專題 函數(shù)的對(duì)稱性與周期性的結(jié)論

1、專題函數(shù)的對(duì)稱性與周期性一.函數(shù)圖象的對(duì)稱性1.關(guān)于一個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心（1）.函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x=a+b對(duì)稱。2（2）.f(a+x)=f(a-x)f(x)=f(2a-x)y=f(x)的圖象的對(duì)稱軸x=af(-x)=f(2a+x)y=f(x+a)為偶函數(shù)y=f(x)的圖象的對(duì)稱軸x=a（3）二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的對(duì)稱軸由公式法（或求導(dǎo)數(shù)）x=-b2a0（4）.函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=-f(b-x)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（a+b，）對(duì)稱。2（5）.f(a+x)=-f(a-x)f(x)=-f(2

2、a-x)y=f(x)的圖象的對(duì)稱中心(a,0)（6*）簡(jiǎn)單分式函數(shù)f(x)=ax+b(c0,ax+b0)，由變量分離法得對(duì)稱中心(-,)。f(-x)=-f(2a+x)y=f(x+a)為奇函數(shù)y=f(x)的圖象的對(duì)稱中心(a,0)。dacx+dcc（7*）三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的對(duì)稱中心為(x,f(x)。00(其中x是f(x)=0的根；f(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù)，f(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù)。)002.關(guān)于兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心（1）.函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱。（2）.函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。

3、（3）.函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=f(2a-x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱。（4）函數(shù)y=f(a+x)與y=-f(b-x)的圖象關(guān)于直線x=b-a對(duì)稱2（5*）.函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x軸對(duì)稱。（6*）.函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=-f-1(-x)的圖象關(guān)于直線y=-x軸對(duì)稱。（7*）.函數(shù)f(x，y)=0的圖象與函數(shù)f(y-c,x+c)=0的圖象關(guān)于直線y=x+c軸對(duì)稱。（8*）.函數(shù)f(x，y)=0的圖象與函數(shù)f(-y+c,-x+c)=0的圖象關(guān)于直線y=-x+c軸對(duì)稱.（9）.函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=-f(-x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(

4、0,0)對(duì)稱。（10）.函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=-f(2a-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)軸對(duì)稱。（11）.函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=-f(2a-x)+2b的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(a,b)對(duì)稱。0（12）.函數(shù)y=f(a+x)與y=-f(b-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（b-a，）對(duì)稱。2說(shuō)明：5*.如f(x)=ax則f-1(x)=logx；如f(x)=logx則f-1(x)=axaa6*.如f(x)=ax則y=-f-1(-x)=-loga(-x)；如f(x)=logx則y=-f-1(-x)=-a-xa(由于全國(guó)丙卷地區(qū)，不講反函數(shù)，根據(jù)課本結(jié)論必修一p76作此說(shuō)明）二.函數(shù)的周期性1.周期函數(shù)的定

5、義和簡(jiǎn)單性質(zhì)（1）對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若存在一個(gè)常數(shù)t0,使得當(dāng)x取遍其定義域內(nèi)的一切直時(shí)，都有f(x)=f(x+t),則y=f(x)叫做以t為周期的周期函數(shù)。（2）周期函數(shù)的定義域是無(wú)界的。（3）若t(t0)是函數(shù)y=f(x)的周期，則nt(nz,n0)都是y=f(x)的周期；（4）周期函數(shù)y=f(x)的周期有無(wú)數(shù)多個(gè)，若這些周期中存在最小正值t，則t叫做函數(shù)y=f(x)的最小正周期。（不是所有周期函數(shù)都有最小正周期，例：f(x)=0）2.三角函數(shù)的周期性（1）f(x)=sinx(xr)的最小正周期t=2pf(x)=sinx(xr)的最小正周期t=p2,kz)的最小正周期t=p（2）f(x

6、)=cosx(xr)的最小正周期t=2pf(x)=cosx(xr)的最小正周期t=p（3）f(x)=tanx(xr,xkp+pf(x)=tanx(xr,xkp+p2,kz)的最小正周期t=p（4）f(x)=asin(wx+j)(a0,w0)的最小正周期t=2pw。w。pf(x)=asin(wx+j)(a0,w0)的最小正周期t=。w（5）f(x)=acos(wx+j)(a0,w0)的最小正周期t=2pf(x)=acos(wx+j)(a0,w0)的最小正周期t=pw。2,kz)的最小正周期t=（6）f(x)=atan(wx+j)(xr,wx+jkp+ppj。2,kz)的最小正周期t=f(x)=a

7、tan(wx+j)(xr,wx+jkp+p（7）f(x)=asin2xbsinxc(a2+b20）是周期函數(shù)a0，b=0時(shí)，最小正周期t=pa=0，b0時(shí)，最小正周期t=2ppj。a0，b0時(shí)，最小正周期t=2p（8）f(x)=acos2xbcosxc(a2+b20）是周期函數(shù)a0，b=0時(shí)，最小正周期t=pa=0，b0時(shí)，最小正周期t=2pa0，b0時(shí)，最小正周期t=2p（7）f(x)=acos2xbsinxc(a2+b20）是周期函數(shù)a0，b=0時(shí)，最小正周期t=pa=0，b0時(shí)，最小正周期t=2pa0，b0時(shí)，最小正周期t=2p（9）f(x)=asin2xbcosxc(a2+b20）是周

8、期函數(shù)a0，b=0時(shí)，最小正周期t=pa=0，b0時(shí)，最小正周期t=2pa0，b0時(shí)，最小正周期t=2p2,kz)(a2+b20）是周期函數(shù)，（10）f(x)=atan2xbtanxc(xr,xkp+p最小正周期t=2p（11）f(x)=asinxbcosxc(a2+b20）是周期函數(shù)，最小正周期t=2pf(x)=asinwxbcoswxc(w0，a2+b20）是周期函數(shù)，最小正周期t=2pw（12）*f(x)=acosxb(xkp+,kz),(a2+b20）是周期函數(shù)，最小正周期t=2pcosxp2(xkp,xkp+，kz),(a2+b20）是周期函數(shù)，（13）*f(x)=asinx（14）

9、*f(x)=atanx+最小正周期t=pbsinxbtanx(xkp,kz),(a2+b20）是周期函數(shù)，最小正周期t=2pp2(xkp,xkp+，kz),(a2+b20）是周期函數(shù)，f(x)=atanx-btanxp2a0，b=0時(shí)，最小正周期t=pa=0，b0時(shí)，最小正周期t=pa0，b0時(shí)，最小正周期t=p2（15）*f(x)=x-x（xr），x為不超過(guò)x的最大整數(shù)，f(x)的最小正周期t=1。（4）若函數(shù)y=f(x)恒滿足f(a+x)=1（a0），則y=f(x)是周期函數(shù)，2.周期函數(shù)的常用結(jié)論（以下總假定函數(shù)f(x)的定義域是無(wú)界的）（1）若函數(shù)y=f(x)恒滿足f(a+x)=f(b

10、+x)，則y=f(x)是周期函數(shù)，周期t=a-b。（2）若函數(shù)y=f(x)恒滿足f(a+x)=-f(x)（a0），則y=f(x)是周期函數(shù)，周期t=2a.（3）若函數(shù)y=f(x)恒滿足f(a+x)=-f(b+x)(ab)，則y=f(x)是周期函數(shù)，周期t=2a-b。f(x)周期t=2a。（5）若函數(shù)y=f(x)恒滿足f(a+x)=-周期t=2a。1f(x)（a0），則y=f(x)是周期函數(shù)，（6）若函數(shù)y=f(x)恒滿足f(a+x)=-1f(x+b)（ab），則y=f(x)是周期函數(shù)，周期t=2a-b。（7）若函數(shù)y=f(x)的函數(shù)圖象有兩條相鄰的對(duì)稱軸x=a,x=b(ab)，則y=f(x)是

11、周期函數(shù)，周期是t=2a-b。（8）若函數(shù)y=f(x)的函數(shù)圖象有兩個(gè)相鄰的對(duì)稱中心a(a,0),b(b,0)(ab)，則y=f(x)是周期函數(shù)，周期是t=2a-b。（9）若函數(shù)y=f(x)的函數(shù)圖象有對(duì)稱中心a(a,0)和一條相鄰的對(duì)稱軸x=b(ab)，則y=f(x)是周期函數(shù)，周期是t=4a-b。（10）若函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，還有與坐標(biāo)原點(diǎn)相鄰的對(duì)稱軸x=a(a0)，則y=f(x)是周期函數(shù)，周期是t=2a。（11）若函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，與y軸相鄰的對(duì)稱中心a(a,0)(a0)，則y=f(x)是周期函數(shù)，周期是t=4a。（12）若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，與坐標(biāo)原點(diǎn)相鄰的對(duì)稱軸

12、是x=a(a0)，則y=f(x)是周期函數(shù)，周期是t=4a。（13）若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，與坐標(biāo)原點(diǎn)相鄰的對(duì)稱中心a(a,0)(a0)，則y=f(x)是周期函數(shù)，周期是t=2a。（14*）若函數(shù)y=f(x)恒滿足f(a+x)=mf(x)+bcf(x)-m（m,a,b,cr;c0;a2+bc0），則y=f(x)是周期函數(shù)，周期t=2a。（15*）若函數(shù)y=f(x)恒滿足f(x+2a)=f(x+a)-f(x)（a0），則y=f(x)是周期函數(shù)，周期t=6a。春到四月，如火如荼，若詩(shī)似畫(huà)，美到了極致，美到了令人心醉?！澳闶且粯?shù)一樹(shù)的花開(kāi)，是燕，在梁間呢喃，你是愛(ài)，是暖，是希望，你是人間的四月天

13、”。喜歡才女林徽因歌頌四月之美的這首你是人間的四月天，她將四月的萬(wàn)種風(fēng)情描摹得淋漓盡致，讀來(lái)如沐春風(fēng)如飲甘露。四月之美，美在清明。時(shí)光剛剛跨入四月的門(mén)檻，清明就如期而至，“清明時(shí)節(jié)雨紛紛，路上行人欲斷魂?！鼻迕魇且环N傳承了數(shù)千年的古老文化，是一場(chǎng)活著的人祭奠逝去的祖先的親情style?！帮L(fēng)吹曠野紙錢(qián)飛，古墓壘壘春草綠”，每到清明，人們不會(huì)忘記在天堂的祖先，都會(huì)放下手中繁忙的工作，即便遠(yuǎn)離故土，也會(huì)懷揣濕漉漉的心事回到鄉(xiāng)下，挑揀一個(gè)最宜祭祀的日子，趕往祖先墓地，虔誠(chéng)地獻(xiàn)上一捧鮮花，點(diǎn)上幾支香火，燒上一些紙錢(qián)，將祖先的墳?zāi)寡b扮一新，以表達(dá)對(duì)已逝親人的思念和祝福。清明時(shí)節(jié)，最容易勾起與已逝親人一起度

14、過(guò)的那些美好歲月的回憶，讓人深刻體悟到親情的可貴。于是，親情跨越了時(shí)空，淚水模糊了雙眼。在瑩瑩淚光中，就讓活著的人好好活著，讓已經(jīng)逝去的人在天堂感到欣慰。四月之美，美在祭祖的哀思，美在人間傳遞著的溫情。四月之美，美在谷雨?！扒迕髟?、立夏遲，谷雨種棉正當(dāng)時(shí)”，清明過(guò)后，雨水增多，有利于谷類作物的生長(zhǎng)。因此，谷雨是春播春種的關(guān)鍵時(shí)期。在鄉(xiāng)間，一到谷雨時(shí)節(jié)，村民們便忙了起來(lái)，房前屋后，田間地頭，處處是村民們忙碌的身影，處處嘹亮起勞動(dòng)的號(hào)角，處處律動(dòng)著勞作的喜悅。他們將生活的希望播撒，將幸福的種子栽種，早出晚歸，樂(lè)而不疲，笑容滿面。他們?yōu)⑾碌氖且涣ＡＯ虧暮顾?，成就的將是整個(gè)秋天曠野上豐碩的果實(shí)。累了

15、，他們舉頭仰望綻開(kāi)在湛藍(lán)天空上多情的太陽(yáng)；倦了，他們想一想等待在前方的耀眼金秋。春風(fēng)，貼著他們的身影吹過(guò)，將灼熱的期盼和夢(mèng)想帶向遙遠(yuǎn)、遙遠(yuǎn)他們勞動(dòng)的姿勢(shì)，仿佛在大地上書(shū)寫(xiě)一首生活的真愛(ài)長(zhǎng)歌；他們奔忙的步伐，舞動(dòng)出四月美妙和諧的韻律；他們洋溢在嘴角的笑意，仿佛閃爍在陽(yáng)光下的一朵朵桃花。四月之美，美在他們的不輟勞作，美在他們孜孜不倦地創(chuàng)造甜蜜生活的那顆淳樸心靈。四月之美，美在花繁草盛?！包S四娘家花滿蹊，千朵萬(wàn)朵壓枝低。”四月，千芳競(jìng)放，姹紫嫣紅，你不讓我我不讓你，爭(zhēng)相斗妍，好不熱鬧。桃花，在多情春風(fēng)的表白下雙頰緋紅，欲語(yǔ)還羞；梨花，一束束一簇簇，洋洋灑灑，熱烈、雪白而純情；櫻花，懷揣粉紅的夢(mèng)想，輕輕搖落一地的深情。地上的小草也不敢示弱，紛紛抬起掛著剔透露珠的綠色腦袋，在陽(yáng)光的照耀下折射出誘人的光澤。四月的小草，已不再是初春時(shí)那樣遙看近卻無(wú)了，山坡、谷底、河畔、溪邊，到處一派翠綠，盡情釋放著勃勃的生機(jī)，大地好像悄悄鋪上了一層