九年級(jí)圓的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)經(jīng)典例題與課后習(xí)題

1、九年級(jí)圓的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)、經(jīng)典例題與課后習(xí)題【知識(shí)梳理】1. 圓的有關(guān)概念和性質(zhì)（1）圓的有關(guān)概念 圓：平面上到定點(diǎn)的距離 等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓， 其中定 點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑. 弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧， 簡(jiǎn)稱弧，大于半圓的弧稱為優(yōu)弧， 小于半圓的弧稱為劣弧. 弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.（2）圓的有關(guān)性質(zhì) 圓是軸對(duì)稱圖形；其對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線；圓是中心對(duì)稱圖 形，對(duì)稱中心為圓心. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧.推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧.說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一

2、條直線來說，如果具備 過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對(duì)的優(yōu)??；平分弦所 對(duì)的劣弧。上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可推出其他三個(gè)結(jié)論。 弧、半圓、優(yōu)弧、劣?。夯。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧.，簡(jiǎn)稱弧，用符號(hào)“廠”表示，以CD為端點(diǎn)的弧記為“CD”，讀作“圓弧CD”或“弧CD”。半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓.。 優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧.劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.。（為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個(gè)字 母表示。） 弧、弦、圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧， 兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧

3、所對(duì)的圓周角相等；直徑所對(duì)的圓 周角是直角；90”的圓周角所對(duì)的弦是直徑. 等圓：能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓。 等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧 。 圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角. 弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.（3）對(duì)圓的定義的理解： 圓是一條封閉曲線，不是圓面； 圓由兩個(gè)條件唯一確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是半徑（即定長(zhǎng)）2. 與圓有關(guān)的角(1) 圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角。圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù).(2) 圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊分別和圓相交的角，叫圓周角。圓周角的 度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半.(3) 圓心角與圓周角的關(guān)系

4、：同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一 半.(4) 圓內(nèi)接四邊形：頂點(diǎn)都在圓上的四邊形，叫圓內(nèi)接四邊形.圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，它的一個(gè)外角等于它相鄰內(nèi)角的對(duì)角.3. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：如果圓的半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d,貝U點(diǎn)在圓上 d=r; 點(diǎn)在圓內(nèi) dr; 點(diǎn)在圓夕卜 dr.其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特征是重點(diǎn)，它可用來證明若干個(gè)點(diǎn)共圓，方法 就是證明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)、的距離相等。4. 確定圓的條件：1. 理解確定一個(gè)圓必須的具備兩個(gè)條件：圓心和半徑，圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小.經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)圓，經(jīng)過兩點(diǎn)也可以作無數(shù)個(gè)圓，其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線段的

5、垂直平分線上.2. 經(jīng)過三點(diǎn)作圓要分兩種情況：(1) 經(jīng)過同一直線上的三點(diǎn)不能作圓.(2) 經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，能且僅能作一個(gè)圓. 定理:不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.3. 三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念：(1) 三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形： 經(jīng)過一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.(2) 三角形的外心：三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.(3) 三角形的外心的性質(zhì)：三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等.5. 直線與圓的位置關(guān)系1. 直線和圓相交、相切相離的定義：(1) 相交:直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直

6、線叫做圓的割線.(2) 相切：直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，惟一的公 共點(diǎn)做切點(diǎn).(3) 相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離.2. 直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征：設(shè)的半徑為r，圓心0到直線的距離為d; dr 直線L和。0相交. d=r 直線L和。0相切. dr 直線L和。O相離.3. 切線的總判定定理 :經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個(gè)條半徑的直線是圓的切線 .4. 切線的性質(zhì)定理 :圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑 .推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn) .推論2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 . 分析性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系,

7、可得如下結(jié)論 :如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè) ,就可推出第三個(gè) .垂直于切線 ; 過切點(diǎn) ; 過圓心 .5. 三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念 .和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心, 這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形 .6. 三角形內(nèi)心的性質(zhì) :(1) 三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等 .(2) 過三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線 : 連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn) ,該線平分三角形的這個(gè)內(nèi)角 .6. 圓和圓的位置關(guān)系 .1. 外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含 (包括同心圓 )這五種位置關(guān)系的定義 .(1) 外離: 兩個(gè)

8、圓沒有公共點(diǎn) ,并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí) ,叫做這 兩個(gè)圓外離 .(2) 外切 : 兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn) ,并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外 ,每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí) , 叫做這兩個(gè)圓外切 .這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn) .(3) 相交 : 兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn) ,此時(shí)叫做這個(gè)兩個(gè)圓相交 .(4) 內(nèi)切 : 兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn) ,并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外 ,一個(gè)圓上的都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí) ,叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切 .這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn) .(5) 內(nèi)含 : 兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn) , 并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí) ,叫做 這兩個(gè)圓內(nèi)含 . 兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個(gè)特例 .2. 兩圓位置關(guān)系

9、的性質(zhì)與判定 :(1) 兩圓外離 dR+r(2) 兩圓外切 d=R+r(3) 兩圓相交 R-rvdvR+r (R r)(4) 兩圓內(nèi)切 d=R-r (Rr)(5) 兩圓內(nèi)含 dr)3. 相切兩圓的性質(zhì) :如果兩個(gè)圓相切 ,那么切點(diǎn)一定在連心線上 .4. 相交兩圓的性質(zhì) :相交兩圓的連心線垂直平分公共弦 .7. 圓內(nèi)接四邊形若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上 ,這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形 ,這 個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓 .圓內(nèi)接四邊形的特征 : 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) ;圓內(nèi)接四邊形任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)錯(cuò)角&弧長(zhǎng)及扇形的面積1. 圓周長(zhǎng)公式：圓周長(zhǎng)C=2nR （R表示圓的半徑）2. 弧長(zhǎng)公式：

10、弧長(zhǎng)|二-（R表示圓的半徑,n表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)） 1803. 扇形定義：一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形4. 弓形定義：由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形. 弓形弧的中點(diǎn)到弦的距離叫做弓形高.5. 圓的面積公式.圓的面積S -二R2 （R表示圓的半徑）6. 扇形的面積公式:（R表示圓的半徑，n表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)）360當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí)扇形的面積S扇形,S弓圖5= s扇形一 S三角形B當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)， s弓形二s扇形 S三角形1（3）當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí),S弓形二二RS扇形例題解析【例題1】如圖1,0 O是. ABC的外接圓，AB是直徑，若 B

11、OC=80，貝U . A等于（60oB.圖2以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦圖1【例題2】如圖2,C,若大圓半徑為10cm,小圓半徑為6cm,則弦AB的長(zhǎng)為cm.AB12 / 15【例題3】如圖3,A ABC內(nèi)接于O O, AB=BC/ ABC=120 , AD為O O的直徑, AD= 6,那么 BD=.【例題4】如圖4已知OO的兩條弦AC, BD相交于點(diǎn)E,Z A=70）,Z c=50,那 么sin / AEB的值為（）A.2D.1B.【例題5】如圖5,半圓的直徑AB =10，點(diǎn)C在半圓上，BC =6.(1) 求弦AC的長(zhǎng)；(2) 若P為AB的中點(diǎn)，PE丄AB交AC于點(diǎn)E,求PE的長(zhǎng).C（

12、圖8）三、課堂練習(xí)O1、如圖 6,在O O 中，/ ABC=40 ,則/ AOC=度.2、如圖7, AB是。O的直徑，AC是弦，若/ ACO = 32,則/ COB的度數(shù)等于.3、已知O O 的直徑 AB=8cm C 為O O 上的一點(diǎn)，/ BAC=30o,貝U BC=cm.4、如圖8,已知在Rt ABC中，.ACB二Rt,AB = 4，分別以AC , BC為直徑作半圓，面積分別記為S , S2，則S1 + S2的值等于.5、如圖9,O O的半徑OA = 10cm, P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到圓心O的最 短距離為cm(第15題圖)6 如圖 10,在O O 中，/ ACB= / BDC=60 ,

13、 AC=23cm ,(1)求/ BAC的度數(shù)； (2)求。O的周長(zhǎng)7、已知：如圖11,O O的直徑AB與弦CD相交于E,弧BC =弧BD, O O的 切線BF與弦AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.(1)求證:CD/ BF.3連結(jié)BC,若O O的半徑為4,cos/BCD=-,求線段AD CD的長(zhǎng).(第24題)8 如圖12,在厶ABC中，AB=BC , D作DF丄BC,交AB的延長(zhǎng)線于E,垂足為F.(1) 求證：直線DE是O O的切線；(2) 當(dāng) AB=5 , AC=8 時(shí)，求 cosE 的值.圖12四、經(jīng)典考題解析,AC* 3,則厶ABC的周長(zhǎng)是1. 如圖13,在O O中，已知/ A C吐/CD*60圖1

14、4B圖152.“圓材埋壁”是我國(guó)古代九章算術(shù)中的問題:不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，間徑幾何”“今有圓材，埋在壁沖，.用數(shù)學(xué)語言可表述為如圖14, CD為。O的直徑，弦 AB丄CD于點(diǎn)E, CE* 1寸,AB=10寸，則直徑CD的長(zhǎng)為（）A . 12. 5 寸 B . 13 寸 C . 25 寸 D . 26 寸3.如圖15,已知AB是半圓O的直徑，弦AD和 BC相交于點(diǎn)CDP,那么AB等于（）A . sin / BPD B. cos/ BPD C . tan / BPD D .cot / BPD4. OO的半徑是5, AB CD為O O的兩條弦，且 AB/ CD AB=6 CD=8

15、求AB與CD之間的距離.5. 如圖16,在。M中，弧AB所對(duì)的圓心角為1200，已知圓的半徑為2cm并 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，點(diǎn) C是y軸與弧AB的交點(diǎn)。(1)求圓心M的坐標(biāo);(2)若點(diǎn)D是弦AB所對(duì)優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形 ACBD勺最大面積19 / 15五、課后訓(xùn)練1. 如圖17,在O O中，弦AB=1.8cm圓周角/ ACB=30，貝U OO的直徑等于cm圖17圖19100。2. 如圖18, C是O O上一點(diǎn)，0是圓心若/ C=35，則/ AOB的度數(shù)為()A . 35B. 70 C . 105D. 1503. 如圖19,0 O內(nèi)接四邊形ABCD中, AB=CD則圖中和/ 1相等的角有

16、4. 在半徑為1的圓中，弦AB AC分別是3和.2 ,則/ BAC的度數(shù)為多少？5. 如圖20,弦AB的長(zhǎng)等于O O的半徑，點(diǎn)C在O O上,則/ C的度數(shù)是CA圖20圖21圖226. 如圖21,四邊形ABCD內(nèi)接于。0,若/ BOD=100 ,則/ DAB勺度數(shù)為（）A . 50 B . 80C . 100 D . 1307. 如圖22,四邊形ABCD為O O的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上，如果/BOD=120，那么/ BCE等于（）A . 30B . 60 C . 90D . 1208. 如圖，O O的直徑AB=10 DEL AB于點(diǎn)H, AH=2（2）延長(zhǎng)ED到P,過P作。O的切線，切

17、點(diǎn)為C,（1）求DE的長(zhǎng)；若PC=22.5，求PD的長(zhǎng).九年級(jí)數(shù)學(xué)圓練習(xí)題填空題：（21分）1、如圖，在O 0 中，弦 AB/ OC Z AOC=115”，則叢 BOC =2、如圖，在。O中，AB是直徑，NC=15，則NBAD=3、如圖，點(diǎn)O是AABC的外心，已知NOAB = 4O*，則N ACB=（1題圖）（2題圖）圖）4、如圖，AB是。O的直徑，弧BC=I BD，（3題圖）（4題A = 25 ，貝、BOD 二.A（5題圖）（6題圖）（7題圖）5、如圖，O O的直徑為8,弦CD垂直平分半徑OA則弦CD=.&已知OO的半徑為2cm弦A吐2cm P點(diǎn)為弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，則線段OP的范 圍是.7、如

18、圖，在O O中，/ B=5Ob，Z C=2Ob，則/ BOC勺=二、解答題（70分）1、如圖，AB是O O的直徑.若OD/ AC，矛與Bd的大小有什么關(guān)系？為什么？2、已知：如圖，在。0中，弦AB=CD求證：弧 AC=I BD / AOCM BOD3、如圖，已知：。0中，AB CB為弦,0C交AB于D,求證：(1)Z 0DB2 OBD (2)Z 0DB2 OBC4、已知如圖，AB AC為弦，OMLAB于 M ONLAC于N,ABC的中位線嗎？5、已知如圖，AB CD是O 0的直徑，DF BE是弦，且DF=BE求證：/ D=Z BCE6 已知如圖，AB是。O的直徑，C是。O上的一點(diǎn)，CDLAB于D, CE平分/ DCO 交于E,求證：弧AE=fi EB7、如圖，已知 ABC AC=3, BC=4,Z C=90。，以點(diǎn)C為圓心作。C,半徑為r. 當(dāng)r取什么值時(shí)，點(diǎn)A、B在。C外.(2)當(dāng)r在什么范圍時(shí)，點(diǎn)A在。C內(nèi)，點(diǎn)B在。C外.當(dāng)r在什么范圍時(shí)C與線段AB相切。NCB三、計(jì)算下列各題：