十三中王春輝《函數(shù)的表示法》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、.2.2 函數(shù)的表示法教學(xué)設(shè)計(jì)函數(shù)的圖象是函數(shù)的又一種表示形式，它直觀明了，是后繼學(xué)習(xí)研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，在日常生活中，它的直觀性比比皆是，例如：股市的走勢(shì)圖、我國工農(nóng)業(yè)產(chǎn)值的變化圖.本課函數(shù)的作圖是通過有限的點(diǎn)來刻畫函數(shù)的整體圖象，先是描出這些點(diǎn)，然后用圓滑的曲線連接，從某種意義上講不夠嚴(yán)謹(jǐn)，教學(xué)時(shí)不必細(xì)說，重點(diǎn)是研究如何作圖.映射作為函數(shù)概念的推廣，其教學(xué)要求不能太高，教學(xué)中主要是結(jié)合實(shí)際使學(xué)生對(duì)映射有所了解，能夠?yàn)榻窈筮M(jìn)一步學(xué)習(xí)各類映射作好準(zhǔn)備.三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能1.了解實(shí)際背景的圖象與數(shù)學(xué)情境下的圖象是相通的.2.了解圖象能夠是散點(diǎn).3.圖象是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ).4.了解映射的概念及表

2、示方法.二、過程與方法1.自主學(xué)習(xí)，了解作圖的基本要求.2.探究與活動(dòng)，明白作圖是由點(diǎn)到線，由局部到全體的運(yùn)動(dòng)變化過程.3.會(huì)判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是不是映射.4.重視基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)、基本技能的訓(xùn)練和水平的培養(yǎng)；啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨(dú)立思考，學(xué)會(huì)分析問題和創(chuàng)造性地解決問題；通過教師指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)知識(shí)結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括水平和邏輯思維水平.三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1.培養(yǎng)辯證地看待事物的觀點(diǎn)和數(shù)形結(jié)合的思想.2.使學(xué)生理解到事物間是有聯(lián)系的，對(duì)應(yīng)、映射是一種聯(lián)系方式.3.激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，陶冶學(xué)生的情操，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)忍不拔的意志，實(shí)事求是的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神.教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)的

3、作圖.教學(xué)難點(diǎn)如何選點(diǎn)作圖，映射的概念.教具準(zhǔn)備多媒體課件、投影儀、打印好的材料.教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課師：日常生活中我們見過很多曲線圖象.讓我們一起來看一看（多媒體投影）：（圖象1）股市走勢(shì)圖.（圖象2）產(chǎn)生的震動(dòng)波曲線.（圖象3）醫(yī)用心電圖的波線.師：初中我們已研究過直線、反比例及二次函數(shù)的圖象，請(qǐng)大家作出y=2x1，y，yx2的圖象.（學(xué)生在下面自己作圖，老師巡視）我們能夠發(fā)現(xiàn)這些線的圖象都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是由滿足一定條件的點(diǎn)構(gòu)成的，具體地說就是x作為橫坐標(biāo)，y作為縱坐標(biāo)描成的點(diǎn)，所有的點(diǎn)即構(gòu)成該曲線的圖象.二、講解新課1.函數(shù)的圖象一般來說，如何作出yf（x）的圖象呢？我們

4、將自變量的一個(gè)值x0作為橫坐標(biāo)就得到坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)（x0，f（x0），自變量取遍函數(shù)定義域A的每個(gè)值時(shí)，就得到一系列這樣的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的集合（點(diǎn)集）為（x，y）|y=f（x），xA，這些點(diǎn)組成的曲線就是函數(shù)yf（x）的圖象.可從以下幾個(gè)方面加深對(duì)函數(shù)圖象的理解：畫函數(shù)的圖象，不但要依據(jù)函數(shù)的解析式，而且還必須考慮它的定義域.兩個(gè)用不同的解析式表示的函數(shù)，只有在對(duì)應(yīng)關(guān)系相同、定義域相同的條件下，才能是相同的函數(shù)，才能有相同的圖象.由函數(shù)的圖象的定義知道，點(diǎn)的集合（x，y）|y=f（x），xA是函數(shù)的圖象，所以從理論上講，用列表描點(diǎn)法總能作出函數(shù)的圖象，但是不了解函數(shù)本身的特點(diǎn)，就無法了

5、解函數(shù)圖象的特點(diǎn)，如二次函數(shù)的圖象是拋物線，如果不知道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和存有著對(duì)稱軸，盲目地列表描點(diǎn)是很難將圖象的特征描繪出來的.函數(shù)的圖象是函數(shù)的重要表示方法，它具有明顯的直觀性，以后能夠看到，通過函數(shù)的圖象能夠掌握函數(shù)重要的性質(zhì).反之，掌握好函數(shù)的性質(zhì)，將有助于準(zhǔn)確地畫出函數(shù)的圖象.我們知道函數(shù)的圖象是由點(diǎn)集構(gòu)成的，如何作圖即如何選點(diǎn)呢？我們看一看下面的一些例題.【例1】 試畫出下列函數(shù)的圖象：（1）f（x）=x+1（x1，2，3，4，5）；（2）f（x）=（x1）2+1，x1，3）.解：（1）我們先列表再描點(diǎn)x12345y23456（1）（2）師：如圖（1）就是所要作出圖象，它是由一些散

6、點(diǎn)構(gòu)成的.換句話說就是函數(shù)的圖象能夠是一些散點(diǎn).如何得到f（x）=x+1的圖象？生：僅需把圖（1）的散點(diǎn)連結(jié)起來構(gòu)成一條直線就是f（x）=x+1的圖象，如圖（2）.師：對(duì)，在初中我們就研究過一次函數(shù)的圖象，它表示一條直線，所以今后我們作一次函數(shù)的圖象僅需作出其兩點(diǎn)，然后再連成一條直線即可.（2）師：這是一個(gè)什么曲線？生：拋物線.師：是一條完整的拋物線嗎？生：好像不是.師：為什么？生：因?yàn)閤1，3），所以x的取值受限制.師：對(duì)，這個(gè)函數(shù)的圖象與拋物線f（x）=（x1）2+1有聯(lián)系，它是其中一段，為了能夠作出其圖象，我們先作出拋物線f（x）=（x1）2+1的圖象，大家自己動(dòng)手作出該函數(shù)的圖象，用虛

7、線表示.（一會(huì)兒后）請(qǐng)生甲回答如何作出其圖象的.（同時(shí)投影其所得的圖象）生甲：先作出頂點(diǎn)（1，1），再作出兩點(diǎn)（2，2）、（3，5），然后根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸是x1，作出（2，2）、（3，5）關(guān)于x1的對(duì)稱點(diǎn)，然后順次用圓滑的曲線連結(jié)這五個(gè)點(diǎn).從而得到拋物線f（x）=（x1）2+1的圖象.如圖（3）（3）師：生甲同學(xué)通過選關(guān)鍵點(diǎn)頂點(diǎn)，再結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性取另外兩點(diǎn)作出其關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，這樣得到5點(diǎn)，最后用圓滑的曲線由左向右順次連結(jié)這些點(diǎn).這個(gè)方法是通常作二次函數(shù)的方法.這種方法提醒我們對(duì)一些熟知的函數(shù)要作出其圖象僅需要選一些特征點(diǎn)及輔助點(diǎn)，然后就可以得出其圖象.這樣要作出f（x）=（x1）

8、2+1，x1，3），僅需要在f（x）=（x1）2+1的虛線圖象上取x1，3）的一段用實(shí)線描出，但端點(diǎn)（3，5）處用空心點(diǎn)表示.如圖（4）（4）【例2】 作出函數(shù)y=|x2|（x1）的圖象.分析：顯然直接用已知函數(shù)的解析式列表描點(diǎn)有些困難，除去對(duì)其函數(shù)性質(zhì)分析外，我們還應(yīng)想到對(duì)已知解析式進(jìn)行等價(jià)變形解：（1）當(dāng)x2，即x20時(shí)，y=（x2）（x+1）=x2x2=（x）2.當(dāng)x2，即x20時(shí)，y=（x2）（x+1）=x2+x+2=（x）2+，所以y=這是分段函數(shù)，每段函數(shù)圖象可根據(jù)二次函數(shù)圖象作出.如圖（5）（5）方法引導(dǎo)：作不熟悉的函數(shù)圖象，可以變形成基本函數(shù)再作圖，但要注意變形過程是否等價(jià)，要

9、特別注意x、y的變化范圍因此必須熟記基本函數(shù)的圖象例如：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等基本函數(shù)的圖象2.映射函數(shù)是“兩個(gè)數(shù)集間的一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系”.當(dāng)我們將數(shù)集擴(kuò)展到任意的集合時(shí)，就可以得到映射的概念.例如，亞洲的國家構(gòu)成集合A，亞洲各國的首都構(gòu)成集合B，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：國家a對(duì)應(yīng)于它的首都b.這樣，對(duì)于集合A中的任意一個(gè)國家，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的首都與之對(duì)應(yīng).我們將對(duì)應(yīng)f：AB稱為映射.設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射.在我們的生

10、活中，有很多映射的例子，例如，設(shè)集合A=x|x某場電影票上的號(hào)碼，集合B=x|x是某電影院的座位號(hào)，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：電影票的號(hào)碼對(duì)應(yīng)于電影院的座位號(hào)，那么對(duì)應(yīng)f：AB是一個(gè)映射.【例3】 教科書P26例7.本例中的（1）（2）是以后經(jīng)常用到的映射，教學(xué)時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真理解.對(duì)于（3），還可以把“內(nèi)切圓”換成“外接圓”讓學(xué)生思考.對(duì)于（4），可以與本例后的“思考”進(jìn)行比較，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)映射是講順序的，即f：AB與f：BA是不同的，并且，它們中可以一個(gè)是映射而另一個(gè)不是映射，也可以兩個(gè)都是映射或兩個(gè)都不是映射.在此基礎(chǔ)上歸納出映射概念值得注意的幾點(diǎn)：（1）函數(shù)推廣為映射，只是把函數(shù)中的兩個(gè)數(shù)集推廣

11、為兩個(gè)任意的集合；（2）對(duì)于映射f：AB，我們通常把集合A中的元素叫原象，而把集合B中與A中的元素相對(duì)應(yīng)的元素叫象.所以，集合A叫原象集，集合B叫象所在的集合（集合B中可以有些元素不是象）.（3）映射只要求“對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)”，即對(duì)于A中的每一個(gè)原象在B中都有象，至于B中的元素在A中是否有原象，以及有原象時(shí)原象是否唯一等問題是不需要考慮的.（4）用映射刻畫函數(shù)的定義可以這樣敘述：設(shè)A、B都是非空的數(shù)集，那么A到B的映射f：AB就叫做A到B的函數(shù)，記作y=f（x）.其中xA，yB.原象集合A叫做函數(shù)y=f（x）的定義域，象集合C叫做函數(shù)y=f（

12、x）的值域.很明顯，CB.【例4】 已知集合A=1，2，3，k，B=4，7，a4，a2+3a，且aN，kN，xA，yB，映射f：AB，使B中元素y=3x+1和A中元素x對(duì)應(yīng).求a及k的值.方法引導(dǎo)：集合A中元素1，2，3在對(duì)應(yīng)法則的作用下，分別得到象4，7，10，關(guān)鍵是集合B中誰和10對(duì)應(yīng).解：B中元素y=3x+1和A中元素x對(duì)應(yīng)，A中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10.對(duì)于集合B而言能與10對(duì)應(yīng)的元素有兩種情況：a4=10或a2+3a=10.aN，a2+3a10=0得a=5（舍去）或a=2.當(dāng)a=2時(shí)，a4=16.由3k+1=16得k=5.a=2，k=5為所求.方法技巧：本題是集合與映

13、射問題的綜合，在分析對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，應(yīng)從已知出發(fā)，尋找未知量的關(guān)系.如果本題A集合中只有兩個(gè)已知的元素，此時(shí)應(yīng)該考慮四種對(duì)應(yīng)關(guān)系.然后用已知條件和集合的性質(zhì)加以排除.本題將集合與映射兩個(gè)概念同時(shí)考查，有一定的新意.三、課堂練習(xí)1.根據(jù)所給定義域，畫出函數(shù)y=x22x+2的圖象.（1）xR；（2）x（1，2；（3）x（1，2）且xZ.答案：（1） （2） （3） 2.判斷下列對(duì)應(yīng)關(guān)系哪些是從集合A到集合B的映射，哪些不是，為什么?（1）A=B=N*，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：xy=|x3|.（2）A=R，B=0，1，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：xy= （3）A=B=R，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：xy=.（4）A=Z，B=Q，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：xy=

14、.（5）A=0，1，2，9，B=0，1，4，9，64，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：ab=（a1）2.答案：（1）對(duì)于A中的3，在f作用下得0，但0B，即3在B中沒有象，所以不是映射.（2）對(duì)于A中任意一個(gè)非負(fù)數(shù)都有唯一象1，對(duì)于A中任意一個(gè)負(fù)數(shù)都有唯一象0，所以是映射.（3）集合A中的負(fù)數(shù)在B中沒有元素與之對(duì)應(yīng)，故不是映射.（4）集合A中的0在B中沒有元素和它對(duì)應(yīng)，故不是映射.（5）在f的作用下，A中的0，1，2，9分別對(duì)應(yīng)到B中的1，0，1，64，所以是映射.四、課堂小結(jié)1.本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：函數(shù)的圖象、函數(shù)圖象的作法、作函數(shù)圖象的要素、映射的概念.2.本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法：定義法、數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想方法、歸納與發(fā)散的思想、思維的批判性.五、布置作業(yè)1.教科書P27練習(xí)題4.2.教科書P29習(xí)題1.2 A組14題，B組2，3，4題.補(bǔ)充：1.畫出下列函數(shù)的圖象.（1）y=（1）x，x0，1，2，3；（2）y=x|1x|；（3）y=.2.下列說法正確的是A.y軸所示的函數(shù)