高考數(shù)學大一輪復習 第十二章 概率、隨機變量及其分布 12.3 幾何概型試題 理 北師大版(2021年最新整理)

1、2018版高考數(shù)學大一輪復習 第十二章 概率、隨機變量及其分布 12.3 幾何概型試題 理 北師大版2018版高考數(shù)學大一輪復習 第十二章 概率、隨機變量及其分布 12.3 幾何概型試題 理 北師大版 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對文中內容進行仔細校對，但是難免會有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考數(shù)學大一輪復習 第十二章 概率、隨機變量及其分布 12.3 幾何概型試題 理 北師大版）的內容能夠給您的工作和學習帶來便利。同時也真誠的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進步的源泉，前進的動力。本文可編輯可修改

2、，如果覺得對您有幫助請收藏以便隨時查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績進步，以下為2018版高考數(shù)學大一輪復習 第十二章 概率、隨機變量及其分布 12.3 幾何概型試題 理 北師大版的全部內容。16第十二章 概率、隨機變量及其分布 12。3 幾何概型試題 理 北師大版1幾何概型向平面上有限區(qū)域（集合）g內隨機地投擲點m，若點m落在子區(qū)域g1g的概率與g1的面積成正比,而與g的形狀、位置無關，即p(點m落在g1),則稱這種模型為幾何概型2幾何概型中的g也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應的概率是體積之比或長度之比3借助模擬方法可以估計隨機事件發(fā)生的概率【思考辨析】判斷下列結論是否正確（請在括號中打“或

3、“”)（1)在一個正方形區(qū)域內任取一點的概率是零()（2)幾何概型中,每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內隨機地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等()(3）在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形（）(4）隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率(）(5)與面積有關的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關（）(6)從區(qū)間1,10內任取一個數(shù),取到1的概率是p.（)1(教材改編）在線段0,3上任投一點，則此點坐標小于1的概率為（)a。 b。 c. d1答案b解析坐標小于1的區(qū)間為0，1，長度為1，0,3區(qū)間長度為3，故所求概率為。2(2015山東）在區(qū)間0，2上隨機地取一個數(shù)x，

4、則事件“1 1發(fā)生的概率為()a。 b。 c. d.答案a解析由1 1，得x2，0x.由幾何概型的概率計算公式得所求概率p.3（教材改編)有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是（)答案a解析p(a），p(b）,p（c),p（d），p(a）p(c）p(d)p（b)4（2016南昌模擬）一個邊長為3 cm的正方形薄木板的正中央有一個直徑為2 cm的圓孔，一只小蟲在木板的一個面內隨機地爬行，則小蟲恰在離四個頂點的距離都大于2 cm的區(qū)域內的概率等于_答案解析如圖所示，分別以正方形的四個頂點為圓心，2 cm為半徑作圓，

5、與正方形相交截得四個圓心角為直角的扇形，當小蟲落在圖中的黑色區(qū)域時，它離四個頂點的距離都大于2 cm，其中黑色區(qū)域面積為s1s正方形4s扇形s小圓(3）22212954，所以小蟲離四個頂點的距離都大于2 cm的概率為p。5。若將一個質點隨機投入如圖所示的長方形abcd中，其中ab2，bc1,則質點落在以ab為直徑的半圓內的概率是_答案解析設質點落在以ab為直徑的半圓內為事件a，則p（a）.題型一與長度、角度有關的幾何概型例1(1)（2016全國甲卷）某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時間為40秒若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(）a。 b。

6、c. d.（2）（2017太原聯(lián)考)在區(qū)間,上隨機取一個數(shù)x，則cos x的值介于0到之間的概率為_答案（1)b(2）解析（1)至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為,故選b.(2）當x時，由0cos x，得x或x,根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為.(3)如圖所示,在abc中,b60,c45,高ad，在bac內作射線am交bc于點m，求bm1的概率解因為b60，c45，所以bac75。在rtabd中，ad，b60,所以bd1，bad30.記事件n為“在bac內作射線am交bc于點m，使bm1，則可得bambad時事件n發(fā)生由幾何概型的概率公式,得p（n)。引申探究1本例(2）中，若將“cos x

7、的值介于0到”改為“cos x的值介于0到”,則概率如何?解當x時，由0cos x，得x或x,根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為.2本例（3）中，若將“在bac內作射線am交bc于點m”改為“在線段bc上找一點m”，求bm1的概率解依題意知bcbddc1，p(bm1）。思維升華求解與長度、角度有關的幾何概型的方法求與長度（角度）有關的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉化為長度（角度），然后求解要特別注意“長度型”與“角度型”的不同解題的關鍵是構建事件的區(qū)域（長度或角度）（1)（2016全國乙卷)某公司的班車在7:00，8:00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐

8、班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是(）a。 b。 c。 d。（2）已知集合ax1x5，b，在集合a中任取一個元素x，則事件“x(ab）”的概率是_答案(1）b(2）解析（1)如圖所示,畫出時間軸小明到達的時間會隨機的落在圖中線段ab中，而當他的到達時間落在線段ac或db時，才能保證他等車的時間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率p，故選b.(2)由題意得ax1x5，b，故abx|2x3由幾何概型知,在集合a中任取一個元素x,則x(ab）的概率為p。題型二與面積有關的幾何概型命題點1與平面圖形面積有關的問題例2（2016全國甲卷)從區(qū)間0,1隨機抽取2n個數(shù)x

9、1，x2，xn，y1,y2，yn，構成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2,y2)，(xn，yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為（)a. b。c. d。答案c解析由題意得（xi，yi）(i1，2，,n）在如圖所示方格中,而平方和小于1的點均在如圖所示的陰影中，由幾何概型概率計算公式知，故選c.命題點2與線性規(guī)劃知識交匯命題的問題例3（2016武漢模擬)由不等式組確定的平面區(qū)域記為1，由不等式組確定的平面區(qū)域記為2，若在1中隨機取一點，則該點恰好在2內的概率為_答案解析如圖,平面區(qū)域1就是三角形區(qū)域oab，平面區(qū)域2與平面區(qū)域1的重疊部分就是區(qū)域oac

10、d，易知c(,），故由幾何概型的概率公式,得所求概率p.命題點3與定積分交匯命題的問題例4(2015福建）如圖,點a的坐標為(1,0），點c的坐標為(2，4)，函數(shù)f（x）x2.若在矩形abcd內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于_答案解析由題意知，陰影部分的面積s(4x2)dx(4xx3)|，所以所求概率p.思維升華求解與面積有關的幾何概型的注意點求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據(jù)題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結果構成的平面圖形，以便求解(1）(2016昌平模擬)設不等式組表示的平面區(qū)域為d.在區(qū)域d內隨機取一個點，則此點到直線y2

11、0的距離大于2的概率是()a。 b。c。 d。（2)如圖,在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機撒一粒黃豆,則它落到陰影部分的概率為_答案（1)d（2)解析（1)作出平面區(qū)域d，可知平面區(qū)域d是以a（4,3），b(4，2），c（6，2)為頂點的三角形區(qū)域當點在aef區(qū)域內時，點到直線y20的距離大于2.p.（2）由題意知，所給圖中兩陰影部分面積相等，故陰影部分面積為s2（eex）dx2（exex)|2ee（01）2.又該正方形面積為e2,故由幾何概型的概率公式可得所求概率為。題型三與體積有關的幾何概型例5（1）(2016貴州黔東南州凱里一中期末）一只蜜蜂在一個棱長為3的正方體內自由飛行

12、，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，則稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行的概率為(）a。 b.c. d.（2）已知正三棱錐s-abc的底面邊長為4，高為3,在正三棱錐內任取一點p,使得vp-abcvs-abc的概率是（)a。 b. c. d.答案(1)c(2）a解析(1）由題意知小蜜蜂的安全飛行范圍為以這個正方體的中心為中心，且棱長為1的小正方體內這個小正方體的體積為1，大正方體的體積為27，故安全飛行的概率為p.(2)當p在三棱錐的三條側棱的中點所在的平面及下底面構成的正三棱臺內時符合要求，由幾何概型知，p1。思維升華求解與體積有關的幾何概型的注意點對于與體積有關的

13、幾何概型問題，關鍵是計算問題的總體積（總空間)以及事件的體積（事件空間）,對于某些較復雜的問題也可利用其對立事件去求（2016哈爾濱模擬）在體積為v的三棱錐sabc的棱ab上任取一點p,則三棱錐sapc的體積大于的概率是_答案解析如圖，三棱錐sabc與三棱錐sapc的高相同，要使三棱錐sapc的體積大于，只需apc的面積大于abc的面積的.假設點p是線段ab靠近點a的三等分點，記事件m為“三棱錐sapc的體積大于,則事件m發(fā)生的區(qū)域是線段pb。從而p（m).16幾何概型中的“測度”典例（1）在等腰rtabc中,c90，在直角邊bc上任取一點m，則camn。如圖，由題意知，在矩形abcd內任取一

14、點q(m，n)，點q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線mn恰好將矩形平分，所求的概率為p。9隨機地向半圓0y（a為正常數(shù)）內擲一點，點落在圓內任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點與該點的連線與x軸的夾角小于的概率為_答案解析半圓區(qū)域如圖所示設a表示事件“原點與該點的連線與x軸的夾角小于”,由幾何概型的概率計算公式得p（a）.10（2017大連質檢)正方形的四個頂點a（1,1)，b（1，1），c（1，1）,d(1,1）分別在拋物線yx2和yx2上，如圖所示若將一個質點隨機投入正方形abcd中，則質點落在圖中陰影區(qū)域的概率是_答案解析正方形內空白部分面積為x2（x2)dx2x2dxx3

15、（)，陰影部分面積為22,所以所求概率為。11已知向量a（2,1），b（x，y）（1)若x，y分別表示將一枚質地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1，2,3,4，5,6）先后拋擲兩次時第一次，第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足ab1的概率；（2)若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值,求滿足ab0的概率解(1)將一枚質地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為6636,由ab1,得2xy1，所以滿足ab1的基本事件為(1，1），(2,3），(3,5），共3個,故滿足ab1的概率為.(2)若x,y在連續(xù)區(qū)間1，6上取值，則全部基本事件的結果為（x，y）|1x6,1y6，滿足ab0的基本事件的結果為a（x，y)1x6，1y6且2xy0畫出圖形如圖，矩形的面積為s矩形25，陰影部分的面積為s陰影252421，故滿足ab0的概率為.12已知關于x的二次函數(shù)f（x)ax24bx1。設點（a，b)是區(qū)域內的一點，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)的概率解函數(shù)f(x）ax24bx1的圖像的對稱軸為直線x,要使f（x）ax24bx1在區(qū)間1,)上為增函數(shù)，當且僅當a0且1,即2ba。依條件可知事件的全部結果所構成的區(qū)域為,構成所求事件的區(qū)域為三角形部分所求概率區(qū)間應滿足2ba.由得交點坐標為（，),故所求事件的概率為p.13.甲、乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘