2021高考數(shù)學(xué)(理)高考調(diào)研二輪練習(xí)：第九章 單元測試卷

1、2021高考數(shù)學(xué)(理)高考調(diào)研二輪練習(xí)：第九章 單元測試卷2021高考數(shù)學(xué)（理）高考調(diào)研二輪練習(xí)：第九章 單元測試卷【一】選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分、每題中只有一項符合題目要求)1、如果方程x 2ky 23表示焦點在y 軸上的橢圓，那么實數(shù)k 的取值范圍是()A 、(0，)B 、(0,2)C 、(1，)D 、(0,1) 答案D解析方程化為x 23y 23k1，由3k 3得02、過點(3，2)的直線l 經(jīng)過圓x 2y 22y 0的圓心，那么直線l 的傾斜角大小為()A 、30B 、60C 、120D 、150 答案C解析圓心坐標(biāo)為(0,1)，斜率k tan 21303， 傾斜角

2、120.3、拋物線y ax 2(a 0)的焦點坐標(biāo)是()A 、(0，a 4)B 、(0，14a )C 、(0，14a )D 、(0，a4) 答案C解析因為a 0，所以方程可化為x 21a y ，所以焦點坐標(biāo)為(0，14a )、應(yīng)選C.4、設(shè)F 1、F 2分別是雙曲線x 2y 291的左、右焦點、假設(shè)點P 在雙曲線上，且PF 1PF 20，那么|PF 1PF 2|等于()A.10 B 、210 C. 5 D 、2 5答案B解析F 1(10，0)，F(xiàn) 2(10，0)，2c 210，2a 2. PF 1PF 20，|PF 1|2|PF 2|2|F 1F 2|24c 240，(PF 1PF 2)2|P

3、F 1|2|PF 2|22PF 1PF 240，|PF 1PF 2|210.5、過拋物線y 14x 2準(zhǔn)線上任一點作拋物線的兩條切線，假設(shè)切點分別為M ，N ，那么直線MN 過定點()A 、(0,1)B 、(1,0)C 、(0，1)D 、(1,0) 答案A解析特殊值法，取準(zhǔn)線上一點(0，1)、設(shè)M (x 1，14x 21)，N (x 2，14x 22)，那么過M 、N 的切線方程分別為y 14x 2112x 1(x x 1)，y 14x 2212x 2(xx 2)、將(0，1)代入得x 21x 224，MN 的方程為y 1，恒過(0,1)點、6、(2021天津文)雙曲線x 2a 2y 2b 2

4、1(a 0，b 0)的左頂點與拋物線y 22px (p 0)的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點坐標(biāo)為(2，1)，那么雙曲線的焦距為()A 、2 3B 、2 5C 、4 3D 、4 5 答案B解析由? y b a xx p2，解得? y bp 2a x p2，由題得知? bp2a 1p22，得?b a 12p 4，又知p2a 4，故a 2，b 1，c a 2b 25， 焦距2c 2 5.應(yīng)選B.7、橢圓x 2a 2y 2b 21(a b 0)與雙曲線x 2m 2y 2n 21(m 0，n 0)有相同的焦點(c,0)和(c,0)、假設(shè)c 是a 與m 的等比中項，n 2是m

5、2與c 2的等差中項，那么橢圓的離心率等于()A.13B.33C.12D.22 答案B解析c 2am,2n 2c 2m 2，又n 2c 2m 2，m 213c 2，即m 33c .c 233ac ，那么e c a 33.8、如下圖，過拋物線x 24py (p 0)焦點的直線依次交拋物線與圓x 2(y p )2p 2于點A 、B 、C 、D ，那么AB CD 的值是() A 、8p 2B 、4p 2 C 、2p 2D 、p 2答案D解析|AB |AF |p y A ，|CD |DF |p y B ，|AB |CD |y A y Bp 2.因為AB ，CD 的方向相同，所以AB CD |AB |C

6、D |y A y B p 2.9、(2021浙江文)橢圓C 1：x 2a 2y 2b 21(a b 0)與雙曲線C 2：x 2y 241有公共的焦點，C 2的一條漸近線與以C 1的長軸為直徑的圓相交于A ，B 兩點、假設(shè)C 1恰好將線段AB 三等分，那么()A 、a 3132B 、a 313C 、b 212D 、b 22 答案C 解析 對于直線與橢圓、圓的關(guān)系，如下圖，設(shè)直線AB 與橢圓C 1的一個交點為C (靠近A 的交點)，那么|OC |a3，因tan COx 2，sin COx 25，cos COx 15，那么C 的坐標(biāo)為(a 35，2a 35)，代入橢圓方程得a 245a 24a245

7、b 21，5a 2b 2，b 212.10.兩點M (3,0)，N (3,0)，點P 為坐標(biāo)平面內(nèi)一動點，且|MN |MP |MN NP 0，那么動點P (x ，y )到點A (3,0)的距離的最小值為()A 、2B 、3C 、4D 、6 答案B解析因為M (3,0)，N (3,0)，所以MN (6,0)，|MN |6，MP (x 3，y )，NP (x 3，y )、由|MN |MP |MN NP 0得 6x 32y 26(x 3)0，化簡整理得y 212x ，所以點A 是拋物線y 212x 的焦點，所以點P 到A 的距離的最小值就是原點到A (3,0)的距離，所以d 3.11、(2021福建

8、文)設(shè)圓錐曲線的兩個焦點分別為F 1，F(xiàn) 2.假設(shè)曲線上存在點P 滿足|PF 1|F 1F 2|PF 2|432，那么曲線的離心率等于()A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32 答案A解析設(shè)圓錐曲線的離心率為e ，因|PF 1|F 1F 2|PF 2|432，那么假設(shè)圓錐曲線為橢圓，由橢圓的定義，那么有e |F 1F 2|PF 1|PF 2|34212；假設(shè)圓錐曲線為雙曲線，由雙曲線的定義，那么有e |F 1F 2|PF 1|PF 2|34232；綜上，所求的離心率為12或32，應(yīng)選A.12、拋物線y x 2上有一定點A (1,1)和兩動點P 、Q ，當(dāng)PA PQ 時，點Q 的橫

9、坐標(biāo)取值范圍是()A 、(，3B 、1，)C 、3,1D 、(，31，) 答案D解析設(shè)P (x 1，x 21)，Q (x 2，x 22)，k AP x 211x 11x 11，k PQ x 22x 21x 2x 1x 2x 1， 由題意得k PA k PQ (x 11)(x 2x 1)1，x 211x 1x 111x 1(1x 1)1.利用函數(shù)性質(zhì)知x 2(，31，)，應(yīng)選D.【二】填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13、設(shè)l 1的傾斜角為，(0，2)，l 1繞其上一點P 逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得直線l 2，l 2的縱截距為2，l 2繞點P 逆時針方向旋轉(zhuǎn)2角得直線l

10、 3：x 2y 10，那么l 1的方程為_、答案2x y 80 解析l 1l 3，k 1tan 2，k 2tan22tan 1tan 243，l 2的縱截距為2，l 2的方程為y 43x 2.由?y 43x 2，x 2y 10， P (3,2)，l 1過P 點、l 1的方程為2x y 80.14、過直線2x y 40和圓x 2y 22x 4y 10的交點且面積最小的圓的方程是_、答案(x 135)2(y 65)245解析因為通過兩個定點的動圓中，面積最小的是以這兩個定點為直徑端點的圓，于是解方程組?2x y 40，x 2y 22x 4y 10，得交點A (115，25)，B (3,2)、因為A

11、B 為直徑，其中點為圓心，即為(135，65)， r 12|AB |255，所以圓的方程為(x 135)2(y 65)245.15、(2021大綱全國理)F 1、F 2分別為雙曲線C ：x 29y 2271的左、右焦點，點A C ，點M 的坐標(biāo)為(2,0)，AM 為F 1AF 2的平分線，那么|AF 2|_.答案6解析依題意得知，點F 1(6,0)，F(xiàn) 2(6,0)，|F 1M |8， |F 2M |4.由三角形的內(nèi)角平分線定理得 |F 1M |F 2M |F 1A |F 2A |2，|F 1A |2|F 2A |；又點A 在雙曲線上，因此有|F 1A |F 2A |236，2|F 2A |F

12、 2A |F 2A |6.16、a b 0，e 1、e 2分別是圓錐曲線x 2a 2y 2b 21和x 2a 2y 2b 21的離心率，設(shè)m ln e 1ln e 2，那么m 的取值范圍是_、答案m (，0)解析e 21a 2b 2a 2，e 22a 2b 2a 2，e 21e 22a 4b 4a 41b 4a 4，a b 0，0a 42(0,1)，即e 1e 2(0,1)， m ln(e 1e 2)(，0)、【三】解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17、(本小題總分值10分)(2021北京文)橢圓G ：x 2a 2y 2b 21(a b 0)的離心率為

13、63，右焦點為(22，0)、斜率為1的直線l 與橢圓G 交于A ，B 兩點，以AB 為底邊作等腰三角形，頂點為P (3,2)、(1)求橢圓G 的方程； (2)求PAB 的面積、解析(1)由得，c 22，c a 63. 解得a 2 3.又b 2a 2c 24，所以橢圓G 的方程為x 212y 241. (2)設(shè)直線l 的方程為y x m ，由?y x m ，x 212y 241，得4x 26mx 3m 2120.設(shè)A ，B 的坐標(biāo)分別為(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1y 0)，那么x 0x 1x 223m4，y 0x 0m m4.因為AB 是等腰PAB 的底邊， 所以PE AB .

14、所以PE 的斜率k 2m433m 41，解得m 2.此時方程為4x 212x 0. 解得x 13，x 20. 所以y 11，y 22. 所以|AB |3 2.此時，點P (3,2)到直線AB ：x y 20的距離 d |322|2322，所以PAB 的面積 S 12|AB |d 92. 18、(本小題總分值12分)(2021安徽文)設(shè)直線l 1：y k 1x 1，l 2：y k 2x 1，其中實數(shù)k 1，k 2滿足k 1k 220.(1)證明l 1與l 2相交；(2)證明l 1與l 2的交點在橢圓2x 2y 21上、解析(1)反證法、假設(shè)l 1與l 2不相交，那么l 1與l 2平行，有k 1k

15、 2.代入k 1k 220，得k 2120，此與k 1為實數(shù)的事實相矛盾、從而k 1k 2，即l 1與l 2相交、(2)方法一由方程組?y k 1x 1，y k 2x 1， 解得交點P 的坐標(biāo)(x ，y )為?x 2k 2k 1，y k 2k1k 2k 1. 而2x 2y 22(2k 2k 1)2(k 2k 1k 2k 1)28k 22k 212k 1k 2k 22k 212k 1k 2k 21k 224k 21k 2241.此即說明交點P (x ，y )在橢圓2x 2y 21上、方法二l 1與l 2的交點P 的坐標(biāo)(x ，y )滿足?y 1k 1x ，y 1k 2x ，故知x0，從而?k 1

16、y 1x ，k 2y 1x . 代入k 1k 220，得y 1x y 1x 20，整理后，得2x 2y 21，所以交點P 在橢圓2x 2y 21上、19、(本小題總分值12分)(2021天津理)設(shè)橢圓x 2a 2y 2b 21(a b 0)的左、右焦點分別為F 1，F(xiàn) 2.點P (a ，b )滿足|PF 2|F 1F 2|.(1)求橢圓的離心率e ；(2)設(shè)直線PF 2與橢圓相交于A ，B 兩點、假設(shè)直線PF 2與圓(x 1)2(y 3)216相交于M ，N 兩點，且|MN |58|AB |，求橢圓的方程、解析(1)設(shè)F 1(c,0)，F(xiàn) 2(c,0)(c 0)，因為 |PF 2|F 1F 2

17、|，所以a c 2b 22c .整理得 2(c a )2c a 10.得c a 1(舍)，或c a 12.所以e 12.(2)由(1)知a 2c ，b 3c ，可得橢圓方程為 3x 24y 212c 2，直線PF 2的方程為y 3(x c )、A ，B 兩點的坐標(biāo)滿足方程組?3x 24y 212c 2，y 3x c .消去y 并整理，得5x 28cx 0.解得x 10，x 285c .得方程組的解?x 10，y 13c ，?x 285c ，y 2335c .設(shè)A (85c ，335c )，B (0，3c )，所以|AB |85c2335c 3c 2165c .于是|MN |58|AB |2c

18、.圓心(1，3)到直線PF 2的距離 d |333c |23|2c |2. 因為d 2(|MN |2)242，所以34(2c )2c 216.整理得7c 212c520，得c 267(舍)，或c 2.所以橢圓方程為x 216y 2121.20、(本小題總分值12分)在直角坐標(biāo)系xOy 中，以O(shè) 為圓心的圓與直線x 3y 4相切、(1)求圓O 的方程；(2)圓O 與x 軸相交于A ，B 兩點，圓內(nèi)的動點P 滿足PA ，PO ，PB 成等比數(shù)列，求PA PB 的取值范圍、解析(1)依題設(shè)，圓O 的半徑r 等于原點O 到直線x 3y 4的距離，即r 4132.得圓O 的方程為 x 2y 24.(2)

19、不妨設(shè)A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 14即得A (2,0)，B (2,0)、設(shè)P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比數(shù)列，得x 22y 2x 22y 2x 2y 2，即x 2y 22.PA PB (2x ，y )(2x ，y )x 24y 22(y 21)、由于點P 在圓O 內(nèi)，故?x 2y 2所以PA PB 的取值范圍為2,0)、21、(本小題總分值12分)(2021江西)過拋物線y 22px (p 0)的焦點，斜率為22的直線交拋物線于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1(1)求該拋物線的方程；(2)O 為坐標(biāo)原點，C 為拋物線上一點

20、，假設(shè)OC OA OB ，求的值、解析(1)直線AB 的方程是y 22(x p2)，與y 22px 聯(lián)立，從而有4x 25px p 20，所以：x 1x 25p4，由拋物線定義得：|AB |x 1x 2p 9，所以p 4，從而拋物線方程是y 28x .(2)由p 4,4x 25px p 20可簡化為x 25x 40，從而x 11，x 24，y 122，y 242，從而A (1，22)，B (4,42)；設(shè)OC (x 3，y 3)(1，22)(4,42) (41,4222)，又y 238x 3，即22(21)28(41)，即(21)241，解得0，或2. 22、(本小題總分值12分)如上圖，點A

21、 ，B 分別是橢圓x 236y 2201長軸的左、右端點，點F 是橢圓的右焦點，點P 在橢圓上，且位于x 軸上方，PA PF .(1)求點P 的坐標(biāo)；(2)設(shè)M 是橢圓長軸AB 的一點，M 到直線AP 的距離等于|MB |，求橢圓上的點到點M 的距離d 的最小值、解析(1)由可得點A (6,0)，F(xiàn) (4,0)， 設(shè)點P 的坐標(biāo)是(x ，y )，那么AP (x 6，y )，F(xiàn)P (x 4，y )，由得? x 236y 2201x 6x 4y 20，那么2x 29x 180，x 32或x 6. 點P 位于x 軸上方，x 6舍去，只能取x 32，由于y 0，于是y 523，點P 的坐標(biāo)是(32，5

22、23)、(2)直線AP 的方程是x 3y 60. 設(shè)點M 的坐標(biāo)是(m,0)(6m 6)，那么M 到直線AP 的距離是m 62，于是m 626m ，解得m 2，橢圓上的點(x ，y )到點M 的距離d 有d 2(x 2)2y 2x 24x 42059x 2 49(x 92)215， 由于6x 6，當(dāng)x 92時，d 取得最小值15. 1、ab 0，點M (a ，b )是圓x 2y 2r 2內(nèi)一點，直線m 是以點M為中點的弦所在的直線，直線l 的方程是ax by r 2，那么下面正確的選項是()A 、m l ，且l 與圓相交B 、m l ，且l 與圓相切C 、m l ，且l 與圓相離D 、m l

23、，且l 與圓相離 答案C解析k OM b a ，那么弦所在的直線斜率為a b ，而k 1ab ，故m l .點M (a ，b )是圓內(nèi)一點，那么a 2b 2a 2b 2r ，故l 與圓相離、2、兩點A (3,2)和B (1,4)到直線mx y 30的距離相等，那么m 的值為()A 、0或12B 、0或12 C.12或12 D.12或6 答案D解析由|3m 23|m 21|m 43|m 21，解之得m 12或6，應(yīng)選D.3、k 為任意實數(shù)，直線(k 1)x ky 10被圓(x 1)2(y 1)24截得的弦長為()A 、8B 、4C 、2D 、與k 有關(guān)的值 答案B解析直線(k 1)x ky 10

24、化為k (x y )x 10，可知恒過定點(1,1)即圓心，從而弦長為4，故答案選B.4、假設(shè)圓C 的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x 3y 0和x 軸都相切，那么該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A 、(x 3)2(y 73)21 B 、(x 2)2(y 1)21C 、(x 1)2(y 3)21D 、(x 32)2(y 1)21 答案B解析依題意設(shè)圓心C (a,1)(a 0)，由圓C 與直線4x 3y 0相切，得|4a 3|51，解得a 2，那么圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x 2)2(y 1)21，應(yīng)選B.5、以橢圓x 24y 231的右焦點F 為圓心，并過橢圓的短軸端點的圓的方程為_、答案(x 1)2y

25、24解析橢圓x 24y 231的右焦點為F (1,0)，所求圓的半徑為b 2c2a 2，所以所求圓的方程為(x 1)2y 24.6、橢圓x 24y 231離心率為e ，點(1，e )是圓x 2y 24x 4y 40的一條弦的中點，那么此弦所在直線的方程是()A 、3x 2y 40B 、4x 6y 70C 、3x 2y 20D 、4x 6y 10 答案B解析依題意得e 12，圓心坐標(biāo)為(2,2)，圓心(2,2)與點(1，12)的連線的斜率為2122132，所求直線的斜率等于23，所以所求直線方程是y 1223(x 1)，即4x 6y 70，選B.7、圓x 2y 21與x 軸的兩個交點為A 、B

26、，假設(shè)圓內(nèi)的動點P使|PA |、|PO |、|PB |成等比數(shù)列，那么PA PB 的取值范圍為()A.? ?0，12 B.?12，0 C 、(12，0) D 、1,0) 答案C解析設(shè)P (x ，y )，|PO |2|PA |PB |，即x 2y 2x 12y 2x 12y 2，整理得：2x 22y 21， PA PB (1x ，y )(1x ，y )x 2y 212x 232.P 為圓內(nèi)動點且滿足x 2y 212，222，12328、過點P (x ，y )的直線分別與x 軸和y 軸的正半軸交于A 、B 兩點，點Q 與點P 關(guān)于y 軸對稱，O 為坐標(biāo)原點，假設(shè)BP 2PA 且OQ AB 1，那么

27、點P 的軌跡方程是()A 、3x 232y 21(x 0，y 0)B 、3x 232y 21(x 0，y 0) C.32x 23y 21(x 0，y 0) D.32x 23y 21(x 0，y 0) 答案D解析設(shè)P (x ，y )，那么Q (x ，y )，由BP 2PA ，A (32x,0)，B (0,3y )、AB (32x,3y )、從而由OQ AB (x ，y )(32x,3y )1. 得32x 23y 21其中x 0，y 0，應(yīng)選D.9、設(shè)雙曲線x 2y 21的兩條漸近線與直線x 22圍成的三角形區(qū)域(包含邊界)為E ，P (x ，y )為該區(qū)域的一個動點，那么目標(biāo)函數(shù)z x 2y 的

28、最小值為_、答案2210、正方形ABCD ，那么以A 、B 為焦點，且過C 、D 兩點的橢圓的離心率為_、答案21解析令A(yù)B 2，那么AC 22，橢圓中c 1,2a 222?a 12，可得e c a 12121.11、假設(shè)焦點在x 軸上的橢圓x 245y 2b 21上有一點，使它與兩個焦點的連線互相垂直，那么b 的取值范圍是_、答案3102b 3102且b 0解析設(shè)橢圓的兩焦點為F 1(c,0)，F(xiàn) 2(c,0)以F 1F 2為直徑的圓與橢圓有公共點時，在橢圓上必存在點滿足它與兩個焦點的連線互相垂直，此時條件滿足c b ，從而得c 2b 2?a 2b 2b 2?b 212a 2452，解得31

29、02b 3102且b 0.12、AC ，BD 為圓O ：x 2y 24的兩條相互垂直的弦，垂足為M (1，2)，那么四邊形ABCD 的面積的最大值為_、 答案5解析設(shè)圓心O 到AC 、BD 的距離分別為d 1、d 2，由垂徑定理得AC24d 21，BD 24d 22.又AC BD ，d 21d 22OM 23，(S 四邊形ABCD )2(12AC BD )24(4d 21)(4d 22)4(4d 214d 222)24(52)225(當(dāng)且僅當(dāng)d 1d 2時等號成立)，S 四邊形ABCD 5，即四邊形ABCD 的面積的最大值為5.13、如果以拋物線y 24x 過焦點的弦為直徑的圓截y 軸所得的弦

30、長為4，那么該圓的方程是_、答案(x 32)2(y 1)2254或(x 32)2(y 1)2254解析如下圖，拋物線y 24x 的焦點F (1,0)，設(shè)過點F 的直線方程為y k (x 1)，與拋物線交于點A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由?y k x 1y 24x ，消去y ，得k 2x 2(2k 24)x k 20. 由題意知，0，x 1x 22k 24k 2，x 1x 21.令A(yù)B 的中點，即以AB 為直徑的圓的圓心為P (x 0，y 0)，那么x 0x 1x 22k 22k 2，y 0y 1y 222k ， |AB |x 1x 22y 1y 221k 2|x 1x 2

31、|1k 2x 1x 224x 1x 21k 22k 24k 224. 由題意知x 204(|AB |2)2，即(k 22k 2)241k22k 24k2244.解得k 24，即k 2，所以P (32，1)，|AB |5，所以圓P 的方程為(x 32)2(y 1)2254或(x 32)2(y 1)2254.14、如圖，A 、B 分別是單位圓與x 軸、y 軸正半軸的交點，點P 在單位圓上，AOP (0(1)求OA OQ S 的最大值；(2)假設(shè)CB OP ，求sin(26)的值、解析(1)由得A 、B 、P 的坐標(biāo)分別為(1,0)(0,1)，(cos ，sin )、OQ OA OP (1,0)(c

32、os ，sin )(1cos ，sin )，OA OQ 1cos .又平行四邊形OAQP 的面積S |OA |OP |sin sin ，OA OQ S 1sin cos 2sin(4)1.04時，OA OQ S 取最大值為21.(2)由題意CB (2,1)，OP (cos ，sin )，tan 12.又(0，)，(0，2)、 由?sin cos 12sin 2cos 21，解得sin 55，cos 255.sin22sin cos 25525545.cos2cos 2sin 2451535.sin(26)sin2cos 6cos2sin 6 4532351243310. 15. 如上圖所示，等

33、腰三角形ABC 的底邊BC 的兩端點是橢圓E ：x 2a 2y 2b 21(a b 0)的兩焦點，且AB 的中點D 在橢圓E 上、(1)假設(shè)ABC 60，|AB |4，試求橢圓E 的方程；(2)設(shè)橢圓離心率為e ，求cos ABC .解析(1)因為ABC 60，且ABC 為等腰三角形，所以ABC 是正三角形、又因為點B ，C 是橢圓的兩焦點，設(shè)橢圓焦距為2c ， 那么2c |BC |AB |4，如右圖所示，連接CD ，由AB 中點D 在橢圓上，得2a |BD |CD |12|AB |32|AB |223， 所以a 13，從而a 2423，b 2a 2c 223，故所求橢圓E 的方程為x 242

34、3y 2231.(2)設(shè)橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為a ，b ，c ，且 |AD |DB |m ，連接CD ，那么|BO |OC |c ，|DC |2a m ，在Rt AOB 中，cos ABC c2m . 在BCD 中，由余弦定理，得cos ABC 2c 2m 22a m222c m. 由式得2m 2a 2c2a ，代入式得cos ABC ac 2a 2c 2e2e 2.16、設(shè)橢圓C ：x 2a 2y 221(a 0)的左、右焦點分別為F 1、F 2，A 是橢圓C 上的一點，且AF 2F 1F 20，坐標(biāo)原點O 到直線AF 1的距離為13|OF 1|.(1)求橢圓C 的方程；(2)設(shè)

35、Q 是橢圓C 上的一點，過點Q 的直線l 交x 軸于點P (1,0)，交y 軸于點M ，假設(shè)MQ 2QP ，求直線l 的方程、解析(1)由題設(shè)知F 1(a 22，0)，F(xiàn) 2(a 22，0)由于AF 2F 1F 20，那么有AF 2F 1F 2，所以點A 的坐標(biāo)為(a 22，2a )，故AF 1所在直線方程為y (x a a 221a )、所以坐標(biāo)原點O 到直線AF 1的距離為a 22a 21(a 2)，又|OF 1|a 22，所以a 22a 2113a 22， 解得a 2(a 2)，所求橢圓的方程為x 24y 221.(2)由題意可知直線l 的斜率存在，設(shè)直線l 斜率為k ， 直線l 的方程

36、為y k (x 1)，那么有M (0，k )設(shè)Q (x 1，y 1)，MQ 2QP ，(x 1，y 1k )2(1x 1，y 1)，?x 123y 1k 3，又Q 在橢圓C 上，得2324k3221，解得k 4.故直線l 的方程為y 4(x 1)或y 4(x 1)， 即4x y 40或4x y 40.17、橢圓C ：x 2a 2y 2b 21(a b 0)的長軸長為4.(1)假設(shè)以原點為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓與直線y x 2相切，求橢圓的焦點坐標(biāo)；(2)假設(shè)點P 是橢圓C 上的任意一點，過原點的直線l 與橢圓相交于M ，N 兩點，記直線PM ，PN 的斜率分別為k PM ，k PN ，當(dāng)

37、k PM k PN 14時，求橢圓的方程、解析(1)由b 211，得b 2.又2a 4，a 2，a 24，b 22，c 2a 2b 22， 兩個焦點坐標(biāo)為(2，0)，(2，0)、 (2)由于過原點的直線l 與橢圓相交的兩點M ，N 關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，不妨設(shè)M (x 0，y 0)，N (x 0，y 0)，P (x ，y )，M ，N ，P 在橢圓上，它們滿足橢圓方程，即有 x 20a 2y 20b 21，x 2a 2y 2b 21，兩式相減得y 2y 20x 2x 20b 2a 2. 由題意它們的斜率存在，那么k PM y y 0x x 0，k PN y y 0x x 0，k PM k PN y

38、 y 0x x 0y y 0x x 0y 2y 20x 2x 20b 2a 2， 那么b 2a 214，由a 2，得b 1.故橢圓方程為x 24y 21.18、橢圓x 2a 2y 2b 21(a b 0)的左、右焦點為F 1、F 2，過F 1的直線l 與橢圓交于A 、B 兩點、(1)如果點A 在圓x 2y 2c 2(c 為橢圓的半焦距)上，且|F 1A |c ，求橢圓的離心率；(2)假設(shè)函數(shù)y 2log m x (m 0且m 1)的圖像，無論m 為何值時恒過定點(b ，a )，求F 2B F 2A 的取值范圍、解析(1)點A 在圓x 2y 2c 2上， AF 1F 2為一直角三角形， |F 1

39、A |c ，|F 1F 2|2c ，|F 2A |F 1F 2|2|AF 1|23c .由橢圓的定義，知|AF 1|AF 2|2a ，c 3c 2a .e c a 21331.(2)函數(shù)y 2log m x 的圖像恒過點(1，2)，由條件知還恒過點(b ，a )，a 2，b 1，c 1.點F 1(1,0)，F(xiàn) 2(1,0)，假設(shè)AB x 軸，那么A (1，22)，B (1，22)， F 2A (2，22)，F(xiàn) 2B (2，22)， F 2A F 2B 41272.假設(shè)AB 與x 軸不垂直，設(shè)直線AB 的斜率為k ，那么AB 的方程為y k (x 1)、由?y k x 1，x 22y 220，消

40、去y ，得(12k 2)x 24k 2x 2(k 21)0. (*)8k 280，方程(*)有兩個不同的實根、設(shè)點A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1，x 2是方程(*)的兩個根、x 1x 24k 212k 2，x 1x 22k 2112k 2， F 2A (x 11，y 1)，F(xiàn) 2B (x 21，y 2)， F 2A F 2B (x 11)(x 21)y 1y 2(1k 2)x 1x 2(k 21)(x 1x 2)1k 2 (1k 2)2k 2112k 2(k 21)(4k 212k 2)1k 2 7k 2112k 2729212k 2.12k 21，02，1F 2A

41、 F 2B 729212k 20，點A 的坐標(biāo)為(1,1)，點B 在拋物線y x 2上運動，點Q 滿足BQ QA ，經(jīng)過點Q 與x 軸垂直的直線交拋物線于點M ，點P 滿足QM MP ，求點P 的軌跡方程、 解析由QM MP 知Q ，M ，P 三點在同一條垂直于x 軸的直線上，故可設(shè)P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)，那么x 2y 0(y x 2)，即y 0(1)x 2y . 再設(shè)B (x 1，y 1)，由BQ QA ，即(x x 1，y 0y 1)(1x,1y 0)，解得?x 11x ，y 11y 0.將式代入式，消去y 0，得?x 11x ，y 112x 21y

42、 . 又點B 在拋物線y x 2上，所以y 1x 21，再將式代入y 1x 21，得(1)2x 2(1)y (1)x 2，(1)2x 2(1)y (1)2x 22(1)x 2， 2(1)x (1)y (1)0.因0，兩邊同除以(1)，得2x y 10. 故所求點P 的軌跡方程為y 2x 1. 20. (2021江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，M 、N 分別是橢圓x 24y 221的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P 、A 兩點，其中點P 在第一象限，過P 作x 軸的垂線，垂足為C .連接AC ，并延長交橢圓于點B .設(shè)直線PA 的斜率為k .(1)當(dāng)直線PA 平分線段MN 時，求k 的值

43、； (2)當(dāng)k 2時，求點P 到直線AB 的距離d ； (3)對任意的k 0，求證：PA PB .解析(1)由題設(shè)知，a 2，b 2，故M (2,0)，N (0，2)，所以線段MN 中點的坐標(biāo)為(1，22)、由于直線PA 平分線段MN ，故直線PA 過線段MN 的中點，又直線PA 過坐標(biāo)原點，所以k 22122.(2) 直線PA 的方程為y 2x ，代入橢圓方程得x 244x 221，解得x 23，因此P (23，43)，A (23，43)、于是C (23，0)，直線AC 的斜率為04323231，故直線AB 的方程為xy 230.因此，d |234323|1212223.(3)解法一將直線PA 的方程y kx 代入x 24y 221，解得x 212k 2.記212k 2，那么P (，k )，A (，k )、于是C (，0)、故直線AB 的斜率為0k k2，其方程為y k 2(x )，代入橢圓方程并由212k 2得(2k 2)x 22k 2x2(3k 22)0，解得x 3k 222k 2或x .因此B (3k 222k 2，k32k 2)、 于是直線PB 的斜率k 1k32k 2k 3k 222k2k 3k 2k 23k 222k 21k .因此k 1k 1，所以PA PB .解法二設(shè)P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那