畢業(yè)設(shè)計（論文）卡爾曼濾波器

1、1. 緒論1.1 概述在濾波器的發(fā)展過程中，早期的維納濾波器涉及到對不隨時間變化的統(tǒng)計特性的處理，即靜態(tài)處理。在這種信號處理過程中，有用信號和無用噪聲的統(tǒng)計特性可與它們的頻率特性聯(lián)系起來，因此與經(jīng)典濾波器在概念上還有一定的聯(lián)系。由于軍事上的需要，維納濾波器在第二次世界大戰(zhàn)期間得到了廣泛的應(yīng)用。但是，維納濾波器有如下不足之處：第一，必須利用全部的歷史觀測數(shù)據(jù)，存儲量和計算量都很大；第二，當獲得新的觀測數(shù)據(jù)時，沒有合適的遞推算法，必須進行重新計算；第三，很難用于非平穩(wěn)過程的濾波。為了克服維納濾波器的上述不足之處，卡爾曼等人在維納濾波的基礎(chǔ)上，與60年代初提出了一種遞推濾波方法，稱為卡爾曼濾波。與維

2、納濾波不同，卡爾曼濾波是對時變統(tǒng)計特性進行處理。他不是從頻域，而是從時域的角度出發(fā)來考慮問題。30多年來?？柭言诟鱾€領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，包括機器人導(dǎo)航、控制、傳感器數(shù)據(jù)融合甚至軍事方面的雷達系統(tǒng)以及導(dǎo)彈追蹤等。近年來更被應(yīng)用于計算機圖象處理，例如頭臉識別、圖象分割、圖象邊緣檢測等等。1.2濾波器的發(fā)展濾波器最初是指某種具有選頻特性的電子網(wǎng)絡(luò)，一般由線圈、電容器和電阻器等元件組成。濾波器將使它所容許通過的頻率范圍（即通帶）內(nèi)的電信號產(chǎn)生較小的衰減，而使它所阻止通過的頻率范圍（即阻帶）內(nèi)的電信號產(chǎn)生較大衰減。劃分通帶和阻帶的頻率，稱為濾波器的截止頻率。按組成電路的元件，濾波器可分為lc、rl

3、c、rc、晶體和陶瓷濾波器等。我們也可以用機械元件代替電子元件，制成機械式濾波器，或利用物質(zhì)的鐵磁共振原理制成可點電調(diào)諧的濾波器。按容器通過的頻率范圍，濾波器可分為低通，高通，帶阻和帶通濾波器等。具有選頻特性的串聯(lián)或并聯(lián)諧振回路，是一種常用的濾波器。收音機或其他差式接收機中的中頻放大器，也是一中濾波器。也是一種濾波器。各級中頻放大器中回路靠放大器和變壓器來耦合，形成一定的通帶和阻帶。信號在通過中放級時，通帶內(nèi)的成分將被放大，而阻帶內(nèi)的成分將大大衰減，而且對通帶內(nèi)的信號還有放大作用。此外，調(diào)幅波接收機中的包絡(luò)是一種非線性濾波器。非線性濾波器實例還有：自動增益控制電路，調(diào)頻接收機中的鎖相環(huán)以及近年

4、來在組合音響裝置中用來提高信噪比的dobly系統(tǒng)等。上面所舉的這些濾波器，不論是線性還是非線性的，由于都是用來對模擬信號進行處理，故統(tǒng)稱為模擬濾波器或經(jīng)典濾波器。隨著集成電路技術(shù)的出現(xiàn)，特別是數(shù)字電子計算機的廣泛應(yīng)用，模擬濾波器開始向數(shù)字濾波器方向發(fā)展。a/d或d/a轉(zhuǎn)換器，移位寄存器。只讀存儲器以及微處理機這樣一些與傳統(tǒng)的模擬濾波電路元件截然不同的電路元件和模塊被廣泛應(yīng)用于數(shù)字濾波電路中，以適應(yīng)離散數(shù)字信號處理的要求。即使是模擬信號，也可通過a/d轉(zhuǎn)換先變成離散的數(shù)字信號，經(jīng)相應(yīng)的處理后再恢復(fù)成模擬信號。與模擬濾波器相比，數(shù)字濾波器不僅可使體積縮小，成本降低，而且還有如下優(yōu)點：第一，濾波器的

5、參數(shù)可根據(jù)對濾波器性能指標的要求來設(shè)定，從而具有較高的精度；第二，濾波器的參數(shù)很容易重新設(shè)定或使具有自適應(yīng)性；第三，有些采用微處理機的數(shù)字濾波器可實現(xiàn)對微處理機的分時使用，從而大大提高工作效率。經(jīng)典濾波器的另一發(fā)展方向，就是利用統(tǒng)計理論來處理濾波問題，由此，產(chǎn)生了統(tǒng)計濾波器。從經(jīng)典濾波的觀點來看，有用信號和噪聲信號是分布在不同頻帶之內(nèi)。因此，我們可用具有一定選頻特性的經(jīng)典濾波網(wǎng)絡(luò)把噪聲盡可能地濾除，而保留畸變不大的有用信號。但是，我們所遇到的信號和噪聲有時可能是隨機的，其特性往往只能從統(tǒng)計的意義上來描述。例如，在導(dǎo)彈控制系統(tǒng)中，由于目標運動的隨機性，目標的位置和速度都是隨機的。此外，測量裝置也

6、會有隨機噪聲。此時，我們就不可能采用一般的經(jīng)典濾波器把有用信號從測量結(jié)果中分離出來，而只能用統(tǒng)計估算方法給出有用信號的最優(yōu)估計值。從統(tǒng)計的觀點來看，一個濾波器的輸出越接近實際有用信號，這個濾波器就越好。也就是說，最優(yōu)濾波器是輸出最接近于實際有用的信號的濾波器。1.3 卡爾曼濾波器的基本思想卡爾曼濾波是線性無偏最小均方誤差遞推濾波器。與維納濾波相比，在平穩(wěn)條件下，它們所得到的穩(wěn)態(tài)結(jié)果是一致的。然而，它們解決的方法有很大區(qū)別。維納濾波是根據(jù)全部過去的和當前的觀察數(shù)據(jù) 來估計信號的當前值，它的解是以均方誤差最小條件下所得到的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)h(z)或單位樣本響應(yīng)h(n)的形式給出的，因此稱這種系統(tǒng)為最

7、佳線性過濾器或濾波器。而卡爾曼過濾是用前一個估計值和最近一個觀察數(shù)據(jù)來估計信號的當前值，是用狀態(tài)方程和遞推的方法進行估計的，其解是以估計值形式給出。因此稱這種系統(tǒng)為線性最優(yōu)估計器或濾波器。卡爾曼過濾中信號和噪聲是狀態(tài)方程和量測方程表示的，因此設(shè)計卡爾曼濾波器要求已知狀態(tài)方程和量測方程。 標準卡爾曼濾波器是在最小均方誤差準則下的最佳線性過濾器，就是說，它使系統(tǒng)的狀態(tài)向量和狀態(tài)向量的預(yù)測值之間的均方誤差達到最小，它用狀態(tài)方程和遞推方法進行估計，它的解是以估計值形式給出的。由于它能夠?qū)ξ矬w的運動建立某種模型，因此在跟蹤中經(jīng)常被用到。當觀測方程不是線性時，上述標準卡爾曼濾波方程不再適用，但是如果狀態(tài)估

8、計值離真實值不是很遠，可以將觀測方程局部線性化，得到擴展卡爾曼濾波器（ekf）。由于ekf 使用泰勒展開的一階近似，跟蹤一段時間之后，經(jīng)常會引起很大的參數(shù)估計的累計誤差。為此，unscented kalman filter (ukf) 不再近似估計觀測方程，它仍然用高斯隨機變量表示狀態(tài)分布，不過是用特定選擇的樣本點加以描述。與ekf 相比，ukf 的誤差僅僅出現(xiàn)在三階以上的矩中，而且計算也簡單，而ekf 僅僅精確到一階矩?？偟膩碚f，卡爾曼濾波是一個線性的估計器，能夠有效地跟蹤物體的運動和形狀變化，但它基于兩個假設(shè)：一是背景相對干凈；二是運動參數(shù)服從高斯分布。因而適用范圍有限，對于復(fù)雜的多峰情況

9、，還得求助于其它方法。1.4 課題解決方案 本課題采用卡爾曼濾波器技術(shù)對熱力系統(tǒng)進行溫度估計，選取溫室室內(nèi)溫度作為系統(tǒng)研究對象。系統(tǒng)建模 具體流程如下： 組織相似狀態(tài)向量集 運行與調(diào)試 狀態(tài)觀測器的設(shè)計形成卡爾曼濾波器的疊代初始值matlab編程2.卡爾曼濾波器的數(shù)學(xué)模型卡爾曼濾波方法是由r.e.kalman建立的,他在wiener平穩(wěn)隨機過程的濾波理論基礎(chǔ)上建立了一種新的遞推式濾波方法,可借助于前一時刻的濾波結(jié)果,遞推出現(xiàn)時刻的狀態(tài)估計量,因而大大提高了下一時刻的預(yù)測精度。該方法不但需要的歷史資料很短(23月),而且大大減少了計算機的存儲量和計算量。利用前一時刻預(yù)報誤差反饋到原來的預(yù)報方程,

10、通過修正原預(yù)報方程系數(shù),來提高一下時刻的預(yù)報精度,這是卡爾曼濾波與多元回歸預(yù)報方法的最大區(qū)別,也是它的最大優(yōu)點。2.1 一維時變隨機信號的數(shù)學(xué)模型對每一確定的取樣時刻k，x（k）是一個隨機變量。當取樣時刻的時標k變化時，我們就得到一個離散的隨機過程，即隨機序列x（k）。假設(shè)待估隨機信號的數(shù)學(xué)模型是一個由白噪聲序列w（k）驅(qū)動的一階自遞歸過程，其動態(tài)方程為： (2-1) 式中：參數(shù)a1（2-1）式中的w（k-1）稱為過程噪聲或動態(tài)噪聲。當時標k變化時，它將構(gòu)成一個白噪聲序列w（k），其統(tǒng)計特性可用以下數(shù)字特征來描述：均值 方差 常數(shù) 自相關(guān)序列 由（2-1）式所決定的信號x（k），當時標k變化時

11、，將構(gòu)成一個平穩(wěn)隨機序x（k），其統(tǒng)計特性可用以下數(shù)字特性來描述： 1.均值 2.方差 常數(shù) 3.自相關(guān)序列 當取樣時刻的時標k變化時，取樣時刻時標相差j的x（k）的兩樣值見的自相關(guān)序列為 2.2 信號測量過程的數(shù)學(xué)模型 信號測量過程的數(shù)學(xué)模型，可用如下的測量方程給出 (2-2) 式中：為k時刻的信號值。為該時刻對進行測量所得到的信號測量樣值。為此時在測量過程中所引入的量測噪聲，可將其視為獨立的附加白噪聲。當k變化時，將組成一個隨機信號序列，將組成一個測量樣值序列，而將組成一個附加白噪聲序列。c為量測參數(shù)，它是一個由測量系統(tǒng)和測量方法所確定的不隨時間變化的常數(shù)。因為量測噪聲序列是一個白噪聲序列

12、，故其統(tǒng)計特性可用如下的數(shù)字特征來描述：均值 方差 常數(shù)自相關(guān)序列 又因量測噪聲序列與隨機信號序列互不相關(guān)，故 所以，我們可以得到一維時變隨機信號及其測量過程的數(shù)學(xué)模型，見圖2-1。y(k)w(k-1)x(k) c + x(k-1) v(k)ta 信號的數(shù)學(xué)模型 測量過程的數(shù)學(xué)模型 圖2-1 一維時變隨機信號及其測量過程的數(shù)學(xué)模型2.3 多維隨機信號向量及其數(shù)學(xué)模型假設(shè)我們想同時對q 個獨立的標量隨機信號，進行最優(yōu)濾波或預(yù)測，而這q個獨立的標量隨機信號都由它們各自的一階自遞歸過程產(chǎn)生，即 (2-3)式中：=1，2， 。若上述個一階自遞歸過程中的過程噪聲是彼此獨立的白噪聲序列，則可以定義一個由這

13、q個獨立的標量隨機信號組成的q維隨機信號向量 (2-4)和一個由q個獨立的白噪聲序列組成的q維過程噪聲向量 (2-5)并將（2-3）式寫成一個一階的向量方程 (2-6)式中：和均為（q1）維列向量，而a則是一個（qq）階矩陣 (2-7)我們稱之為系統(tǒng)矩陣。在引入q維過程噪聲向量后，原標量過程噪聲的方差將變成q維過程噪聲向量的協(xié)方差矩陣 (2-8)因為我們假設(shè)產(chǎn)生q個獨立標量隨機信號的一階自遞歸過程的過程噪聲是彼此獨立的白噪聲序列，故 (2-9)顯然，此協(xié)方差矩陣對角線上個元素即為組成該過程噪聲向量的個分量的方差。2.4 多維測量數(shù)據(jù)向量及其數(shù)學(xué)模型假設(shè)為了對一個q維隨機信號向量進行最優(yōu)濾波或預(yù)

14、測，在k時刻對的前r個分量，令rq，同時進行了一次測量。得到r個測量數(shù)據(jù)的樣值，用，表示，即 （2-10）式中：，為測量系統(tǒng)的量測參數(shù)；，為測量過程中引入的附加量測噪聲。（2-10）式可寫成一個一階向量方程 （2-11）式中：和為（r1）維列向量，為（q1）維列向量，而c則是一個（rq）階矩陣 （2-12）稱為量測矩陣回觀測矩陣。顯然，一階向量方程（2-11）式就是r維測量數(shù)據(jù)向量的數(shù)學(xué)模型，或者說是q維隨機信號向量的測量過程的數(shù)學(xué)模型。在引入r維量測噪聲向量后，原標量量測噪聲的方差此時也將變成量測噪聲向量的協(xié)方差矩陣 （2-13） 3卡爾曼濾波器3.1標量卡爾曼濾波器的基本內(nèi)容一維隨機信號的

15、遞歸型估計器的一般表達式： (3-1) 在信號數(shù)學(xué)模型為（2-1）式、測量過程的數(shù)學(xué)模型為（2-2）的條件下，以均方估計誤差最小為準則對估計器的加權(quán)系數(shù)和進行最優(yōu)化，并推導(dǎo)出標量卡爾曼濾波器的最優(yōu)估計的遞推算法。由（3-2）式表述的遞歸型估計器在k時刻對信號的估計誤差為 (3-2) 均方估計差為 (3-3) 若將（3-1）式代入（3-3）式，可得 (3-4) 若令對和的偏導(dǎo)數(shù)為零，即 (3-5) (3-6) 則由（3-5）式和（3-6）式中解出和將保證該遞歸型估計器的均方估計誤差為最小。 根據(jù)統(tǒng)計估計理論中的正交原理，我們也可將（3-5）式和（3-6）式分別寫成正交方程的形式，即 (3-7)

16、(3-8) 由（3-5）式，我們可得 (3-9) 再由（3-9）式出發(fā)，經(jīng)過一系列的代換可求出 (3-10)此式為經(jīng)過最優(yōu)化得到的表達式。式中：是最優(yōu)遞歸型估計器的一個時變增益，它將隨時標k的改變而變化。是信號模型中反映一階自遞歸過程惰性大小的參數(shù)，只要信號模型確定后，它就是一個常數(shù)。顯然，和是兩個意義完全不同的量。我們還可以看出，由于式中還包含另一個未知的時變增益，因此它實際上只是一個與的關(guān)系式。要想最終確定，還必須求出。 最優(yōu)遞歸型估計器對信號的均方估計誤差可寫成 由正交公式（3-7）式和（3-8）式可知，上式等號右側(cè)的后兩項為零，故 (3-11) 由量測方程（2-2）式，我們可得 代入（

17、3-11）式，因為信號與量測噪聲不相關(guān)，（）時刻的信號估計值與時刻的量測噪聲也不相關(guān)，故 (3-12)我們還可以把最優(yōu)遞歸型估計器對信號的均方估計誤差寫成 (3-13)再利用與的關(guān)系式（3-10）式 因為、和互不相關(guān)，它們的交叉乘積項的均值都為零，故 (3-14)將（3-12）式代入（3-14）式，經(jīng)整理后求解得 (3-15)此式即經(jīng)過最優(yōu)化所得到的的表達式。3.2 最優(yōu)遞歸型估計器的構(gòu)成由（3-1）式所表述的遞歸型估計器，當其時變增益和經(jīng)過最優(yōu)化，即分別有（3-10）式和（3-15）式給出時，就是一個最優(yōu)遞歸型估計器，其均方估計誤差最小。利用（3-10）式，我們可從（3-1）式中消去，得到

18、(3-16)由（3-16）式，可構(gòu)成一個最優(yōu)遞歸型估計器-標量卡爾曼濾波器，其框圖如圖3-1。x(k)y(k)+_+b(k)cat 圖3-1 標量卡爾曼濾波器框圖對（3-16）式物理意義的說明：在尚未獲得k時刻的新測量樣值以前，我們只能從時刻對信號所作出的估計出發(fā)，根據(jù)由信號數(shù)學(xué)模型所確定的規(guī)律來對k時刻的信號進行預(yù)估。由于信號數(shù)學(xué)模型中的動態(tài)噪聲的確切數(shù)值無從得知，故對的預(yù)估值只能取作?？梢?，（3-16）式等號右側(cè)的第一項就是在未獲得任何新信息的情況下，根據(jù)以往的測量數(shù)據(jù)對k時刻的信號所做的預(yù)估。在k 時刻的新測量樣值尚未得到之前，我們還可對k時刻的將要測得的新測量樣值進行預(yù)估。但是，此時我

19、們只能從對k時刻的信號的預(yù)估值出發(fā)，根據(jù)量測方程來對k時刻將要測得的作出預(yù)估。由于量測噪聲的確切數(shù)值無從得知，故對的預(yù)估值只能取作 當我們測得k時刻的新測量樣值后，若所測得的值與其預(yù)估值之差不為零，就說明k時刻的新測量樣值中包含有前（）次測量中所沒有的新信息。若與其預(yù)估值之差為零，則說明k時刻的新測量樣值中不包含任何新信息。因此，我們把k時刻的信號實測值與其預(yù)估值之差稱為第k 次測量中的新信息。顯然，當我們測得k時刻的新測量樣值之后，可利用第k次測量中的新信息乘上一個比例系數(shù)作為修正項，對未測得前對信號給出的預(yù)估值進行修正，從而得到k時刻對信號的估計值?？梢姡?-16）式等號右側(cè)的第二項即為

20、對信號預(yù)估值的修正項。3.3 標量卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波的基本算法是預(yù)估加修正，而公式（3-16）式、（3-15）式和（3-12）式就構(gòu)成了標量卡爾曼濾波器在信號及其測量過程的數(shù)學(xué)模型分別為和時對信號進行最優(yōu)估計的一套完整的遞推算法。（3-6）式可用來推算卡爾曼濾波器在不同取樣時刻k 對信號的估計值，即 （3-15）式可用來推算卡爾曼濾波器在不同取樣時刻k的時變?yōu)V波增益，即 （3-12）式可用來推算卡爾曼濾波器在不同取樣時刻k的均方估計誤差，即 為了便于將標量卡爾曼濾波器的遞推算法直接推廣到向量隨機信號（即多維隨機信號）的卡爾曼濾波中去，給出如下的一套完整的遞推算法：濾波估計方程 (

21、3-17)濾波增益方程 (3-18)式中： (3-19)均方濾波誤差方程 (3-20)3.4 標量卡爾曼預(yù)測器假設(shè)待測標量隨機信號的數(shù)學(xué)模型為一階自遞歸過程，即信號測量過程的數(shù)學(xué)模型為線性遞歸型預(yù)測估計器可用如下的遞推方程來表述： (3-21)為使（3-21）式表述的線性預(yù)估器成為一個最優(yōu)線性預(yù)測器，就必須依據(jù)最小均方誤差準則對（3-21）式中的時變預(yù)測增益和進行最優(yōu)化。用上節(jié)類似的方法，可以求得經(jīng)最優(yōu)化后的和的表達式以及相應(yīng)的均方預(yù)測誤差的表達式，即 (3-22) (3-23) (3-24) 其中：根據(jù)（3-22）式，可由推算出；再根據(jù)（3-23）式又可由推算出。只要選定了初值，這一遞推過程

22、就可以不斷的進行下去。將（3-22）式代入（3-21）式，可得 (3-25)根據(jù)（3-25）式，可以構(gòu)成一個標量卡爾曼預(yù)測器，其框圖如圖3-2所示。+ 圖3-2 標量卡爾曼預(yù)測器框圖圖3-2所示的標量卡爾曼預(yù)測器的一套完整的遞推算法有（3-22）式、（3-23）式、（3-24）式組成。但為了便于將這組公式直接推廣到向量隨機信號（即多維隨機信號）的卡爾曼遞推預(yù)測中去，當變量隨機信號及其測量過程的數(shù)學(xué)模型分別為和時，將（3-24）式作下改寫，即利用（3-23）式消去（3-24）式中的。經(jīng)過改寫后得到卡爾曼預(yù)測器對此信號進行遞推預(yù)測的一套完整的遞推算法，公式如下：預(yù)測估計方程 (3-26) 預(yù)測增益

23、方程 (3-27)均方預(yù)測誤差方程 (3-28)3.5 向量卡爾曼濾波和預(yù)測與標量情況類似，可用向量表示k時刻對隨機信號向量的最優(yōu)線性濾波估計值，用向量表示在k時刻對時刻的隨機信號向量的最優(yōu)線性預(yù)測估計值。對向量卡爾曼濾波來說，標量情況下的濾波誤差此時將變成一個濾波誤差向量 （3-29）標量情況下的均方濾波誤差，此時將變成一個濾波誤差的協(xié)方差矩陣 （3-30）同樣，對向量卡爾曼預(yù)測來說，其預(yù)測誤差向量為 （3-31）其預(yù)測協(xié)方差矩陣為 （3-32）所謂向量卡爾曼濾波器或預(yù)測器，實際上就是一種能對向量隨機信號進行最優(yōu)線性濾波或預(yù)測的遞歸型濾波器?！白顑?yōu)”的含義，是指能使每個信號分量的均方估計誤差

24、同時為最小?？紤]到向量卡爾曼濾波器或預(yù)測與標量卡爾曼濾波器或預(yù)測無論條件上（即信號及其測量過程的數(shù)學(xué)模型）還是在要求上（即“最優(yōu)”的含義）都完全相似，因而，可以直接把標量卡爾曼濾波或預(yù)測的遞推公式推廣到向量情況。在直接引用標量卡爾曼濾波或預(yù)測的遞推公式時，除了應(yīng)把標量形式的信號、信號估計值和測量樣值表述成向量形式，把系統(tǒng)參數(shù)a和量測參數(shù)c表述成系統(tǒng)矩陣（或稱系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣）a和量測矩陣c，把均方估計誤差和有關(guān)噪聲和方差表述成相應(yīng)的協(xié)方差矩陣外，還應(yīng)根據(jù)表3-1將遞推公式中的標量運算變換成相應(yīng)的矩陣運算。 表3-1 從標量運算到矩陣運算的轉(zhuǎn)換表標量運算 矩陣運算 注意：在使用表3-1時必須使

25、變換后的沒一步矩陣運算都能進行下去，并使等號兩側(cè)最終得到的矩陣在階數(shù)上保持一致。我們可以從標量卡爾曼濾波的遞推算法（3-17）（3-20）式直接得到向量卡爾曼濾波的遞推算法：濾波估計方程： (3-33）濾波增益方程： （3-34）式中： （3-35）濾波協(xié)方差方程： （3-36）和標量卡爾曼濾波器一樣，向量卡爾曼濾波器也是以預(yù)測加修正作為其遞推濾波的基本算法的?？柭鼮V波器的這一特性，使得很容易用計算機來實現(xiàn)對信號的實時濾波，為此，可采用軟件芳案來實現(xiàn)卡爾曼濾波。在向量卡爾曼濾波的一整套遞推算法中，（3-33）式可構(gòu)成向量卡爾曼濾波的主程序算法， 圖3-3給出了主程序算法的框圖。第三步+第二步

26、第一步 圖3-3 向量卡爾曼濾波的主程序算法框圖從圖3-3中可以看出，向量卡爾曼濾波的主程序算法主要分三步來進行。第一步：在已知（k-1）時刻對信號向量的估計值的條件下，用系統(tǒng)矩陣a乘以，得到在（k-1）時刻對k時刻信號向量的預(yù)測值。 第二步：用量測矩陣c乘以，得到在（k-1）時刻對k時刻的測量數(shù)據(jù)向量的預(yù)測值；再用的實測值減去預(yù)測值，得到殘差（新信息）；最后用濾波增益矩陣乘以，得到修正量。 第三步：把對信號的預(yù)測值加上修正量，得到信號的濾波估計值。值得注意的是：在上述運算過程中，所用的濾波增益矩陣并不是在主程序中計算出來的，而是從向量卡爾曼濾波的子程序算法中計算出來的。上述運算過程中所得到的

27、值應(yīng)存儲起來，以供下一次遞推時使用。只要確定了信號估計值的初值，例如設(shè)，則隨著時間的推移，可在測得后算出，在測得后算出，依次類推。在從（k-1）時刻到k時刻這段時間內(nèi)，只需把存儲起來。隨著遞推的不斷進行，再對它不斷更新。當然，如果系統(tǒng)矩陣和量測矩陣是時變的，就需把和也存儲起來。向量卡爾曼濾波的子程序算法是由（3-33）（3-36）式構(gòu)成的，其算法框圖由圖3-4所示。從圖3-4中可以看出，向量卡爾曼濾波的子程序算法也分三步來進行。第一步：在以知、和的條件下，利用（3-35）式求出。第二步：將、和代入（3-34）式，求出，供主程序調(diào)用。第三步：將、和代入（3-36）式，求出并存儲起來，以供下一次遞

28、推用。計算延時計算計算圖3-4 向量卡爾曼濾波的子程序算法框圖由于濾波增益矩陣只與矩陣、和以及濾波協(xié)方差矩陣的初值無關(guān)，而與信號的估計值和測量值無關(guān)，所以對的計算可在對信號進行估計之前就由子程序來獨立完成。需要指出的是：即使a、c、q、r都是與時間無關(guān)的常數(shù)矩陣，濾波協(xié)方差矩陣和濾波增益矩陣仍將與時間有關(guān)。只要選定了濾波協(xié)方差矩陣的初值，子程序中的遞推運算即可反復(fù)進行下去，從而對和主程序所需調(diào)用的不斷進行更新。此外，由于在用（3-34）式求的過程中需對（rr）階矩陣求逆，所以量測數(shù)據(jù)向量的維數(shù)r一般不宜取得過大。最后把向量卡爾曼濾波的主程序算法和子程序合在一起，看看子程序中影響濾波增益的諸因數(shù)

29、與在主程序中所起的作用。在卡爾曼主程序中：首先根據(jù)信號模型對信號進行外推預(yù)測，得到信號的外推預(yù)測值；然后，根據(jù)信號的量測方程和信號的實測值，求出殘差，經(jīng)調(diào)用加權(quán)后，作為對信號預(yù)測值的修正量；最后，將預(yù)測值和修正值相加，給出信號的濾波估計值。在主程序中是修正量的加權(quán)因子。大，意味著實際測量值在濾波估計中所起的作用大；小，意味著外推預(yù)測值在濾波估計中所起的作用大。的大小是在卡爾曼濾波的子程序中計算出來的。從（3-34）式可知，的大小與有關(guān)。若變小，則變大。這一結(jié)果的物理意義很明顯。變小意味著測量過程中引入的量測噪聲變小，因此信號實測值的準確度較高。此時，當然把取大一些，使信號的濾波估計值依賴實測值

30、的比重加大。從（3-34）式還可知，的大小還與有關(guān)，即與預(yù)測誤差的協(xié)方差有關(guān)。根據(jù)（3-35）式，若變小，或變小，或兩者都變小，則變小。此時，也變小。這一結(jié)果的物理意義也不難理解。變小意味著原有濾波估計值較為準確，變小意味著動態(tài)過程噪聲在信號模型中起的作用較小，這都會使信號的外推預(yù)測值的可靠性提高。這一點，也可以從預(yù)測協(xié)方差變小看出。此時，當然應(yīng)把值取得小一些，使信號的濾波估計值依賴外推預(yù)測值的比重加大。3.6卡爾曼的線性化卡爾曼濾波在測量領(lǐng)域的應(yīng)用一般都存在線性化的問題?？柭鼮V波的線性化目前主要有按系統(tǒng)標稱狀態(tài)線性化和按系統(tǒng)狀態(tài)最優(yōu)估計線性化(也稱廣義卡爾曼濾波)兩種方式。在靜態(tài)定位領(lǐng)域，

31、由于觀測目標狀態(tài)不變，因而標稱狀態(tài)的誤差不會隨濾波過程增大，這兩種線性化方法都易于使用。但在動態(tài)定位領(lǐng)域，由于狀態(tài)方程中動態(tài)噪聲的原因， 系統(tǒng)的標稱狀態(tài)和實際狀態(tài)容易相差過大，按照標 稱狀態(tài)線性化方式的線性化就會有較大誤差，從而影響濾波精度。廣義卡爾曼濾波按照系統(tǒng)狀態(tài)最優(yōu) 估計進行線性化，其線性化精度可以保證，但是其線性化是在本時刻預(yù)報的基礎(chǔ)上進行 的，即線性化時 必須確定定位點的動態(tài)模型，而在卡爾曼濾波的實 際應(yīng)用中，如采用多模型的自適應(yīng)濾波方法 動態(tài)模型改變，系統(tǒng)就必須重新線性化，不便進行數(shù)據(jù)處理。同時，此線性化方法和測量界常用的最小 二乘線性化方法不同，后者經(jīng)常在卡爾曼濾波中被 用來作各

32、種輔助處理，如成果檢核和精度分析等，數(shù) 據(jù)處理也不便。因此 ，本文提出了一種新的線性化方法，使用前一步最優(yōu)估計值進行線性化，將最小二乘和卡爾曼濾波的線性觀測方程統(tǒng)一，從而便于數(shù)據(jù)處理，也能保證精度，在空間狀態(tài)變化不大的情況下，線性化精度和廣義卡爾曼濾波類似。經(jīng)典方程對于線性系統(tǒng)： (3-37)經(jīng)典線性離散卡爾曼濾波方程為： (3-38) (3-39) (3-40) （3-41） (3-42)目前的兩種線性化方法 在一般的工程實踐中，濾波方程的狀態(tài)方程或量測方程常是非線性方 程，最常見的是系統(tǒng)噪 聲為線性的非線性方程： (3-43)經(jīng)典濾波方程式(3-38)式(3-42)并不能直接使用，要推導(dǎo)出

33、相應(yīng)的線性公式。 在線性化時，卡爾曼濾波基本方程的式(3-40)、式(3-42)變化較小 ，較易寫出，本文主要針對線性化中的式(3-38)、式(3-39)、式(3-41)進行討論。目前使用的兩種線性化為按標稱狀態(tài)線性化和按照狀態(tài)估計值線性化。 按標稱狀態(tài)線性化后，式(3-38)、式(3-39)、式(3-41)有如下形式： (3-44) (3-45) (3-46) 式中，由于式(3-44)中的 是根據(jù)標稱的物理過程 給出的，如果實際物理過程和標稱物理過程相差過大，會導(dǎo)致數(shù)值過大,線性化誤差也會相應(yīng)增大 。圍繞狀態(tài)估計值線性化的濾波方法即為廣義卡爾曼濾波。在廣義卡爾曼濾波中，對應(yīng)卡爾曼濾波基本方程

34、的式 (3-38)、式(3-39)、式(3-41)為： (3-47) (3-48) (3-49)式（3-49）可以進一步表示為： (3-50)由于式(3-47)中的 總為零，線性化誤差僅受上一步估計結(jié)果精度及下一步預(yù)報精度的影響，所以精度較高。 按前一步狀態(tài)最優(yōu)估計線性化最小二乘線性化中，由于不顧及觀測點的運動狀態(tài) ，其線性化一般都是采用上一步的定位結(jié)果。這樣，如果在數(shù)據(jù)處理中同時使用此兩種估計方法，由于最小二乘和廣義卡爾曼濾波的線性化方法不同，所得觀測方程亦不同 ，不便于數(shù)據(jù)處理。本文提出了在上一步的定位結(jié)果的基礎(chǔ)上進行線性化的方法，可將最小二乘和卡爾曼濾波的線性觀測方程統(tǒng)一 ，從而便于數(shù)據(jù)

35、處理，也能保證精度。以下進行理論推導(dǎo)。定義： (3-51)式中，為本時刻的估計值。將式(3-43)中的狀態(tài)方程在前一步狀態(tài)最優(yōu)估 計處按泰勒級數(shù)展開，并取一次形式： (3-52)將改寫成，則由式（3-52）可推得： (3-53)同時定義： （3-54）將式（3-43）中的觀測方程在本時刻狀態(tài)最優(yōu)估計處按照泰勒級數(shù)展開： (3-55)得： （3-56）結(jié)合式（3-53）、式（3-56）即可得到按照前一步狀態(tài)線性化的狀態(tài)方程和量測方程： （3-57）根據(jù)式（3-57）可以推導(dǎo)出相應(yīng)的線性濾波公式： （3-58） （3-59） （3-30）從形式上看，此濾波公式和按照標稱狀態(tài)線性化的公式相同。但由式

36、(3-51)的定義可以得知，由于的誤差不會隨著濾波時間的增長而愈來愈大，因而，這種線性化方式不會像按標稱狀態(tài)線性化那樣會導(dǎo)致線性化誤差過大的問題。同時，式(3-30)中的濾波結(jié)果 為一個濾波周期中狀態(tài)的變化量，在狀態(tài)變化緩慢的情況下，其數(shù)值不會太大，此時線性化的精度效果和廣義卡爾曼濾波基本相同。 這種線性化方法的優(yōu)點是其線性化點與觀測對象的運動狀態(tài)無關(guān)，觀測對象的動態(tài)噪聲不會影響到線性化的精度。更為重要的是，在最小二乘估計中，由于不顧及觀測對象的運動狀態(tài) ，其線性化常在前一步的估計結(jié)果處進行，這樣本文的線性化方式就和最小二乘線性化一致 。4 傳感器及轉(zhuǎn)換技術(shù)4.1 傳感器的概述傳感器技術(shù)是一項

37、正在迅速發(fā)展的高新技術(shù)，它與通信技術(shù)，計算機技術(shù)一起構(gòu)成當代信息產(chǎn)業(yè)的三大支柱。由于傳感器是用來直接或間接與被測對象發(fā)生聯(lián)系，將被測參數(shù)（機械、物理、化學(xué)、壓力、溫度等非電量）轉(zhuǎn)換成可以直接測量的信號（通常是易于放大和遠距離傳輸?shù)男盘枺?，它為系統(tǒng)提供了進行處理和決策所必需的原始信息。因此，它是現(xiàn)代檢測系統(tǒng)和信息技術(shù)系統(tǒng)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。傳感器獲得的信息正確與否，直接影響整個系統(tǒng)的精度。如果傳感器的誤差大，后級的測量電路、放大器以及微處理器的精確度再高也是徒勞。在現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中，尤其是計算機過程控制中，需要各種傳感器監(jiān)視生產(chǎn)過程中的各種參數(shù)，并轉(zhuǎn)換成電信號，以便控制生產(chǎn)設(shè)備及工藝流程，使其處于最佳狀

38、態(tài)，從而取得高質(zhì)量產(chǎn)品，并能極大地提高生產(chǎn)率?？梢?，若沒有眾多的優(yōu)良的傳感器，現(xiàn)代化生產(chǎn)也就失去了基礎(chǔ)。傳感器的種類很多，分類方法也有很多，常見的有：按檢測用途分類、按能量傳遞方式分類、按轉(zhuǎn)換原理分類、按傳感器技術(shù)發(fā)展階段分類等。本文中所要用的是溫度傳感器。按能量傳遞方式分類，它應(yīng)該是熱電式傳感器。熱電偶是目前溫度測量領(lǐng)域里應(yīng)廣泛的傳感器之一，主要應(yīng)用在化工、冶金、石油、機械等部門測量1600攝氏度以下的液體，氣體，蒸汽等介質(zhì)的溫度。它與其它溫度傳感器相比具有以下突出的優(yōu)點：（1）能測量較高的溫度，常用的熱電偶能長期地用來測量-1802800攝氏度的溫度。（2）熱點偶把溫度信號轉(zhuǎn)換成電壓信號，

39、測量方便，且便于遠距離傳遞和自動記錄，有利于集中檢測、報警和控制。（3）結(jié)構(gòu)簡單、準確可靠、性能穩(wěn)定、維護方便。（4）熱容量和熱慣性都很小，能用于快速測量。熱點偶的主要缺點就是它的輸出信號和溫度示值呈非線性關(guān)系，并且下限范圍的靈敏度較低。熱電偶的基本工作原理是基于“熱電勢效應(yīng)”。將兩種不同材料的導(dǎo)體組成一個閉合回路。如果兩端接點的溫度不同，回路中就產(chǎn)生電勢，該電勢的方向和大小，與兩種導(dǎo)體的性質(zhì)和接點溫度有關(guān)。這個物理現(xiàn)象叫作熱電勢效應(yīng)，有時也稱為溫差效應(yīng)。組成熱電偶的導(dǎo)體稱為“熱電極”，溫度高的一端稱為“熱端”或工作端，另一端稱為自由端或冷端。根據(jù)上述熱電偶的測溫原則，從理論上說任何兩種導(dǎo)體都

40、能配成熱電偶。但在工業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究中使用的熱電偶，對其材料有一點要求：（1） 物理性能穩(wěn)定；（2） 化學(xué)性能穩(wěn)定；（3） 有足夠的靈敏度；（4） 復(fù)現(xiàn)性好；（5） 電阻溫度系數(shù)小，導(dǎo)電率高；（6） 機械加工性能好，材料質(zhì)地均勻；根據(jù)上述要求，目前我國廣泛采用三種合金材料制作熱電偶，主要有以下幾種：（1） 鉑鐒-鉑熱電偶（wrlb）；（2） 鎳鉻-鎳硅熱電偶（wreu）；（3） 鎳鉻-考銅熱電偶（wrea）。熱電偶在室溫下的典型輸出電壓為毫伏數(shù)量級。4.2轉(zhuǎn)換技術(shù)傳感器，如溫度，壓力，流量，電阻等，他們的輸出量都是模擬量。然而，計算機識別的只有數(shù)字量。因此，傳感器和計算機之間要通過模數(shù)轉(zhuǎn)換器（

41、a/d），它的功能是把輸入的，模擬量轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)字信號，即計算機接受的數(shù)字信號。相反，把計算機輸出的數(shù)字信號，用于控制執(zhí)行時，由于大多數(shù)執(zhí)行裝置都是識別模擬信號，因此，傳輸之前還得進行數(shù)模轉(zhuǎn)換（d/a），它把數(shù)字信號轉(zhuǎn)換成模擬信號?？梢?，a/d和d/a模擬電路與數(shù)字電路的接口裝置，是數(shù)字花和計算機應(yīng)用基礎(chǔ)，其應(yīng)用非常廣泛，在檢測系統(tǒng)中也占有重要的位置。4.2.1 d/a轉(zhuǎn)換器：d/a轉(zhuǎn)換器的功能是將幾位輸入的數(shù)字量轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的模擬量，其輸出有模擬電壓和模擬電流兩種形式。如dac0832（電流輸出），ad7224（電壓輸出）等。常用的dac有兩種結(jié)構(gòu)形式，一種是權(quán)電阻解碼網(wǎng)絡(luò)，另一種是r-2r

42、梯形解碼網(wǎng)絡(luò)。dac的技術(shù)指標較多，其中重要的有：1.精度 精度有絕對精度和相對精度。絕對精度是指dac輸出信號的實際值與理論值的誤差，它包括非線性，零點，增益，溫度漂移等項誤差。2.轉(zhuǎn)換時間 輸入數(shù)字代碼產(chǎn)生滿度值的變化時，其模擬輸出達到最終值的1/2內(nèi)所需時間。輸出形式是電流時，其轉(zhuǎn)換時間是很多的，一般50-500，若輸出形式是電壓，轉(zhuǎn)換器主要建立時間是輸出運算放大器所需的時間，約為110。3分辨率 分辨率d是dac最重要的指標，它是表示dac對微小輸入量變化的敏感程度的描述。 分辨率d的定義：量化單位q除以滿量程電壓值，或用d/a轉(zhuǎn)換器的位數(shù)表示可寫成： 式中： （數(shù)字量最低位所代表的數(shù)值） n-數(shù)字量的位數(shù)4.2.2 集成芯片dac 近年來，隨著大規(guī)模集成技術(shù)發(fā)展，特別是cmos工藝的發(fā)展，已經(jīng)產(chǎn)生出各種單芯片的dac，主要是將r-2r體形網(wǎng)絡(luò)、模擬開關(guān)、運算放大器集成在單一芯片上，根據(jù)實際應(yīng)用的需要，再附加一些功能電路，就形成了具有各種特性及功能的不同型號的dac芯片。dac芯片的典型結(jié)構(gòu)框圖如下圖4-1所示。 參考源放大器模擬轉(zhuǎn)換電流電壓輸出運算放大器模擬轉(zhuǎn)換參考源放大器外參考源 電平轉(zhuǎn)換電平轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)控制或存儲數(shù)字輸入 圖4-1 集