中考動點問題集錦

1、圖11圖12中考壓軸動點問題1、如圖11,在厶ABC中，/ C=90, BC=8 AC=6另有一直角梯形 DEFH(HF/ DE / HDE=90 )的底邊 DE落在 CB上,腰 DH落在 CA上，且 DE=4 / DEF玄 CBA AH： AC=2： 3(1) 延長HF交AB于6求厶AHG的面積.(2) 操作：固定 ABC將直角梯形DEFH以每秒1個單位的速度沿CB方向向右移動，直到點 D與點B重合時停止，設(shè)運動的時間為 t秒，運動后的直角梯形為DEFH (如圖12).探究1:在運動中，四邊形 CDH H能否為正方形？若能，2 2解：(1)v AH： AC=2： 3，AC=6 二 AH=3

2、AC=3 X 6=4又 HF/ DE,二 HG/ CB ACB 1分AH HG4 HG16AC = BC ，即 6=8，. HG=31L 16 32.SA AHG=2AH- HG=2 X 4X 亍=E(2)能為正方形t HH / CD HC/ H D,.四邊形CDH H為平行四邊形又/ C=90，.四邊形 CDH H為矩形 又 CH=AC-AH=6-4=2當(dāng)CD二CH=2寸，四邊形CDH H為正方形此時可得t=2秒時，四邊形CDH H為正方形購（I）：/ DEFW ABC二EF/ AB 當(dāng)t=4秒時，直角梯形的腰 EF與BA重合.當(dāng)0G 4時，重疊部分的面積為直角梯形DEFH的面積FMAC 6

3、3過 F 作 FML DE于 M, me =tan / DEF=tan/ ABC=bc =8=444884 ME=3 FM=3 X 2=亍，HF二DM二DE-ME=4-= 3141616直角梯形DEFH的面積為2 (4+3 )X 2二亍 y=1(n)v當(dāng)4v t 53時，重疊部分的面積為四邊形 CBGH勺面積-矩形CDH H的面13240積. 而 S 邊形 CBGH二SABC-SA AHG=2 X 8 X 6-丁 二三 S 矩形 CDH H =2t 40y= 3 -2t3(8-t ) ( 8-t ) =81 3 (川)當(dāng) 53 v t 8 時，如圖，設(shè) H D 交 AB 于 P. BD=8-t

4、 又 百二ta n / ABC=43311-3pd=4 DB=4 ( 8-t )重的面積 y=S , PDB=2 PD- DB=2 440(8-t ) 2= 8 t2-6t+24y 與 t 的函數(shù)關(guān)系式：y= 16 (0t 4)3 -2t (4vt13 53 )8 t2-6t+24(53 v t 2 （不合題意應(yīng)舍去）綜上所述，當(dāng)時，所形成的四邊形為菱形.4.如圖24- 1,在厶ABC中， A 90, AB 4 , AC 3 . M是邊AB上的動點（M 不與A, B重合），MN / BC交AC于點N , AMN關(guān)于MN的對稱圖形是 PMN .設(shè)AM x . （1）用含x的式子表示 AMN的面積

5、（不必寫出過程）；（2）當(dāng)x為何值時，點P恰好落在邊BC 上; （3）在動點M的運動過程中，記厶PMN與梯形MBCN 重疊部分的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；并求x為何值時，重疊部分的面積最大，最大面積是多少?(1) 因為 MN/ BC,所以 AMN sABC所以根據(jù)相似三角形 的性質(zhì)即可求得MN的值與MN 邊上的高的值，即可求得面積；(2) 根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可求得相等的線段與角，可得點M是AB中點，即當(dāng)x=AB=2時，點P恰好落在邊BC上;圖1圖2圖*(3)分兩種情況討論：當(dāng)Ovx2 時， 易 見y=X2. (8 分)當(dāng) 2v xv 4 時，如圖 3,設(shè) PMPN分別交 BC于 E,

6、 F 由(2)知 ME二MB=4-X PE=PM-ME=x-(4-x ) =2x-4由題意知厶PEFA ABC利用相似三角形的性質(zhì)即可求得.【解析】(1) Saami=x (3);(2)如圖2,由軸對稱性質(zhì)知： AM=PM / AMNHPMN (4分) 又 MIN/ BC, / PMN= BPM / AMNM B, ( 5)二/ B=Z BPM. AM=PM=BM6 分)AB=2時，點P恰好x2 (8分)當(dāng)2vx點M是AB中點，即當(dāng)x=落在邊BC上.(7分)(3) (i )以下分兩種情況討論:當(dāng)Ovx2時，易見y=V 4時，如圖3,設(shè)PM PN分別交BC于E, F由( 2) 知 ME=MB=4

7、-x PE二PM-ME=x-(4-x ) =2x-4由題意知厶PE2AABCy=(ii )當(dāng) 0vx2時，y=x2二易知 y最大（11 分）當(dāng)2vxy=2x +6x-6二(X-)2+2.a 當(dāng)時（符合2vxv4）, y最大=2,時，重疊部分的面積最大，其值綜上所述，當(dāng)為 2. (13 分)二次函數(shù)類型題等腰三角形問題1、如圖 1,拋物線 y = ax2 + bx+ c 經(jīng)過 A( 1,0)、B(3, 0) 、C(0 ,3)三點，直線 I 是拋物線的對稱軸.(1) 求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2) 設(shè)點P是直線I上的一個動點，當(dāng) PAC的周長最小時，求點 P的坐標(biāo)；(3) 在直線I上是否存在點M使厶

8、MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所 有符合條件的點 M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.1、解： 將 A( 1, 0)、B(3，0)、C(0，3)代入拋物線 y= ax2 + bx+ c 中，得:拋物線的解析式：y= x2 + 2x + 3.連接BC直線BC與直線I的交點為P；設(shè)直線BC的解析式為y = kx + b,將B(3 , 0)，C(0，3)代入上式，.直線 BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) = x + 3;當(dāng)x 1時，y = 2,即 P的坐標(biāo)(1，2). 拋物線的解析式為：x = 一= 1,設(shè)M(1，m)，已知A 1，0)、C(0，3)，貝V:2aMA= m+ 4，MC= m 6m+ 10, AC

9、= 10;若 M* MC 貝U MA= MC,得：m + 4= m 6m+ 10,得：m= 1;若 MAfAC 貝U MA= AC,得：m + 4= 10,得：m = 門；若 M(= AC,貝y MC= AC,得：m 6m+10 = 10，得：ir= 0, ir= 6;當(dāng)6時，M A、C三點共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去；綜上可知，符合條件的 M點，且坐標(biāo)為 M(1，血)(1訓(xùn))(1 , 1)(1 , 0).面積問題2、如圖，已知拋物線經(jīng)過點 A (- 1, 0)、B (3, 0)、C (0, 3)三點.(1) 求拋物線的解析式.(2) 點M是線段BC上的點(不與B, C重合)，過M作M

10、N/y軸交拋物線于N,若點M的橫坐標(biāo)為m請用m的代數(shù)式表示 MN的長.(3) 在(2)的條件下，連接 NB NC是否存在m使厶BNC的面積最大？若存在, 求m的值；若不存在，說明理由.y= x+3 ob=；b=，解得b：31 2。直線BC的解析2 (2)設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有:2(m, m+3、N (m, m+2m+3 ;2 2二 MN- m+2m+3( m+3 : m+3m (Ov m 3)。113)存在。如圖；S ABNCSxMNc+SxMNB： - MN (OD + DB ：-MN?OJB223 (2)T y x：2 (m 2 ) 2+8? (Ov mv 3)o當(dāng)m-2

11、時， BNC的面積最大，最大值為；72 、 ,3、已知拋物線y：ax +2x+c的圖象與x軸交于點A (3, 0)和點C，與y軸交于點B(0，3).(1) 求拋物線的解析式;(2) 在拋物線的對稱軸上找一點 D,使得點D到點B、C的距離之和最小，并求出 點D的坐標(biāo)；(3) 在第一象限的拋物線上，是否存在一點P,使得 ABP的面積最大？若存在,求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 2x 3 x 14 ,二對稱軸為 X=1。令 y x2 2x 3 0，解得 Xi=3, X2= 1， C ( 1, 0) o如圖1所示，連接AB,與對稱軸x=1的交點即為所求之 D點，由于A C兩點關(guān)于對稱軸對稱，則

12、此時 DB+DC二DB+DA二ABJ、。設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，由A ( 3, 0)、B (0, 3)可得：當(dāng)x=1時，y=2，D點坐；k3b 0,解得b 31。直線AB解析式為y=x+3標(biāo)為(1,過點 P2) o (3)結(jié)論：存在。如圖2,設(shè)P (x, y)是第一象限的拋物線上一點,X - S ABPS梯形pnobS PNA S AOB1(OB PN) ON 21 / 、(3 y) x 212y11PN AN OA OB221 39(3 x)3 3(x y)2 22S ABP3/2( xy)在拋物3( 22( x3x)3/2( x3)2278y x2 2x 3 ,代入上式得.當(dāng)x=

13、3時，/p取得最大值。當(dāng)3x=2時,肓，p( 2,154作 PNLx 軸于點 N ,貝y ON=x, PN=y , AN=OA ON=3 四邊形問題4、如圖甲，在平面直角坐標(biāo)系中,A、B的坐標(biāo)分別為(4,0)、( 0,3),拋物線y=-x2+bx+c4經(jīng)過點B,且對稱軸是直線x= - 5 .2(1) 求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式;（2）將圖甲中厶ABO沿x軸向左平移到 DCE（如圖乙），當(dāng)四邊形ABCD是菱形時,請說明點C和點D都在該拋物線上.（3）在（2）中，若點M是拋物線上的一個動點（點 M不與點C D重合），經(jīng)過點 M作MN/y軸交直線CD于 N,設(shè)點M的橫坐標(biāo)為t , MN勺長度為I，求I

14、與t之間 的函數(shù)解析式，并求當(dāng)t為何值時，以M N C、E為頂點的四邊形是平行四邊形.4、 （2）v A （ 4，0）、B B （0，3），二 OA=4 OB=3 AB JOA2 OB2 5。若四邊形 ABCD是 菱形，貝 9 BC=AD=AB=5 二 C （- 5，3）、D （- 1，0）.將 C （ 5， 3）代入 y=3X+15x+3 中，得：x（ 5）彳+15 x（ 5） +3=3，4444點C在拋物線上；同理可證：點 D也在拋物線上。5、如圖，拋物線經(jīng)過 A （ 1，0），B （5，0），C （0，-與）三點.（1）求拋物線的解析式；（2） 在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的

15、值最小，求點P的坐標(biāo)；（3） 點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N,使以A，C, M N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.答:6、解 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為 y=ax2+bx+c （a0）,A ( 1, 0), B (5, 0), C (0, -專)三點在拋物線上,a -25a4-5bfc-0-4，解得b=-2.拋物線的解析式為：y# - 2x亡；(2)v拋物線的解析式為:心& 2X-，其對稱軸為直線x=-I =-丁連接BC,如圖1所示，tB (5, 0), C (0,|)，二設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(0),5k+b=0l 5，解得

16、直線BC的解析式為“52?當(dāng) x=2 時，y=132?(3) 存在.如圖2所示,當(dāng)點N在x軸下方時，拋物線的對稱軸為直線x=2, C (0,-上),-N (4,-1)；當(dāng)點N在x軸上方時，如圖，過點 N作NDLx軸于點D,在厶 AND MCOhVNADZCHO際二CM ANDA MCO(ASA ,二 ND=OC=，即卩 N點的縱坐標(biāo)為三.t ZAND=ZlflCO222x2-2x-衛(wèi)仝，解得 x=2+*應(yīng)或 x=2-冋， N2(2i，衛(wèi))，N3(2購，戈).2 2 2 2 2綜上所述，符合條件的點 N的坐標(biāo)為(4,-占)，(2如亙，點)或(2-J憶，).6、 如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋

17、物線經(jīng)過A 4,0)、B(0, 4)、C(2,0)三占八、(1) 求拋物線的解析式；(2) 若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標(biāo)為m MAB勺面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出 S的最大值；(3) 若點P是拋物線上的動點，點 Q是直線y= x上的動點，判斷有幾個位置能使以點P、Q B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點 Q的坐標(biāo).圖1圖27、 2.把 MA盼割為共底MD的兩個三角形，高的和為定值 OA3.當(dāng)PQ與 OB平行且相等時，以點 P、Q B、O為頂點的四邊形是平行四邊形，按照 P、Q的上下位置關(guān)系，分兩種情況列方程.滿分解答(1)因為拋物線與x軸交于A 4,0)、C(2,0)兩點，設(shè)y =a(x + 4)( x 2).代入點B(0, 4)，求得a -.所以拋物線的解析式為211 2y (x 4)(x 2) x x 4 .22(2)如圖2,直線AB的解析式為y = x 4.過點M作x軸的垂線交 AB于D,11那么 MD ( m 4) ( m2 m 4)m2 2m .所以22OB P3（如圖4）.（如圖5）.1 2 2S