微專題2數(shù)形結(jié)合

1、微專題 2數(shù)形結(jié)合恩格斯指出： 數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)這就揭示了數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征“數(shù)“形” 成為數(shù)學(xué)研究對象的兩個(gè)表現(xiàn)形態(tài)，把數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與幾何圖形的直觀形象有機(jī)結(jié)合起來，從而充分暴露問題條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，恰當(dāng)?shù)刈兏鼏栴}，使問題化隱為顯、化難為易，這就是數(shù)形結(jié)合的思想（方法），它包含以下兩個(gè)方面的內(nèi)容：（ 1）以形助數(shù)數(shù)量關(guān)系如果借助于圖形性質(zhì)，可以是許多抽象的概念和關(guān)系變得直觀、形象，有利于理解問題的本質(zhì)也有利于解決問題途徑的探求（ 2）以數(shù)解形有些涉及圖形的問題，可以考慮轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，依此，可以獲得簡潔而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕夥?解析幾何中對圓錐曲線性

2、質(zhì)的研究， 以數(shù)解形的方法體現(xiàn)得淋漓盡致事實(shí)上，數(shù)形結(jié)合兼取了數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和形的直觀兩方面的優(yōu)勢， “數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微” （華羅庚語），因此，這種數(shù)學(xué)思想方法也是優(yōu)化思維及解題過程的重要途徑思維模型說明1解決方案及流程有很多代數(shù)式，容易在幾何中的找到相應(yīng)的“形”來表示的，比如， x2y b2x, y 到點(diǎn) a,ba，可以解釋為“點(diǎn)的距離的平方” ； yb 是點(diǎn)x, y與點(diǎn)a, b 連線的斜率；再如，函數(shù)yf x 在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)xaf x0 的幾何意義就是曲線 yf x 在點(diǎn) Px0 , y0處的切線斜率， 這就為解決幾何中曲線的切線問題提供了代數(shù)工具“方程的曲線”與“曲線的方程

3、”是同一對象（即點(diǎn)的軌跡）的兩種表現(xiàn)形式，曲線是軌跡的幾何形式，方程是軌跡的代數(shù)形式它們在研究軌跡的性質(zhì)時(shí)，各有所長 幾何形式具有直觀形象的優(yōu)點(diǎn)，代數(shù)形式具有便于運(yùn)算的優(yōu)勢，解題時(shí)，無疑要將二者結(jié)合起來解方程或討論函數(shù)零點(diǎn)的問題中，有關(guān)的根或參數(shù)的取值范圍問題，可以考慮將解析式適當(dāng)分離，構(gòu)造出兩個(gè)初等函數(shù)（最好是一個(gè)含有參數(shù)，另一個(gè)不含參數(shù)），借助它們的圖象，往往可以直接找到解題途徑與平面區(qū)域有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題是高考熱點(diǎn)內(nèi)容，題型有單一的線性規(guī)劃問題，也有與其他知識的交匯性問題，破解這類問題的方法常常是數(shù)形結(jié)合求條件最值、函數(shù)值域問題及不等式恒成立有關(guān)的取值范圍問題，一般可以構(gòu)造函數(shù)，將原

4、問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)間的位置關(guān)系，再畫出相應(yīng)函數(shù)的圖象，將不等式表達(dá)的抽象數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形加以分析、處理2失誤與防范在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題時(shí)， 如果未掌握其方法的要領(lǐng)，常常出現(xiàn)以下失誤： （ 1）構(gòu)建幾何模型不正確；（ 2）在解答題中，以直觀代替推理過程； （ 3）作圖錯誤；（ 4）數(shù)形結(jié)合意識淡薄，有效聯(lián)想不夠； （ 5）讀圖能力缺失對于數(shù)形結(jié)合， 需要進(jìn)一步提醒的是： （1）它是解填空題的有效方法， 在解答題中應(yīng)慎重使用選用時(shí)解答過程應(yīng)盡可能把圖形信息表達(dá)清晰，某些運(yùn)算或推理過程不得省略；（2）有些數(shù)式，雖然有一定的圖形背景，但求解不一定簡單 “以形助數(shù)”不是萬能的我們應(yīng)立足于掌握常見的數(shù)形轉(zhuǎn)

5、化問題； （3）在“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化過程中，應(yīng)注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性；（ 4）在分析問題、解決問題時(shí)，要注意解讀語言的意義要注意圖形語言、符號語言及文字語言的互化，這樣才能實(shí)現(xiàn)數(shù)與形條件之間的有效對接解決問題一、典型例題例 1已知實(shí)數(shù) a，b 滿足 9a24b236 0 a 0, b0，求函數(shù) ua1 的取值范b1圍例 2如果函數(shù) y 14 x2x2 的圖象與函數(shù)yk x 24 的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 _ 變式訓(xùn)練 1設(shè) Ax, y y x b, b R , Bx, y y 34x x2， 若A B，則 b 取值范圍是 _ 例 3實(shí)數(shù) p 取什么值時(shí)，方程x24x3px 有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根二、自主探究1已知 a 是實(shí)數(shù)，函數(shù)fx2a x 2xa ，若函數(shù) yfx有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 _2解不等式2axx2ax3已知 mR ，函數(shù) fxx22 m21 x7, g x2m2m 2 x m （ 1）設(shè)函數(shù) p xfxg x如果 px0 在區(qū)間1,5內(nèi)有解但無重根， 求實(shí)數(shù) m 的取值范圍；（ 2）