初升高暑假數(shù)學(xué)銜接教材含答案

1、初升高暑假數(shù)學(xué)銜接教材第一部分，如何做好高、初中數(shù)學(xué)的銜接 第一講 如何學(xué)好高中數(shù)學(xué) 初中生經(jīng)過中考的奮力拼搏，剛跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中課程學(xué)好的愿望。但經(jīng)過一段時間，他們普遍感覺高中數(shù)學(xué)并非想象中那么簡單易學(xué)，而是太枯燥、乏味、抽象、晦澀，有些章節(jié)如聽天書。在做習(xí)題、課外練習(xí)時，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知從何下手。相當(dāng)部分學(xué)生進入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“困難期”，數(shù)學(xué)成績出現(xiàn)嚴(yán)重的滑坡現(xiàn)象。漸漸地他們認(rèn)為數(shù)學(xué)神秘莫測，從而產(chǎn)生畏懼感，動搖了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，甚至失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。造成這種現(xiàn)象的原因是多方面的，但最主要的根源還在于初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)上的銜接問

2、題。下面就對造成這種現(xiàn)象的一些原因加以分析、總結(jié)。希望同學(xué)們認(rèn)真吸取前人的經(jīng)驗教訓(xùn)，搞好自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。一 高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)特點的變化1 數(shù)學(xué)語言在抽象程度上突變。不少學(xué)生反映，集合、映射等概念難以理解，覺得離生活很遠，似乎很“玄”。確實，初、高中的數(shù)學(xué)語言有著顯著的區(qū)別。初中的數(shù)學(xué)主要是以形象、通俗的語言方式進行表達。而高一數(shù)學(xué)一下子就觸及抽象的集合語言、邏輯運算語言以及以后要學(xué)習(xí)到的函數(shù)語言、空間立體幾何等。2 思維方法向理性層次躍遷。高中數(shù)學(xué)思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師為學(xué)生將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程分幾步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思維非常靈

3、活的平面幾何問題，也對線段相等、角相等,分別確定了各自的思維套路。因此，初中學(xué)習(xí)中習(xí)慣于這種機械的、便于操作的定勢方式。高中數(shù)學(xué)在思維形式上產(chǎn)生了很大的變化，數(shù)學(xué)語言的抽象化對思維能力提出了高要求。當(dāng)然，能力的發(fā)展是漸進的，不是一朝一夕的。這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應(yīng)，故而導(dǎo)致成績下降。高一新生一定要能從經(jīng)驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡，最后還需初步形成辯證型思維。3 知識內(nèi)容的整體數(shù)量劇增。高中數(shù)學(xué)在知識內(nèi)容的“量”上急劇增加了。例如：高一代數(shù)第一章就有基本概念52個，數(shù)學(xué)符號28個；立體幾何第一章有基本概念37個，基本公理、定理和推論21個；兩者合在一起僅基本概念就達89個

4、之多，并集中在高一第一學(xué)期學(xué)習(xí)，形成了概念密集的學(xué)習(xí)階段。加之高中一年級第一學(xué)期只有七十多課時，輔助練習(xí)、消化的課時相應(yīng)地減少了。使得數(shù)學(xué)課時吃緊，因而教學(xué)進度一般較快，從而增加了教與學(xué)的難度。這樣，不可避免地造成學(xué)生不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而影響成績的提高。這就要求：第一，要做好課后的復(fù)習(xí)工作，記牢大量的知識。第二，要理解掌握好新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，使新知識順利地同化于原有知識結(jié)構(gòu)之中。第三，因知識教學(xué)多以零星積累的方式進行的，當(dāng)知識信息量過大時，其記憶效果不會很好，因此要學(xué)會對知識結(jié)構(gòu)進行梳理，形成板塊結(jié)構(gòu)，實行“整體集裝”。如表格化，使知識結(jié)構(gòu)一目了然；類化，由一例到一類，由一類到多類，由多類

5、到統(tǒng)一；使幾類問題同構(gòu)于同一知識方法。第四，要多做總結(jié)、歸類，建立主體的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。二 不良的學(xué)習(xí)狀態(tài)1 學(xué)習(xí)習(xí)慣因依賴心理而滯后。初中生在學(xué)習(xí)上的依賴心理是很明顯的。第一，為提高分?jǐn)?shù)，初中數(shù)學(xué)教師將各種題型都一一羅列，學(xué)生依賴于教師為其提供套用的“模子”；第二，家長望子成龍心切，回家后輔導(dǎo)也是常事。升入高中后，教師的教學(xué)方法變了，套用的“模子”沒有了，家長輔導(dǎo)的能力也跟不上了。許多同學(xué)進入高中后，還象初中那樣，有很強的依賴心理，跟隨老師慣性運轉(zhuǎn)，沒有掌握學(xué)習(xí)的主動權(quán)。表現(xiàn)在不定計劃，坐等上課，課前沒有預(yù)習(xí)，對老師要上課的內(nèi)容不了解，上課忙于記筆記，沒聽到“門道”。2 思想松懈。有些同學(xué)把初

6、中的那一套思想移植到高中來。他們認(rèn)為自已在初一、二時并沒有用功學(xué)習(xí)，只是在初三臨考時才發(fā)奮了一、二個月就輕而易舉地考上了高中，有的還是重點中學(xué)里的重點班，因而認(rèn)為讀高中也不過如此。高一、高二根本就用不著那么用功，只要等到高三臨考時再發(fā)奮一、二個月，也一樣會考上一所理想的大學(xué)的。存有這種思想的同學(xué)是大錯特錯的。有多少同學(xué)就是因為高一、二不努力學(xué)習(xí)，臨近高考了，發(fā)現(xiàn)自己缺漏了很多知識再彌補后悔晚矣。3 學(xué)不得法。老師上課一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內(nèi)涵，分析重點難點，突出思想方法。而一部分同學(xué)上課沒能專心聽課，對要點沒聽到或聽不全，筆記記了一大本，問題也有一大堆；課后又不能及時鞏固、總結(jié)

7、、尋找知識間的聯(lián)系，只是趕做作業(yè)，亂套題型，對概念、法則、公式、定理一知半解，機械模仿，死記硬背。還有些同學(xué)晚上加班加點，白天無精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，結(jié)果是事倍功半，收效甚微。4 不重視基礎(chǔ)。一些“自我感覺良好”的同學(xué)，常輕視基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練，經(jīng)常是知道怎么做就算了，而不去認(rèn)真演算書寫，但對難題很感興趣，以顯示自己的“水平”，好高騖遠，重“量”輕“質(zhì)”，陷入題海。到正規(guī)作業(yè)或考試中不是演算出錯就是中途“卡殼”。5 進一步學(xué)習(xí)條件不具備。高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)相比，知識的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。這就要求必須掌握基礎(chǔ)知識與技能為進一步學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備。高

8、中數(shù)學(xué)很多地方難度大、方法新、分析能力要求高。如二次函數(shù)值的求法、實根分布與參變量的討論、，三角公式的變形與靈活運用、空間概念的形成、排列組合應(yīng)用題及實際應(yīng)用問題等。有的內(nèi)容還是初中教材都不講的脫節(jié)內(nèi)容，如不采取補救措施，查缺補漏，就必然會跟不上高中學(xué)習(xí)的要求。三 科學(xué)地進行學(xué)習(xí)高中學(xué)生僅僅想學(xué)是不夠的，還必須“會學(xué)”，要講究科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)習(xí)效率，才能變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)，才能提高學(xué)習(xí)成績。1 培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。反復(fù)使用的方法將變成人們的習(xí)慣。什么是良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣？良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣包括制定計劃、課前自學(xué)、專心上課、及時復(fù)習(xí)、獨立作業(yè)、解決疑難、系統(tǒng)小結(jié)和課外學(xué)習(xí)幾個方面。(1)制定計劃

9、使學(xué)習(xí)目的明確，時間安排合理，不慌不忙，穩(wěn)扎穩(wěn)打，它是推動主動學(xué)習(xí)和克服困難的內(nèi)在動力。但計劃一定要切實可行，既有長遠打算，又有短期安排，執(zhí)行過程中嚴(yán)格要求自己，磨煉學(xué)習(xí)意志。(2)課前自學(xué)是上好新課、取得較好學(xué)習(xí)效果的基礎(chǔ)。課前自學(xué)不僅能培養(yǎng)自學(xué)能力，而且能提高學(xué)習(xí)新課的興趣，掌握學(xué)習(xí)的主動權(quán)。自學(xué)不能走過場，要講究質(zhì)量，力爭在課前把教材弄懂，上課著重聽老師講思路，把握重點，突破難點，盡可能把問題解決在課堂上。(3)上課是理解和掌握基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。“學(xué)然后知不足”，課前自學(xué)過的同學(xué)上課更能專心聽課，他們知道什么地方該詳，什么地方可以一帶而過，該記的地方才記下來，而不是

10、全抄全錄，顧此失彼。(4)及時復(fù)習(xí)是高效率學(xué)習(xí)的重要一環(huán)。通過反復(fù)閱讀教材，多方面查閱有關(guān)資料，強化對基本概念知識體系的理解與記憶，將所學(xué)的新知識與有關(guān)舊知識聯(lián)系起來，進行分析比效，一邊復(fù)習(xí)一邊將復(fù)習(xí)成果整理在筆記本上，使對所學(xué)的新知識由“懂”到“會”。(5)獨立作業(yè)是通過自己的獨立思考，靈活地分析問題、解決問題，進一步加深對所學(xué)新知識的理解和對新技能的掌握過程。這一過程也是對意志毅力的考驗，通過運用使對所學(xué)知識由“會”到“熟”。(6)解決疑難是指對獨立完成作業(yè)過程中暴露出來對知識理解的錯誤，或由于思維受阻遺漏解答，通過點撥使思路暢通，補遺解答的過程。解決疑難一定要有鍥而不舍的精神。做錯的作業(yè)

11、再做一遍。對錯誤的地方要反復(fù)思考。實在解決不了的要請教老師和同學(xué)，并要經(jīng)常把易錯的知識拿來復(fù)習(xí)強化，作適當(dāng)?shù)闹貜?fù)性練習(xí)，把求老師問同學(xué)獲得的東西消化變成自己的知識，使所學(xué)到的知識由“熟”到“活”。(7)系統(tǒng)小結(jié)是通過積極思考，達到全面系統(tǒng)深刻地掌握知識和發(fā)展認(rèn)識能力的重要環(huán)節(jié)。小結(jié)要在系統(tǒng)復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上以教材為依據(jù)，參照筆記與資料，通過分析、綜合、類比、概括，揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系，以達到對所學(xué)知識融會貫通的目的。經(jīng)常進行多層次小結(jié)，能對所學(xué)知識由“活”到“悟”。(8)課外學(xué)習(xí)包括閱讀課外書籍與報刊，參加學(xué)科競賽與講座，走訪高年級同學(xué)或老師交流學(xué)習(xí)心得等。課外學(xué)習(xí)是課內(nèi)學(xué)習(xí)的補充和繼續(xù)，它不僅能豐

12、富同學(xué)們的文化科學(xué)知識，加深和鞏固課內(nèi)所學(xué)的知識，而且能夠滿足和發(fā)展興趣愛好，培養(yǎng)獨立學(xué)習(xí)和工作的能力，激發(fā)求知欲與學(xué)習(xí)熱情。2 循序漸進，防止急躁。由于同學(xué)們年齡較小，閱歷有限，為數(shù)不少的同學(xué)容易急躁。有的同學(xué)貪多求快，囫圇吞棗；有的同學(xué)想靠幾天“沖刺”一蹴而就；有的取得一點成績便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同學(xué)們要知道，學(xué)習(xí)是一個長期地鞏固舊知、發(fā)現(xiàn)新知的積累過程，決非一朝一夕可以完成的。為什么高中要學(xué)三年而不是三天！許多優(yōu)秀的同學(xué)能取得好成績，其中一個重要原因是他們的基本功扎實，他們的閱讀、書寫、運算技能達到了自動化或半自動化的熟練程度。3 注意研究學(xué)科特點，尋找最佳學(xué)習(xí)方法。數(shù)學(xué)學(xué)科

13、擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力以及運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力的重任。它的特點是具有高度的抽象性、邏輯性和廣泛的適用性，對能力要求較高。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要講究“活”，只看書不做題不行，只埋頭做題不總結(jié)積累也不行。對課本知識既要能鉆進去，又要能跳出來，結(jié)合自身特點，尋找最佳學(xué)習(xí)方法。華羅庚先生倡導(dǎo)的“由薄到厚”和“由厚到薄”的學(xué)習(xí)過程就是這個道理。方法因人而異，但學(xué)習(xí)的四個環(huán)節(jié)（預(yù)習(xí)、上課、作業(yè)、復(fù)習(xí)）和一個步驟（歸納總結(jié)）是少不了的。 第二部分，現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)知識存在以下“脫節(jié)”1立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運算還在用。2因式分解初中一般只限于二次項且系數(shù)為“1

14、”的分解，對系數(shù)不為“1”的涉及不多，而且對三次或高次多項式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡求值都要用到,如解方程、不等式等。3二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數(shù)、不等式常用的解題技巧。4初中教材對二次函數(shù)要求較低，學(xué)生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的重要內(nèi)容。配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大、最小值，研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)必須掌握的基本題型與常用方法。5二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）在初中不作要求，此類題目僅限于簡單常規(guī)運算和難度不大的應(yīng)用題型，而在高中二次函數(shù)、二次不

15、等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化被視為重要內(nèi)容，高中教材卻未安排專門的講授。6圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對其圖像的上、下；左、右平移，兩個函數(shù)關(guān)于原點，軸、直線的對稱問題必須掌握。7含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中這部分內(nèi)容視為重難點。方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。8幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都沒有學(xué)習(xí)，而高中都要涉及。另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學(xué)大大弱化，不利于高中知識的講授。第三部分 初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)銜接緊密的知識點1 絕對值：在數(shù)

16、軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離叫做該數(shù)的絕對值。正數(shù)的絕對值是他本身，負(fù)數(shù)的絕對值是他的相反數(shù)，0的絕對值是0，即兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小兩個絕對值不等式:；或2 乘法公式：平方差公式：立方差公式：立方和公式：完全平方公式：，完全立方公式：3 分解因式：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變化叫做把這個多項式分解因式。方法：提公因式法，運用公式法，分組分解法，十字相乘法。4 一元一次方程：在一個方程中，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程。解一元一次方程的步驟：去分母，移項，合并同類項，未知數(shù)系數(shù)化為1。關(guān)于方程解的討論當(dāng)時，方程有唯一解；當(dāng)，時，

17、方程無解 當(dāng)，時，方程有無數(shù)解；此時任一實數(shù)都是方程的解。5 二元一次方程組：（1）兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。（2）適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一個解。（3）二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。（4）解二元一次方程組的方法：代入消元法，加減消元法。6 不等式與不等式組（1）不等式：用符不等號（、）連接的式子叫不等式。不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù)，不等號方向不變。不等式的兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號方向相反。（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知數(shù)的

18、值，叫做不等式的解。一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。求不等式解集的過程叫做解不等式。（3）一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。（4）一元一次不等式組：關(guān)于同一個未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。7 一元二次方程：方程有兩個實數(shù)根 方程有兩根同號 方程有兩根異號 韋達定理及應(yīng)用：, 8 函數(shù)（1）變量：因變量，自變量。 在用圖象表示變量之間的關(guān)系時，通常用水平方向的數(shù)軸

19、上的點自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點表示因變量。（2）一次函數(shù)：若兩個變量,間的關(guān)系式可以表示成（為常數(shù)，不等于0）的形式，則稱是的一次函數(shù)。當(dāng)=0時，稱是的正比例函數(shù)。（3）一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)把一個函數(shù)的自變量與對應(yīng)的因變量的值分別作為點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對應(yīng)點，所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。正比例函數(shù)=的圖象是經(jīng)過原點的一條直線。在一次函數(shù)中，當(dāng)0， O，則經(jīng)2、3、4象限；當(dāng)0，0時，則經(jīng)1、2、4象限；當(dāng)0， 0時，則經(jīng)1、3、4象限；當(dāng)0， 0時，則經(jīng)1、2、3象限。當(dāng)0時，的值隨值的增大而增大，當(dāng)0時，的值隨值的增大而減少。（4）二次函數(shù)：一般式：(

20、)，對稱軸是頂點是；頂點式：()，對稱軸是頂點是；交點式：()，其中（），（）是拋物線與x軸的交點（5）二次函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。時，在對稱軸 （）左側(cè)，值隨值的增大而減少；在對稱軸（）右側(cè)；的值隨值的增大而增大。當(dāng)時，取得最小值時，在對稱軸 （）左側(cè)，值隨值的增大而增大；在對稱軸（）右側(cè)；的值隨值的增大而減少。當(dāng)時，取得最大值9 圖形的對稱（1）軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。軸對稱圖形上關(guān)于對稱軸對稱的兩點確定的線段被對稱軸垂直平分。（2）中心對稱圖形：在平面內(nèi)，一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180度

21、，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做他的對稱中心。中心對稱圖形上的每一對對應(yīng)點所連成的線段都被對稱中心平分。10 平面直角坐標(biāo)系（1）在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系。水平的數(shù)軸叫做軸或橫軸，鉛直的數(shù)軸叫做軸或縱軸，軸與軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸，他們的公共原點稱為直角坐標(biāo)系的原點。（2）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的對稱點：設(shè)，是直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點，若和關(guān)于軸對稱，則有。若和關(guān)于軸對稱，則有。若和關(guān)于原點對稱，則有。若和關(guān)于直線對稱，則有。若和關(guān)于直線對稱，則有或。11 統(tǒng)計與概率：（1）科學(xué)記數(shù)法：一個大于10的數(shù)可以表示成的形式，其中大于等于1小于10，

22、是正整數(shù)。（2）扇形統(tǒng)計圖：用圓表示總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統(tǒng)計圖叫做扇形統(tǒng)計圖。扇形統(tǒng)計圖中，每部分占總體的百分比等于該部分所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)與360度的比。（3）各類統(tǒng)計圖的優(yōu)劣：條形統(tǒng)計圖：能清楚表示出每個項目的具體數(shù)目；折線統(tǒng)計圖：能清楚反映事物的變化情況；扇形統(tǒng)計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。（5）平均數(shù)：對于個數(shù)，我們把()叫做這個個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，記為。（6）加權(quán)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)里各個數(shù)據(jù)的重要程度未必相同，因而，在計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)時往往給每個數(shù)據(jù)加一個權(quán)，這就是加權(quán)平均數(shù)。（7）中位數(shù)

23、與眾數(shù)：N個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最大的那個數(shù)據(jù)叫做這個組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。優(yōu)劣比較：平均數(shù)：所有數(shù)據(jù)參加運算，能充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息，因此在現(xiàn)實生活中常用，但容易受極端值影響；中位數(shù)：計算簡單，受極端值影響少，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息；眾數(shù)：各個數(shù)據(jù)如果重復(fù)次數(shù)大致相等時，眾數(shù)往往沒有特別的意義。（8）調(diào)查：為了一定的目的而對考察對象進行的全面調(diào)查，稱為普查，其中所要考察對象的全體稱為總體，而組成總體的每一個考察對象稱為個體。從總體中抽取部分個體進行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查，其中從總體中抽取的一部分

24、個體叫做總體的一個樣本。抽樣調(diào)查只考察總體中的一小部分個體，因此他的優(yōu)點是調(diào)查范圍小，節(jié)省時間，人力，物力和財力，但其調(diào)查結(jié)果往往不如普查得到的結(jié)果準(zhǔn)確。為了獲得較為準(zhǔn)確的調(diào)查結(jié)果，抽樣時要主要樣本的代表性和廣泛性。（9）頻數(shù)與頻率：每個對象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，而每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率。當(dāng)收集的數(shù)據(jù)連續(xù)取值時，我們通常先將數(shù)據(jù)適當(dāng)分組，然后再繪制頻數(shù)分布直方圖。（10）數(shù)據(jù)的波動：極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差。方差是各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方和的平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差就是方差的算術(shù)平方根。一般來說，一組數(shù)據(jù)的極差，方差，或標(biāo)準(zhǔn)差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定。（11）事件的可能性：有

25、些事情我們能確定他一定會發(fā)生，這些事情稱為必然事件；有些事情我們能肯定他一定不會發(fā)生，這些事情稱為不可能事件；必然事件和不可能事件都是確定的。有很多事情我們無法肯定他會不會發(fā)生，這些事情稱為不確定事件。一般來說，不確定事件發(fā)生的可能性是有大小的。（12）概率：人們通常用1（或100%）來表示必然事件發(fā)生的可能性，用0來表示不可能事件發(fā)生的可能性。游戲?qū)﹄p方公平是指雙方獲勝的可能性相同。必然事件發(fā)生的概率為1，記作（必然事件）；不可能事件發(fā)生的概率為，記作（不可能事件）；如果A為不確定事件，那么第四部分 分章節(jié)突破1.1 數(shù)與式的運算1.1絕對值絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕

26、對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零即絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離 兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離例1 解不等式：4解法一：由，得；由，得；若，不等式可變?yōu)?，?，解得x0，又x1，x0；若，不等式可變?yōu)?，?4，不存在滿足條件的x；若，不等式可變?yōu)椋?， 解得x4又x3，x413ABx04CDxP|x1|x3|圖111綜上所述，原不等式的解為 x0，或x4解法二：如圖111，表示x軸上坐標(biāo)為x的點P到坐標(biāo)為1的點A之間的距離|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示x軸上點P到坐標(biāo)為2的點B之間的距離|PB|，即|PB|x3|所

27、以，不等式4的幾何意義即為|PA|PB|4由|AB|2，可知點P 在點C(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點P在點D(坐標(biāo)為4)的右側(cè) x0，或x4練 習(xí)1填空：（1）若，則x=_；若，則x=_.（2）如果，且，則b_；若，則c_.2選擇題：下列敘述正確的是 （ ）（A）若，則 （B）若，則 （C）若，則 （D）若，則3化簡：|x5|2x13|（x5）1.1.2. 乘法公式我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三數(shù)和平方公式 ；（4）兩數(shù)和立方公式 ；（5）兩數(shù)差立方公式 對上面

28、列出的五個公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明例1 計算：解法一：原式= = =解法二：原式= = =例2 已知，求的值解： 練 習(xí)1填空：（1）（ ）；（2） ；（3） 2選擇題：（1）若是一個完全平方式，則等于 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）不論，為何實數(shù)，的值 （ ）（A）總是正數(shù) （B）總是負(fù)數(shù) （C）可以是零 （D）可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù) 1.1.3二次根式 一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式. 例如 ，等是無理式，而，等是有理式1分母（子）有理化把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化為了進行分母（子）有理化，需要引入有理

29、化因式的概念兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等 一般地，與，與，與互為有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類二次根式2二次根式的意義例1 將下列式子化為最簡二次根式：（1

30、）； （2）； （3）解： （1）； （2）； （3）例2計算：解法一： 解法二： 例3 試比較下列各組數(shù)的大?。海?）和； （2）和.解： （1）， ，又， （2） 又 42， 42， .例4化簡：解： 例 5 化簡：（1）； （2） 解：（1）原式 （2）原式=， 所以，原式例 6 已知，求的值 解：，練 習(xí)1填空：（1）_ _；（2）若，則的取值范圍是_ _ _；（3）_ _；（4）若，則_ _2選擇題：等式成立的條件是 （ ）（A） （B） （C） （D）3若，求的值4比較大小：2 （填“”，或“”）1.1.分式 1分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式當(dāng)M0時，分式具有

31、下列性質(zhì)：； 上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)2繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式例1若，求常數(shù)的值解： ， 解得 例2（1）試證：（其中n是正整數(shù)）； （2）計算：； （3）證明：對任意大于1的正整數(shù)n， 有（1）證明：， （其中n是正整數(shù)）成立（2）解：由（1）可知 （3）證明： ， 又n2，且n是正整數(shù)， 一定為正數(shù)， 例3設(shè)，且e1，2c25ac2a20，求e的值解：在2c25ac2a20兩邊同除以a2，得 2e25e20， (2e1)(e2)0， e1，舍去；或e2 e2練 習(xí)1填空題：對任意的正整數(shù)n， ()；2選擇題：若，則 （ ）（A） （B） （C） （D）3

32、正數(shù)滿足，求的值4計算習(xí)題11A 組1解不等式： (1) ； (2) ； (3) 已知，求的值3填空：（1）_；（2）若，則的取值范圍是_；（3）_B 組1填空： （1），則_ _；（2）若，則_ _；2已知：，求的值C 組1選擇題：（1）若，則 （ ） （A） （B） （C） （D）（2）計算等于 （ ）（A） （B） （C） （D）2解方程3計算：4試證：對任意的正整數(shù)n，有1.1.1絕對值1（1）； （2）；或 2D 33x181.1.2乘法公式1（1） （2） （3）2（1）D （2）A1.1.3二次根式1 （1）（2）（3）（4）2C 31 41.1.4分式1 2B 3 4習(xí)題11A

33、組1（1）或 （2）4x3 （3）x3，或x321 3（1） （2） （3） B組1（1） （2），或 24C組1（1）C （2）C 2 34提示：12 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法1十字相乘法例1 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3）； （4） 解：（1）如圖121，將二次項x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項2分解成1與2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為3x，就是x23x2中的一次項，所以，有x23x2(x1)(x2)aybyxx圖1242611圖1231211圖12212xx

34、圖121 說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖121中的兩個x用1來表示（如圖122所示）（2）由圖123，得x24x12(x2)(x6)（3）由圖124，得11xy圖125 （4）xy(xy)1(x1) (y+1) （如圖125所示）2提取公因式法與分組分解法例2 分解因式： （1）； （2）解： （1）= = 或 （2）= =或 = = =3關(guān)于x的二次三項式ax2+bx+c(a0)的因式分解若關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根是、，則二次三項式就可分解為.例3把下列關(guān)于x的二次多項式分解因式：（1）； （2）解： （1）令=0，則解得， = =（2）令=0，則解得， =練 習(xí)1選

35、擇題：多項式的一個因式為 （ ）（A） （B） （C） （D）2分解因式：（1）x26x8； （2）8a3b3；（3）x22x1； （4）習(xí)題121分解因式：（1） ； （2）； （3）； （4）2在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（1） ； （2）； （3）； （4）3三邊，滿足，試判定的形狀4分解因式：x2x(a2a)1.2分解因式1 B 2（1）(x2)(x4) （2）（3） （4）習(xí)題121（1） （2） （3） （4） 2（1）；（2）；（3）； （4）3等邊三角形42.1 一元二次方程2.1.1根的判別式我們知道，對于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以將其變形為 因為a0，所以，

36、4a20于是（1）當(dāng)b24ac0時，方程的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根 x1，2；（2）當(dāng)b24ac0時，方程的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根 x1x2；（3）當(dāng)b24ac0時，方程的右端是一個負(fù)數(shù)，而方程的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實數(shù)根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情況可以由b24ac來判定，我們把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判別式，通常用符號“”來表示綜上所述，對于一元二次方程ax2bxc0（a0），有（1） 當(dāng)0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根 x1，2；（2）當(dāng)0時，方程有兩個相等的實數(shù)根 x1x2；（

37、3）當(dāng)0時，方程沒有實數(shù)根例1 判定下列關(guān)于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0解：（1）3241330，方程沒有實數(shù)根（2）該方程的根的判別式a241(1)a240，所以方程一定有兩個不等的實數(shù)根， （3）由于該方程的根的判別式為a241(a1)a24a4(a2)2，所以，當(dāng)a2時，0，所以方程有兩個相等的實數(shù)根 x1x21；當(dāng)a2時，0， 所以方程有兩個不相等的實數(shù)根 x11，x2a1（3）由于該方程的根的判別式為2241a44a4(1a)，所以當(dāng)0，即4(1a)

38、0，即a1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根 ， ； 當(dāng)0，即a1時，方程有兩個相等的實數(shù)根 x1x21； 當(dāng)0，即a1時，方程沒有實數(shù)根說明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況進行討論，這一方法叫做分類討論分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經(jīng)常地運用這一方法來解決問題2.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理） 若一元二次方程ax2bxc0（a0）有兩個實數(shù)根 ，則有 ； 所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系： 如果ax2bxc0（a0）的兩根分別是x1，x2，那么x1x2，x1x2這一關(guān)系也

39、被稱為韋達定理特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其兩根，由韋達定理可知 x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0可化為 x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20因此有以兩個數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是x2(x1x2)xx1x20例2 已知方程的一個根是2，求它的另一個根及k的值分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根但由于我們學(xué)習(xí)了韋達定理，又可以利用韋達定理來

40、解題，即由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數(shù)和常數(shù)項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出k的值解法一：2是方程的一個根，522k260，k7所以，方程就為5x27x60，解得x12，x2所以，方程的另一個根為，k的值為7解法二：設(shè)方程的另一個根為x1，則 2x1，x1由 （）2，得 k7所以，方程的另一個根為，k的值為7例3 已知關(guān)于x的方程x22(m2)xm240有兩個實數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21，求m的值分析：本題可以利用韋達定理，由實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩

41、個實數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，由韋達定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221， (x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化簡，得 m216m170， 解得 m1，或m17當(dāng)m1時，方程為x26x50，0，滿足題意；當(dāng)m17時，方程為x230x2930，302412930，不合題意，舍去綜上，m17說明：（1）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數(shù)根所對應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可（1）在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達定理解

42、題時，還要考慮到根的判別式是否大于或大于零因為，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數(shù)根例4 已知兩個數(shù)的和為4，積為12，求這兩個數(shù)分析：我們可以設(shè)出這兩個數(shù)分別為x，y，利用二元方程求解出這兩個數(shù)也可以利用韋達定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解解法一：設(shè)這兩個數(shù)分別是x，y，則 xy4， xy12 由，得 y4x， 代入，得x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 或因此，這兩個數(shù)是2和6解法二：由韋達定理可知，這兩個數(shù)是方程 x24x120的兩個根 解這個方程，得 x12，x26所以，這兩個數(shù)是2和6說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達定理來解題）要比解法一簡捷例

43、5 若x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x23解：x1和x2分別是一元二次方程2x25x30的兩根， ，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 6， | x1x2|（2）（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經(jīng)常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則，| x1x2| 于是

44、有下面的結(jié)論：若x1和x2分別是一元二次方程ax2bxc0（a0），則| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結(jié)論例6 若關(guān)于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求實數(shù)a的取值范圍解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，則 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 aa的取值范圍是a4練 習(xí)1選擇題：（1）方程的根的情況是 （ ） （A）有一個實數(shù)根 （B）有兩個不相等的實數(shù)根（C）有兩個相等的實數(shù)根 （D）沒有實數(shù)根（2）若關(guān)于x的方程mx2 (2m1)xm0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是 （ ） （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m0 2填空:（1）若方程x23x10的兩根分別是x1和x2，則 （2）方程mx2x2m0（m0）的根的情況是 （3）以3和1為根的一元二次方程是 3已知，當(dāng)k取何值時，方程kx2axb0有兩個不相等的實數(shù)根？4已知方程x23x10的兩根為x1和x2，求(x13)( x23)的值習(xí)題2.1A 組1選擇題:（1）已知關(guān)于x的方程x2kx20的一個根