導(dǎo)數(shù)中的構(gòu)造函數(shù)(最全精編

1、導(dǎo)數(shù)小題中構(gòu)造函數(shù)的技巧函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學(xué)思想中比較重要的兩大思想，而構(gòu)造函數(shù)的解題思路恰好是這兩種思想的良好體現(xiàn)，尤其是在導(dǎo)數(shù)題型中，下面我就導(dǎo)數(shù)小題中構(gòu)造函數(shù)的技巧和大家進(jìn)行分享和交流。（一）利用f (x) 進(jìn)行抽象函數(shù)構(gòu)造、利用f (x)與x構(gòu)造；常用構(gòu)造形式有f (x)；這類形式是對 uv, u 型函1xf (x),vx數(shù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算的推廣及應(yīng)用，我們對 u v, u 的導(dǎo)函數(shù)觀察可得知， u v 型導(dǎo)函數(shù)中 v體現(xiàn)的是“”法， u 型導(dǎo)函數(shù)中體現(xiàn)的是“”法，由此，我們可以猜測，當(dāng)v導(dǎo)函數(shù)形式出現(xiàn)的是“ ”法形式時，優(yōu)先考慮構(gòu)造 u v 型，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)形式出現(xiàn)的是“”法

2、形式時，優(yōu)先考慮構(gòu)造 u ，我們根據(jù)得出的“優(yōu)先”原則，看一看v例 1，例 2.【例 1 】 f (x) 是定義在 R 上的偶函數(shù)，當(dāng)x0 時， f (x)xf (x)0 ，且f ( 4)0 ，則不等式 xf (x)0 的解集為?思路點(diǎn)撥：出現(xiàn)“”形式，優(yōu)先構(gòu)造 F (x)xf (x) ，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和數(shù)形結(jié)合求解即可 .【解析】構(gòu)造 F (x) xf (x) ，則F (x) f (x) xf (x) ，當(dāng) x 0 時， f (x) xf (x) 0 ，可以推出 x 0 ， F (x) 0 ， F (x) 在 ( ,0) 上單調(diào)遞減 . f (x) 為偶函數(shù)， x 為奇函數(shù)，

3、所以 F (x) 為奇函數(shù)， F (x) 在 (0,) 上也單調(diào)遞減 .根據(jù)f ( 4)0 可得F ( 4)0 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可知xf (x)0 的解集為 (, 4)(0,4) .【例 2】設(shè) f (x) 是定義在 R 上的偶函數(shù)， 且f (1)0 ， 當(dāng) x0時， 有xf (x) f (x)0 恒成立，則不等式 f (x) 0 的解集為1f (x)?思路點(diǎn)撥：出現(xiàn)“”形式，優(yōu)先構(gòu)造F (x)然后利用函數(shù)的單調(diào)x性、奇偶性和數(shù)形結(jié)合求解即可.【 解 析 】 構(gòu) 造F (x)f (x) xf (x)f (x) ， 則 F (x)， 當(dāng) x 0 時 ，xx2xf

4、(x) f (x) 0 ，可以推出 x0 ， F (x)0 ， F (x) 在 ( ,0) 上單調(diào)遞增 . f (x) 為偶函數(shù)， x 為奇函數(shù)，所以 F (x) 為奇函數(shù)， F (x) 在 (0,) 上也單調(diào)遞減 . 根據(jù) f(1) 0 可得 F (1) 0 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可知f (x)0 的解集為 (, 1)(1,) .xf (x), f (x) 是比較簡單常見的f (x) 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，如果碰見復(fù)雜的，x不易想的我們該如何處理，由此我們可以思考形如此類函數(shù)的一般形式.F (x)xn f (x) ， F (x)nxn 1 f (x)xn f (

5、x)xn 1nf (x) f (x) ；F (x)f (x)， F (x)f (x) xnnxn 1 f (x)xf (x) nf (x)；xnx2nxn 1結(jié)論：出現(xiàn) nf (x)xf (x) 形式，構(gòu)造函數(shù) F (x)xn f (x) ；出現(xiàn) xf (x)nf (x) 形式，構(gòu)造函數(shù) F (x)f (x) .xn我們根據(jù)得出的結(jié)論去解決例3 題【例 3】已知偶函數(shù) f (x)(x0) 的導(dǎo)函數(shù)為 f (x) ，且滿足 f ( 1)0 ，當(dāng) x 0時， 2 f (x) xf (x) ，則使得 f (x)0 成立的 x 的取值范圍是(x)nf (x) ”形式，優(yōu)先構(gòu)造F (x)f (x)然后利

6、用? 思路點(diǎn)撥：滿足“ xfxn函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和數(shù)形結(jié)合求解即可.2【 解 析 】 構(gòu) 造 F (x)f (x) ， 則 F (x)f (x) x2 f (x)0 時 ， 當(dāng) xx2x3xf (x)2 f (x) 0 ，可以推出 x0 ，F(xiàn) (x)0 ，F(xiàn) (x) 在 (0,) 上單調(diào)遞減 . f (x) 為偶函數(shù)， x2為偶函數(shù)，所以 F (x) 為偶函數(shù)，F(xiàn) (x) 在 ( ,0) 上單調(diào)遞增 . 根據(jù)f ( 1)0可得 F( 1)0 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可知f (x)0 的解集為 (1,0) (0,1) .【變式提升 】設(shè)函數(shù) f (x) 滿足 x3 f

7、 (x)3x2 f (x) 1ln x ，且 f ( e )1 ，2e則 x0 時， f (x) （ ）A、有極大值，無極小值B、有極小值，無極大值C、既有極大值又有極小值D、既無極大值也無極小值f (x) ，?思路點(diǎn)撥：滿足“ xf(x)nf (x)”形式，為時情況，優(yōu)先構(gòu)造F (x)n3xn然后利用積分、函數(shù)的性質(zhì)求解即可 .【例 4】設(shè) f (x) 是定義在 R 上的奇函數(shù)， 在 (,0) 上有 2xf (2x)f (2x)0 ，且 f (2) 0 ，則不等式 xf (2x)0 的解集為.?思路點(diǎn)撥：滿足“ xf (x) nf (x) ”形式，優(yōu)先構(gòu)造 F (x) xf(2x) ，然后利

8、用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和數(shù)形結(jié)合求解即可. 注意 f ( 2)0 和 F (x) 的轉(zhuǎn)化 .【 解 析 】 構(gòu) 造 F (x) xf (2x) ， 則 F (x)2xf (x)f (2x) ， 當(dāng) x0 時 ，F(xiàn) (x)2xf (x) f (2x) 0 ，可以推出 x 0 ， F (x)0 ， F (x) 在 (,0) 上單調(diào)遞減 . f (x) 為奇函數(shù)， x 為奇函數(shù)，所以 F (x) 為偶函數(shù)， F (x) 在 (0,) 上單調(diào)遞增 .根據(jù) f ( 2)0可得F( 1)0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可知 xf (2x)0 的解集為 (1,0)(0,1).3（2） 利用

9、 f (x) 與 ex 構(gòu)造；f (x) 與 ex 構(gòu)造， 一方面是對u v, u函數(shù)形式的考察，另外一方面是對vxf (x), f (x) 的類型處(ex )ex 的考察 .所以對于 f (x)f (x) 類型，我們可以等同xf (x)理，“”法優(yōu)先考慮構(gòu)造 F (x)f (x) ex ，“ ”法優(yōu)先考慮構(gòu)造 F (x)x .e【例 5】已知 f (x) 是定義在 (,) 上的函數(shù)，導(dǎo)函數(shù) f (x) 滿足 f (x) f (x)對于 xR 恒成立，則（）A 、 f (2)e2 f (0), f (2014)e2014 f (0)B 、 f (2)e2 f (0), f (2014)e201

10、4 f (0)C 、 f (2)e2 f (0), f (2014)e2014 f (0)D 、 f (2)e2 f (0), f (2014)e2014 f (0)?思路點(diǎn)撥：滿足“ f (x)f (x)0 ”形式，優(yōu)先構(gòu)造 F (x)f (x) ，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合求解即可. 注意選項(xiàng)的轉(zhuǎn)化 .ex【解析】構(gòu)造 F (x)f (x) 形式，則 F (x)ex f (x)ex f (x)f (x) f (x)，導(dǎo)exe2 xex函數(shù) f (x) 滿足 f (x)f (x) ，則 F (x)0 ， F (x) 在 R 上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性可知選 D.同樣 ex f (x), f

11、(x) 是比較簡單常見的 f (x) 與ex 之間的函數(shù)關(guān)系式，如果碰ex見復(fù)雜的，我們是否也能找出此類函數(shù)的一般形式呢？F (x)enx f (x) ， F (x)nenx f (x)enxf (x) enx f (x)nf (x) ；F (x)f (x)F (x)f (x)enxnenxf (x) f (x)nf (x)enx，e2nxenx；結(jié)論： 1、出現(xiàn) f (x)nf (x) 形式，構(gòu)造函數(shù) F (x)enx f (x) ；2、出現(xiàn) f (x)nf (x) 形式，構(gòu)造函數(shù) F (x)f (x) .enx我們根據(jù)得出的結(jié)論去解決例6 題.4【例 6 】若定義在 R 上的函數(shù) f (x

12、) 滿足 f (x) 2 f (x) 0, f(0) 1 ，則不等式f (x)e2 x 的解集為?思路點(diǎn)撥：滿足“ f (x)2 f (x) 0 ”形式，優(yōu)先構(gòu)造 F (x)f (x) ，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合求解即可. 注意選項(xiàng)的轉(zhuǎn)化 .e2 xf (x)e2 x f (x)2e2 x f (x)f (x)2 f (x)，【解析】構(gòu)造 F (x)e2 x形式，則 F (x)e4 xe2 x導(dǎo)函數(shù) f (x) 滿足 f (x)2 f (x)0 ， 則 F (x)0 ， F (x) 在 R 上單調(diào)遞增 .又，則，2 xf (x)，根據(jù)單調(diào)性得 x0 .f (0)F(0) 1f (x) e

13、2 x1 F (x)F (0)1e【變式提升】 若定義在 R 上的函數(shù) f (x) 滿足 f (x)2 f (x)40, f (0)1，則不等式 f (x)e2 x2 的解集為?思路點(diǎn)撥：利用通式構(gòu)造函數(shù)時考慮4 如何轉(zhuǎn)化 . 構(gòu)造函數(shù)F (x)f (x)2e2 xe2 x【例 7 】已知函數(shù) fx在 R 上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f x，若 fx滿足：(x 1) f xfx 0 ， f (2x)fx e22x ，則下列判斷一定正確的是（）（ A） f (1)f (0)（B） f (2)e2 f (0)（C） f (3)e3f (0)（ ）f (4)4De f (0)?思路點(diǎn)撥：滿足“ f (x)f

14、(x) ”形式，優(yōu)先構(gòu)造 F (x)f (x) ，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合求解即可 . 注意選項(xiàng)的轉(zhuǎn)化 .ex【解析】構(gòu)造 F (x)f (x)形式，則 F(x)ex f (x)ex f (x)f (x)f (x)，導(dǎo)exe2 xex函數(shù) f (x) 滿足 (x1) f (x)f (x)0 ，則 x1時 F (x)0 ， F (x) 在 1,) 上單調(diào)遞增 .當(dāng) x1時 F (x)0，F(xiàn) (x)在 (,1上單調(diào)遞減.又 由f (2x) f (x)e22 xF (2x)F (x)F (x) 關(guān)于 x1 對稱，根據(jù)單調(diào)性和圖像，可知選 C.5（3）利用 f (x) 與 sin x, cosx

15、 構(gòu)造 .sin x, cosx 因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)存在一定的特殊性，所以也是重點(diǎn)考察的范疇，我們一起看看?？嫉膸追N形式 .F (x)f (x) sin x, F (x)f (x) sin xf (x) cos x ；F (x)f (x) , F (x)f (x) sin x2f (x) cos x ；sin xsinxF (x)f (x) cos x, F (x)f (x) cos xf (x) sin x ；F (x)f (x) , F (x)f (x) cos x2f (x) sin x.cos xcos x根據(jù)得出的關(guān)系式，我們來看一下例8【 例 8 】 已 知 函 數(shù) yf x對 于 任 意

16、 的 x (, )滿足2 2f xcos xfx sin x0 （其中 fx 是函數(shù) fx 的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式不成立的是（）A 、 2 f( ) f( )B、 2 f () f ()3434C、 f (0)2 f ( )D、 f (0)2 f ( )43f (x)?思路點(diǎn)撥：滿足“ f xcosxf xsin x0 ”形式，優(yōu)先構(gòu)造F (x)cos x然后利用函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合求解即可. 注意選項(xiàng)的轉(zhuǎn)化 .【解析】構(gòu)造 F (x)f (x)f (x) cos x f (x) sin x，導(dǎo)函數(shù)(x)cos x形式，則 F (x)cos2 xf滿足 fx cos xfx sin x 0

17、 ，則 F (x)0 ，F(xiàn) (x) 在 (, ) 上單調(diào)遞增 . 把選項(xiàng)轉(zhuǎn)2 2化后可知選 B.【變式提升】定義在 (0,) 上的函數(shù)，函數(shù)f (x) 是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有26f (x)f (x) tan x 成立，則（）A、 3 f ( )2 f ( )B、 f (1)2 f () sin1436C、 2 f ( )f ( )D、 3 f ( )f ( )6463f (x) ，然后?思路點(diǎn)撥：滿足“ f (x) sin x f (x) cos x ”形式，優(yōu)先構(gòu)造 F (x)利用函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合求解即可. 注意選項(xiàng)的轉(zhuǎn)化 .sin x（二）構(gòu)造具體函數(shù)關(guān)系式構(gòu)造這類題型需要根據(jù)題意構(gòu)造

18、具體的函數(shù)關(guān)系式，通過具體的關(guān)系式去解決不等式及求值問題 .【例 9】 , ,，且 sinsin 0 ，則下列結(jié)論正確的是（）22A、B、 22、0CD? 思路點(diǎn)撥：構(gòu)造函數(shù) f (x) x sin x ，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合求解即可 .【解析】構(gòu)造f (x) x sin x 形式，則 f (x) sin xx cos x ， x0, 時導(dǎo)函數(shù)2f (x)0 ， f (x) 單調(diào)遞增； x ,0) 時導(dǎo)函數(shù) f (x)0， f (x) 單調(diào)遞減 . 有 f (x)2B.為偶函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性和圖像可知選【變式提升】 定義在 R 上的函數(shù) f (x) 滿足 f (1)1且對 xR, f

19、(x)1 則，2不等式 f (logx)log2 x 1 的解集為.22f (x) 1?思路點(diǎn)撥：構(gòu)造函數(shù) F (x)2 ，令 tlog x ，然后原不等式等價于x2f (t)2t 1 ，利用單調(diào)性求解集，然后解對數(shù)不等式即可 .2【例 10】等比數(shù)列 an中，1， 84，函數(shù)12).(x8，a2 af (x) x(x a )(xaa )則 f (0) （ ）A、26B、29C、 212D、2157? 思路點(diǎn)撥：構(gòu)造函數(shù) f (x) xg(x) ，然后利用整體代換思想和數(shù)列的性質(zhì)求解即可 .【 解 析 】 令 g(x) (xa1)(x28)形式，則f (x)xg(x)，a ).(xaf (x) g(x) xg (x) ，