2014高考總復習單元檢測第7章不等式

1、第七章單元測試1 .函數(shù)f (x)的定義域是Ax X 22且XM1、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分.每小題中只有一項符合題目要求)1且XM1解此不等式組，得 沖x 1且x工1 2答案 D2x+ 1 0,解析由題意，得“2 x伴0,2 .已知c2cB. c(1)D. 2(2)答案 D3 .已知f (x) = x+卩在(1 , e)上為單調(diào)函數(shù)，則 b的取值范圍是()x2A. ( s,1 Ue ,+s)2B. ( s, 0 U e ,+s)c. (s, e2D. 1 , e答案來源 :Z+xx+k.Com解析 bW0時，f(x)在(1 , e)上為增函數(shù),b0 時，當 x0 時，x

2、 + b2 , b,當且僅當x= b即x= .b取等號.若使f(x)在(1 , e)上為單調(diào)函數(shù)，則血W1或命e,. 0e2. 綜上b的取值范圍是be2，故選A.2342 0134. 觀察下列各式：7 = 49,7 = 343,7 = 2 401，貝U 7 的末位數(shù)字是()A. 1B. 3C. 7D. 9第18頁答案 C解析規(guī)律:71的末位為7,7 2末位為9,7 3的末位為 3,7 4末位為1,7 5的末位為7,，的末位為7,9,3,1,7,9,3,1，而 2 013 = 4X 503+ 1,二 2 013 的末位是 7.5 .將正奇數(shù)1,3,5,7，排成五列（如下表），按此表的排列規(guī)律,8

3、9所在的位置是A.第一列B.第二列C.第三列D.第四列，來ZXXK,答案 D解析 正奇數(shù)從小到大排，則89位居第45位，而45 = 4X 11+ 1,故89位于第四列.6 .若f （x）是偶函數(shù)，且當x 0 ,+s）時，f（x） = x 1，則不等式f（x2 1）0的解集為A. ( 1,0)B. ( 2, 0) U (0 ,2)C. (0,2)D. (1,2)答案解析根據(jù) f (x)是偶函數(shù)，可得 f (x) = f (| x|) = |x| 1.因此 f (x2 1) = 1 x2 1| 1.解不等式 | X21| 10,得 0x2 0,時，恒有ax+ y3成立，則實數(shù)a的取值范圍是7.當實

4、數(shù)x, y滿足不等式組 y0,2x + y2A. (s, 0B.0，+m)C. 0,2D.(, 3答案解析畫出可行域，如圖中陰影部分所示.要使ax+ y0且一1,即卩0a3時，恒有ax+ y3成立；當a= 0時，y3成立；當a0時，恒有aax+ y3成立.綜上可知， a3.& （2019 浙江）若正數(shù)x, y滿足x + 3y= 5xy，貝U 3x + 4y的最小值是（）24A亍28B.28C. 5D. 6答案 C1 3 = 1.解析x+ 3y= 5xy , 5y + 5x33x 9 4 12y 13+ 二+二+ 一 3x+ 4y =(3x+ 4y) X 1= (3x + 4y)G+ 5x)=習

5、 + 5+ 5 + 盂丁 +23x 12y=5,5y5x3x 12y1 左 、當且僅當5y =，即x = 1, y= 2時等號成立.9 圖1是一個面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在它的左右肩上分別長出一個小正方形，如圖2，且三個正方形圍成的三角形 (含30銳角的)是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，變成圖 3, “生長” 10次后，變成圖4,如果繼續(xù)“生長”下去， 它將變得更加“枝繁葉茂”， 那么n次“生長”后,所得圖形中所有正方形的面積和為A. nB. n+1D. 2nC. n+ 2答案 B解析 根據(jù)勾股定理以及正方形的面積公式并結(jié)合解題探究可知，經(jīng)過n次“生長”后，所得圖形中所有正方

6、形的面積和等于第一個正方形的面積的(n+1)倍，即為n+1.故選B.10.如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是 a米(0a12)、4米，不考慮樹的粗細.現(xiàn)在想用 16米長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形的花圃ABCD設(shè)此矩形花圃的面積為S平方米，S的最大值為f(a)，若將這棵樹圍在花圃內(nèi)，則函數(shù) u = f(a)的圖像大致是答案 Cx+ 16 x 2解析設(shè) AD= x, S= x(16 x) w( 2) = 64.當且僅當x= 8時成立.樹圍在花圃內(nèi)，0aW8時，x= 8能滿足條件，即f (a) = 64.當 8a0的解集是x| x4,則實數(shù)a、b的值分別為 答案

7、 4,112.已知正實數(shù)x,y滿足xy = 1,則(y + y)( x+ x)的最小值為答案 4解析依題意知,x y(y+ y)(x+x)x= y = 1時取等號.13.已知cosn 1n 2 n 13 = 2； cosTcosT=4；=-:cos cos =二cos cos cos=_；7778根據(jù)以上等式，可猜想出的一般結(jié)論是n2 nn n 1*答案cos時cos時 cos時=刃n N解析 從已知等式的左邊來看，余弦的個數(shù)從1逐個增加，分子上從n開始也是逐個增加，分母分1別是3,5,7，可以看出分母的通項為 2n+ 1,等式的右邊是通項為 夕的等比數(shù)列，由以上分析可以猜想n2 nn n 1

8、出的結(jié)論為 cos cos cos= zn, n N.2n+12n+12n+12x + y 3 0,x14. (2019 福建)若函數(shù)y= 2圖像上存在點(x, y)滿足約束條件 x 2y 3 m大值為.答案 1解析 由約束條件作出其可行域如圖所示：由圖可知當直線 x = m經(jīng)過函數(shù)y = 2x的圖像與直線 x + y 3= 0的交點P時取得最大值，即得2x = 3x,即卩 x= 1 = m1 12+ b15. a, b都為正實數(shù)，且-+嚴1,則二的最大值為a b2ab答案162 + b 111111 2313 299 t 13解析 依題意得 盂=品+石=石+a(1 a)=(a)+石=(丁4)

9、+屁的最大值是祁當丁滬13110,即一=；,1=；時取得最大值).a 4 b 416從等腰直角三角形紙片 ABC上，剪下如圖所示的兩個正方形，其中BC= 2,Z A= 90,則這兩個正方形的面積之和的最小值為 .答案21222 a + b 2解析 設(shè)兩個正方形邊長分別為a, b,則由題可得a+ b= 1,且a, b2x()1 1=2當且僅當a= b= 時取等號.三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)TTn nif17.(本小題滿分 10 分)已知 OP= (1 , cosx), OQ= (cos x, 1) , x -，記 f (x) = cosOP O

10、Q.4 4(1) 求函數(shù)f (x)的解析式；T T(2) 求cosOP OQ的取值范圍.“亠2cosx2、2t t答案 (1)f(x)=廠 *wcosOR OQWl 1 + cos x3tt解析 (1) OP= (1 , cosx) , OQ= (cosx, 1),t tt t2 OP- OQ= 2cosx, | OR I OQ = 1 + cos x.t2cosxf (x) = cosOp Q= 1 + cos2x.t t2cosx2- f (x) = cosOP OQ =廠= ,1 + cos x1cosx+cosxcosx 孑,1 .V 2wcosx + 丄w罕,L 2 cosx 2 w

11、 f (x) w 1,即繆wcos證明：構(gòu)造函數(shù) f (x) = (x a2 + (x- a?)2,2 2 一 2 2 1 因為對一切 x R 恒有f(x) 0,所以 = 4 8(a + 3a) w0,從而得 a1+ a2,(1)若a1, a2,，an R, a1+ a2+ an= 1,請寫出上述結(jié)論的推廣式;(2)參考上述解法，對你推廣的結(jié)論加以證明.1222*解析 (1)若 a1, a2,，an R, a+ a2 + an= 1，求證： a1+ a2 + an-.222 構(gòu)造函數(shù) f(x) = (x a1) + (x a2) + (x an) =n x2 2( a1 + 比 + an) x

12、+ a2 + a2+ a：2 2 2 2=nx 2x + a1+ a2 + + an,. - 2 2 2因為對一切x R,都有f (x) 0,所以 = 4 4n(a1 + a2+ an) w 0,從而證得:19. (本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x) = x答案(1) a3(2) w aw 3+ ax2+ b(a, b R).(1) 要使f (x)在(0,2)上單調(diào)遞增，試求 a的取值范圍;.n. 當x (0,1時，y= f (x)圖像上任意一點處的切線的傾斜角為B ,且0w b w,求a的取值范圍.解析 f(x) =- 3x2+ 2ax,要使f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，則f(x) 0在(

13、0,2)上恒成立.23由一3x + 2ax0,得 a於,3 f(x)是開口向下的拋物線，f列， f =12 + 4a 0, a 3.n2-0W Qw , tan 0 =3x + 2ax 0,1根據(jù)題意0w 3x2+ 2axw 1在(0,1上恒成立,231由一 3x + 2ax w 1,得 aw 於 + 衣又2%+ 2x 3(當且僅當x=時取=”), aw 3.3綜上，a的取值范圍是qW aw 3.20. (本小題滿分12分)等差數(shù)列an的前n項和為S, ai= 1 + Q2, $= 9 + 唧.(1) 求數(shù)列an的通項an與前n項和S; 設(shè)bn= n( n N*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三

14、項都不可能成為等比數(shù)列.解析(1)由已知得a1 =+ 1,- d = 2.(3a1 + 3d= 9 + 3yJ2,故 an= 2n 1 +，J2, S= n( n+2).S廠(2) 由(1)得 bn= n = n+ ,2.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項bp, bq、br( p, q, r互不相等)成等比數(shù)列，則 氏=bpbr.即(q+ .2)2= (p+ .2)( r + ,2).- (q2 pr) + (2 q- p r) 2 = 0.*q2 pr = 0,p, q, rn,.|2q p r = 0.()2= pr, (p r)2= 0, p= r，與 r 矛盾.所以數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能

15、成等比數(shù)列.100 元,21. (本小題滿分12分)東海水晶制品廠去年的年產(chǎn)量為10萬件，每件水晶產(chǎn)品的銷售價格為固定成本為80元.從今年起，工廠投入 100萬元科技成本，并計劃以后每年比上一年多投入100萬元科技成本.預計產(chǎn)量每年遞增1萬件，每件水晶產(chǎn)品的固定成本 g(n)與科技成本的投入次數(shù) n的關(guān)系是g(n)80=.若水晶產(chǎn)品的銷售價格不變，第n次投入后的年利潤為f (n)萬元.n+ 1(1) 求出f (n)的表達式；(2) 求從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？80解析(1)第n次投入后，產(chǎn)量為10+ n萬件，銷售價格為100元，固定成本為 元，科技成本投Vn + 1入為10

16、0 n萬元，80 * 所以，年利潤為 f (n) = (10 + n)(100 .)100n(n N).pn+ 1當且僅當.n +1 =答：從今年算起第22.(本小題滿分(2) 由(1)知 f(n) = (10 + n)(100 L-) 100n= 1 000 80(寸n+ 1 + .-) 520(萬元). pn+ 1、pn+1，即n= 8時，利潤最高，最高利潤為520萬元.,n+ 18年利潤最高，最高利潤為520萬元.x12 分)已知函數(shù) f(x) = ln(x + 1) a x+1.(1)若函數(shù)f (x)在0 ,+)內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍; 當a= 1時，求f (x)在2, 1上

17、的最大值和最小值;1111 試利用(1)的結(jié)論，證明：對于大于1的任意正整數(shù)n,都有二+; + ： + +-0).函數(shù)f (x)在0 ,+s)內(nèi)為增函數(shù)， f(x) 0對任意x 0 ,+)恒成立. a(x+ 1) 10 對任意 x 0 ,+s)恒成立,1即a 齊7對任意x 0，+m)恒成立.而當 x 0,+S )時，(x+l)ma尸 1 , a 1.當 a= 1 時，f (x)=1 1當 x 2, 0)時，f(x)0, f(x)在(0,1上單調(diào)遞增.1- f (x)在2, 1上有唯一極小值點.故 f ( x) min = f (0) = 0.1 1 1又 f( 2)= 1 + “2= 1 ln

18、2 , f(1) = 2+ ln2 ,133 ln16 f ( 2) f (1) = 2 21n2 = 23lne ln16= 2 ./ e316,1 1-f( 2) f(1)0，即 f( 2)f(1).1 1- f (x)在2，1上的最大值為f()=1 ln2.1綜上，函數(shù)f (x)在, 1上的最大值是1 ln2，最小值是0.(3) 法一：用數(shù)學歸納法.1 當n= 2時，要證21 ,顯然成立.1111* 假設(shè)當n= k時，不等式-+ 3+ 4+ k1, k N)成立.2 3 4k則當n= k + 1時，1111 1 1+ ;+;+ln k +.234kk + 1k+11要證 In k+ ln

19、( k + 1)成立，k + 11 k +111只要證 k+7 ln，即 k+1 0,則上式化為kx0).x只要證：ln(1 + x) 0(*).1 + xx由(1)知，當 a= 1 時，f (x) = ln(1 + x)-在0 ,+s)內(nèi)是增函數(shù).z. I Ix故有 f(x) f (0)，即 ln(1 + x) x，x 0 ,+s)成立.1 *而(*)中 x = k(k1, k N), x0,xIn（1 + x） t 0,即（*）式成立.1十x當n= k十1時，不等式成立.由知對任意n1的正整數(shù)不等式都成立.x法二：由知，當a= 1時，f（x） = ln（1十x）市在0，十）上是增函數(shù).故有

20、 f(x) f (0)，即 ln(1十 x）-鳥，x 0，+）成立.1 *令 x = ( n N)，貝U x0.亠x有 (l 十 x)1，n+11ln n n+12 13 1由此得 ln t2， ln 23，4 1ln34，則ln2+ ln 3十ln4十十ln1231 1 1 n 12十3十厶十十n，即得Inn1十3+ 4十十1234n故對大于1的任意正整數(shù)n,都有2十1 + 十十-ln n.234n1.若a 2 l(0.2)aB. (0.2) C.1 a(0.2) a2aD. 2a(0.2) a答案來源:Zxxk.Com解析1 a0,.y= xa在(0,十8)為減函數(shù)， (2)aa+ b+

21、cB. a2 b2 十 c2ab+ bc+ ac222C. a + b + c 2( ab bc ac)答案 C解析 c 4354657nn + 2nn + 2 解析 由題意f(2 )2, f(2 )2, f(2 )2, f(2 )2所以當n2時，有f(2 ) 廠.故填f(2 ) = a2 + b2 2abcosC, b2 = a2 + c2 2accosB,2 2 2a = b + c 2bccosA,2222 2 2-a + b + c = 2( a + b + c ) 2( abcos C+ accos B+ bccos A).222 a + b + c = 2( abcosC+ acc

22、osB+ bccosA) 13+b ab a6X2、/ax b= 25,當且僅當a = b即a= b= 5時取等號，因此 2a + 3b的最小值是25.5. 不等式4x+ a -2x+ 10對一切x R恒成立，則a的取值范圍是 .答案2 ,+)1 1解析 由題可得a歹2x恒成立，由基本不等式可知一2 2xw 2，所以a 2.111*576. 已知 f(n) = 1 + 2 + + n(n N),經(jīng)計算得 f(4)2 ,f(8)?,鮒6)3 , f(32) 則有.n n+ 2*答案 f(2)-(n2, n N)(n2, n N).7若數(shù)列an的通項公式an=1n+2,記 f ( n) = 2(1

23、 ai)(1 a2)(1 an)，試通過計算f(1) ,f(2),f(3)的值，推測f (n) =答案n+ 2n+ 1解析13方法由題意，得 f (1) = 2(1 a1) = 2X 1 + 2 = 23 14f(2) = f(1 )(1 - a2) = 2(1 - 32) = 3,4 15f(3) = f (2)(1 -a3)= 3(1 -花)=4,n + 2由此歸納得f (n)=市.1 1 1 1 1 1方法二事實上，由題意，得f(n)= 2(1 -評(1 -孑)1 - n+2= 2(1-?)(1+ 2)(1 )(1+1 13)(1 + n+7)(11132 43n n+ 2+ n+7)=

24、 2X 2 X 2X 3X 3X4市 nn+ 2 n+i.1 一&若不等式| a-1| w| x+ -|對一切非零實數(shù) x恒成立，則實數(shù) a的取值范圍是 X答案 K aw 3解析 |a1| w2,即一1w a3. 1，9.已知-,y滿足-+ yw4,ax+ by+ c w 0,且目標函數(shù)3- + y的最大值為 乙最小值為1,則a+ b+ ca解析分別作出直線 x= 1, x+ y = 4,3 x+ y = 7,3 x+ y= 1,rrx+ y = 4,- = 1,聯(lián)立*與/3- + y = 713-+ y= 1,求出(3, 2)與(1 , - 2),知兩點在直線 ax+ by + c= 0 上

25、,11 得c =-亍,1b=- - a.91 a+ b+ C= 3a，a+ b+ ca13.10. 設(shè)函數(shù)f(x) = x2+ 2lnx, f (x)表示f(x)的導函數(shù)，試證明：對任意正數(shù)a和正整數(shù)n,不等式f(a)n 2nTf(an) 2n(2n-2)恒成立.1i解析問題即證：2(a+ a)n-廣*2(a+了沁(2 -2),也即證:1 1 (a + a)-(an+ f)用數(shù)學歸納法證明:來源:學科#網(wǎng)(i )當n= 1時，左=0,右=0,顯然不等式成立;(ii)假設(shè)n= k( k 1)時，原不等式成立，1 kk 1即(a+ a) (a+ak)-2, 1 k + 1k+ . 1 1 k 1k + 11則 n = k + 1 時，(a+ ) (a + -kri) = (a + ) (a +) (a + k+1