bc5，求adc的度數(shù)【答案與解析】解：abad，a90，在rtabd中，bd2ab2ad222(23)216bd4，ab1bd，可知adb30，2在bdc中，bdcd163225，bc5222225，bdcd22bc2，bdc90，adcadb+bdc30+90120【總結(jié)升華】利用勾股定理的逆定理時(shí)，條件是三角形的三邊長(zhǎng)，結(jié)論是直角三角形，即由邊的條件得到角的結(jié)論，所以在幾何題中需要進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)換時(shí)要聯(lián)想勾股定理的逆定理舉一

7、反三：【高清課堂勾股定理逆定理例4】【變式1】abc三邊a，b，c滿足a2b2c233810a24b26c，則abc是（）a.銳角三角形b.鈍角三角形c.等腰三角形d.直角三角形【答案】d；b12c13提示：由題意a52220，a5，b12，c13，因?yàn)閍2b2c2，所以abc為直角三角形.【變式2】如圖所示，在abc中，已知acb90，acbc，p是abc內(nèi)一點(diǎn)，且pa3，pb1，pccd2，cdcp，求bpc的度數(shù)【答案】解：連接bdcdcp，且cdcp2，cpd為等腰直角三角形，即cpd45acp+bcpbcp+bcd90，acpbcdcacb，capcbd(sas)，dbpa3在rtc

8、pd中，dpcpcd22222228又pb1，則pb21db29，dbdp22pb2819，dpb為直角三角形，且dpb90，cpbcpd+dpb45+901353、（2015春信豐縣校級(jí)期中）如圖，已知在四邊形abcd中，ab=20cm，bc=15cm，cd=7cm，ad=24cm，abc=90猜想a與c關(guān)系并加以證明【思路點(diǎn)撥】連接ac，然后根據(jù)勾股定理求出ac的值，然后根據(jù)勾股定理的逆定理判斷adc為rt，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可得到a與c關(guān)系【答案與解析】證明：猜想a與c關(guān)系為：a+c=180連結(jié)ac，abc=90在rtabc中，由勾股定理得：ac=25cm，ad2+dc2=62

9、5=252=ac2，adc是直角三角形，且d=90dab+b+bcd+d=360dab+bcd=180即a+c=180【總結(jié)升華】此題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)勾股定理的逆定理判斷adc是直角三角形舉一反三：【變式】（2015秋埇橋區(qū)校級(jí)月考）下列各組數(shù)中，全是勾股數(shù)的一組是（）a2，3，4；6，8，10；5，12，13b3，4，5；10，24，26；7，24，25c，；8，15，17；30，40，50d0.4，1.2，1.3；6，8，10；9，40，41【答案】b；解：a、22+3242，不是勾股數(shù)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；b、32+42=52，102+242=262，72+242=252，此選項(xiàng)正確；c、，不是勾股數(shù)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；d、0.4，1.2，1.3不是勾股數(shù)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選b類型三、勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用4、如圖所示，mn以左為我國(guó)領(lǐng)海，以右為公海，上午9時(shí)50分我國(guó)緝私艇a發(fā)現(xiàn)在其正東方向有一走私艇c并以每小時(shí)13海里的速度偷偷向我國(guó)領(lǐng)海開來，便立即通知距其5海里，并在mn線上巡邏的緝私艇b密切注意，并告知a和c兩艇的距離是13海里，緝私艇b測(cè)得c與其距離為12海里，若走私艇c的速度不變，最早在什么時(shí)間進(jìn)入我國(guó)海域？【答案與解析】解：ab2bc252122169132ac2，abc為直角三角形abc90又bdac，可