數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的作用

1、.數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的作用一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)含著兩條主線：其一是按邏輯體系編排的知識(shí)所構(gòu)成的顯性主線，它是數(shù)學(xué)學(xué)科的外在形式，也是教師教和學(xué)生學(xué)的主要依據(jù)；另一條是蘊(yùn)含于知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程中的思想方法所構(gòu)成的隱性主線，它是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在動(dòng)力，是數(shù)學(xué)知識(shí)的“靈魂”。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)最本質(zhì)、最具價(jià)值的內(nèi)容，因?yàn)樗乾F(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式反映到人腦中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。如：集合思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、整體思想、和極限思想等。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)注意挖掘和提煉知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程中所蘊(yùn)涵的思想方法。數(shù)學(xué)教材中的每一章節(jié)，都體現(xiàn)著

2、知識(shí)和思維的有機(jī)結(jié)合。由于認(rèn)知能力及思維發(fā)展的限制，學(xué)生往往只注意數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，而忽視了聯(lián)結(jié)這些知識(shí)的觀點(diǎn)和思想與方法。因此，在教學(xué)中若能挖掘出數(shù)學(xué)概念、定理中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想；在數(shù)學(xué)推理與問(wèn)題解決中，有意識(shí)地展現(xiàn)數(shù)學(xué)方法，不僅可以開(kāi)啟思路、提高解題效率，還可以強(qiáng)化方法意識(shí)，使學(xué)生的思維品質(zhì)得到升華。因此，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)既是知識(shí)的學(xué)習(xí)又是方法的學(xué)習(xí)。在教學(xué)中探索數(shù)學(xué)思想方法的最終目的是提高學(xué)生的思維品質(zhì)和整體素質(zhì)。而實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的主要途徑通常是課堂教學(xué)。那么我們就從學(xué)生認(rèn)知的角度來(lái)看一下思想方法對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的作用。 1.掌握了數(shù)學(xué)思想方法能夠使數(shù)學(xué)知識(shí)更容易被理解 心理學(xué)認(rèn)為：由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的

3、有關(guān)概念在概括水平上高于新學(xué)習(xí)的知識(shí)，因而新知識(shí)與舊知識(shí)所構(gòu)成的種種類屬關(guān)系又稱為下位關(guān)系，這種學(xué)習(xí)又稱為下位學(xué)習(xí)，當(dāng)學(xué)生掌握了一些數(shù)學(xué)思想和方法，再去學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，就屬于下位學(xué)習(xí)了。下位學(xué)習(xí)所學(xué)的知識(shí)具有足夠的穩(wěn)定性，有利于鞏固新學(xué)習(xí)的知識(shí)，即可使新知識(shí)能夠順利地納入到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。因此學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)思想、方法就能夠更好地理解和掌握教學(xué)內(nèi)容。 2.掌握了數(shù)學(xué)思想方法有利于數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶 學(xué)習(xí)基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而是留下來(lái)的東西將使我們?cè)谛枰臅r(shí)候得以重新構(gòu)思起來(lái)。高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)象的工具，而且也是明天用以回憶那個(gè)現(xiàn)象的工具。由此可

4、見(jiàn)，數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的。 3.掌握了數(shù)學(xué)思想方法有利于“原理和態(tài)度的遷移” 這種類型的遷移應(yīng)該是教育過(guò)程的核心，是用基本的和一般觀念來(lái)不斷擴(kuò)大和加深知識(shí)。如果學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有較高抽象、概括水平的觀念，對(duì)于新學(xué)習(xí)是有利的。只有概括、鞏固和清晰的知識(shí)才能實(shí)現(xiàn)遷移。學(xué)習(xí)遷移的發(fā)生應(yīng)有個(gè)先決條件，就是學(xué)生需先掌握原理，形成類比，才能遷移到具體的類似學(xué)習(xí)中。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法有利于實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移，特別是原理和態(tài)度的遷移，從而可以較快地提高學(xué)習(xí)的質(zhì)量和數(shù)學(xué)能力。 4.數(shù)學(xué)思想方法可以指導(dǎo)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué) 基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)中要充分展現(xiàn)知識(shí)的形成、發(fā)展過(guò)程。并揭示其中

5、所蘊(yùn)涵的豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如幾何體體積公式的推導(dǎo)體系集轉(zhuǎn)化思想、等積類比思想及割補(bǔ)轉(zhuǎn)化方法之大成，是這些思想方法靈活運(yùn)用的完美范例。只有通過(guò)體積問(wèn)題展現(xiàn)解決問(wèn)題的思路，并且同時(shí)形成系統(tǒng)、條理的體積公式的推導(dǎo)線索，才能把這些思想方法明晰地呈現(xiàn)在學(xué)生的眼前，學(xué)生才能從中領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性思維過(guò)程，這對(duì)激發(fā)學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維、掌握數(shù)學(xué)方法的作用是不可低估的。 5.數(shù)學(xué)思想方法可指導(dǎo)解題練習(xí) 解題的過(guò)程就是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，合理聯(lián)系并提取相關(guān)知識(shí)，處理題設(shè)條件及知識(shí)，逐步縮小題設(shè)與結(jié)論間差異的過(guò)程，也可以說(shuō)是運(yùn)用化歸思想的過(guò)程，解題思想的尋求就自然是運(yùn)用思想方法分析、解決問(wèn)題的過(guò)程。運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，

6、進(jìn)行一題多解練習(xí)，可培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、靈活性；對(duì)習(xí)題的靈活變通、引申推廣，可培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、抽象性；組織、引導(dǎo)對(duì)解法簡(jiǎn)捷性的反思，不斷優(yōu)化思維品質(zhì)，可培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性。豐富、合理的聯(lián)想是對(duì)知識(shí)的深刻理解及類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想運(yùn)用的必然。數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的自覺(jué)運(yùn)用往往使我們運(yùn)算簡(jiǎn)捷、推理合理，是提高數(shù)學(xué)能力的必由之路。轉(zhuǎn)化教學(xué)片段說(shuō)明師：現(xiàn)在我們來(lái)研究一種新的立體圖形（出示實(shí)物），它是什么？生：圓柱。（師板書：圓柱的認(rèn)識(shí)）師（出示實(shí)物）：同學(xué)們通過(guò)收集和觀察有關(guān)實(shí)物，你發(fā)現(xiàn)生活當(dāng)中哪些物體的形狀是圓柱形的？生（出示實(shí)物）：這個(gè)罐頭是圓柱形的。生（出示

7、實(shí)物）：我這支鉛筆是圓柱形的。生：學(xué)校校門的不銹鋼管是圓柱形的？師（出示實(shí)物）：我們已經(jīng)知道了長(zhǎng)方體、正方體的特征，想不想知道圓柱的特征？生：想。師：現(xiàn)在就請(qǐng)同學(xué)們拿出圓柱形的物體，先獨(dú)立觀察、思考，然后分小組研究討論圓柱的特征，再進(jìn)行小組交流。學(xué)生探究，老師穿梭于各個(gè)小組之間，或是指導(dǎo)，或是聆聽(tīng)，之后組織討論。師：請(qǐng)各小組派一位代表說(shuō)說(shuō)你們所發(fā)現(xiàn)的圓柱的特征。小組1A：我們發(fā)現(xiàn)圓柱體有3個(gè)面，上下兩個(gè)面是圓形的，側(cè)面是曲的。師：還有補(bǔ)充嗎？小組1B：上下兩個(gè)面是相同的。師：你們?cè)趺粗郎舷聝蓚€(gè)面是相同的？小組1C：我們是觀察出來(lái)的。小組2：我們和1組的基本相同，只是我們不是通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)上下兩

8、個(gè)面相同的，而是先把下面畫下來(lái)，再同上面作比較，得出是相同的。師：你們認(rèn)為哪組的判斷方法好？生：2組的。師：為什么？生：用肉眼看可能會(huì)有偏差，通過(guò)測(cè)量后加以比較就準(zhǔn)確了。師：說(shuō)得很好！有時(shí)我們不能光憑感覺(jué)，還要運(yùn)用方法去證明一下是否正確。小組3：我們還發(fā)現(xiàn)圓柱從上到下比較均勻，上、下之間的距離相等。小組4：我們同意小組3的觀點(diǎn)，就是不知圓柱的高在哪里？師：圓柱上下兩個(gè)面之間的距離就是圓柱的高。請(qǐng)同學(xué)看電腦演示畫高，并觀察圓柱有多少條高？生：無(wú)數(shù)條。小組5：老師，我們對(duì)小組3的看法有補(bǔ)充，有的圓柱從上到下是不均勻的，例如：腰鼓就是中間粗，兩頭細(xì)。師：你們的發(fā)現(xiàn)很正確，不過(guò)你們所說(shuō)的圓柱不是我們今

9、天要研究的圓柱體，我們今天要研究的是小組3所講的圓柱體。小組6：我們還發(fā)現(xiàn)圓柱只有2條棱，沒(méi)有頂點(diǎn)。師：對(duì)呀！你們的發(fā)現(xiàn)很獨(dú)到，老師在備課時(shí)也沒(méi)想到。師：通過(guò)剛才小組討論、各組交流，請(qǐng)你閉上眼睛想想圓柱的特征，然后摸出課桌上的圓柱體。師：學(xué)到這里，請(qǐng)同學(xué)們小結(jié)一下，你認(rèn)識(shí)了圓柱的哪些特征？生：我知道了分類討論教學(xué)片段說(shuō)明師：前不久，李叔叔下崗了，于是他不得不再找工作，一天，他在街上看到了這樣一則招聘信息：本超市現(xiàn)招聘員工若干名，李叔叔一看條件不錯(cuò)，就應(yīng)聘做了超市的一名工作人員?？傻谝粋€(gè)月他只拿到工資550元，第二個(gè)月也只有600元。他去對(duì)經(jīng)理說(shuō)：“我已經(jīng)問(wèn)過(guò)其他工人，沒(méi)有一個(gè)工人的工資超過(guò)10

10、00元，平均工資怎么可能是每月1000元呢？”超市的經(jīng)理拿出了超市工作人員的工資表：經(jīng)理副經(jīng)理員工A員工B員工C員工D員工E員工F員工G工資3550450問(wèn)題（投影呈現(xiàn)）：請(qǐng)大家仔細(xì)觀察表中的數(shù)據(jù)，討論回答下面的問(wèn)題經(jīng)理說(shuō)月平均工資1000元是否欺騙了李叔叔？你有什么想法？生1：剛才我算了一下，這11個(gè)數(shù)的平均數(shù)是1000元，所以月平均工資1000元沒(méi)有欺騙。師：對(duì)，我們學(xué)過(guò)平均數(shù)的知識(shí)，平均數(shù)是1000元是沒(méi)有錯(cuò)的。生2：我認(rèn)為欺騙了，因?yàn)閮晌唤?jīng)理的工資很高，而員工的月平均工資不到1000元。師：說(shuō)說(shuō)你的想法。生2：因?yàn)閮晌唤?jīng)理的工資分別是3000元和2000元，而剩下的7人的工資最多的一個(gè)

11、也只有700元，這樣7位員工的平均工資肯定不到1000元，可以說(shuō)他們欺騙了李叔叔。師：你的分析有一定道理，看來(lái)這組數(shù)據(jù)中，由于出現(xiàn)了兩個(gè)特別的數(shù)據(jù)，所以平均數(shù)1000不能真實(shí)反映多數(shù)員工的工資水平。那么，應(yīng)該用怎樣的數(shù)反映這個(gè)超市的工資水平比較合理呢？這就是我們這節(jié)課要來(lái)共同學(xué)習(xí)和研究的內(nèi)容，揭示課題：中位數(shù)數(shù)形結(jié)合教學(xué)片段說(shuō)明 小明乘車遇到一個(gè)函數(shù)問(wèn)題，同學(xué)們能幫他解答嗎？ 問(wèn)題1：小明暑期第一次去北京，汽車駛上A地的高速公路后，小明觀察里程碑，發(fā)現(xiàn)汽車的平均速度是95千米/時(shí)，已知A地直達(dá)北京的高速公路里程為570千米，小明想知道汽車從A地駛出后，距離北京的路程和汽車在高速公路上行駛的時(shí)間

12、有什么關(guān)系，以便根據(jù)時(shí)間估計(jì)自己和北京的距離。 學(xué)生獨(dú)立后交流，嘗試解決下列問(wèn)題：常量是什么？ 變量有幾個(gè)，分別是什么？ 小明能得到一個(gè)什么樣的關(guān)系式？你能用含有y與x的解析式表示出兩個(gè)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？ 全班交流，達(dá)成共識(shí)：汽車距北京的路程隨著行車時(shí)間變化而變化。題中常量是兩地距離570千米和汽車行駛的平均速度95千米/時(shí)；變量是汽車距北京的路程與汽車行駛的時(shí)間；故可設(shè)汽車距北京的路程為y（千米），汽車行駛的時(shí)間為x（小時(shí)），所以y與x的解析式為：y=570-95x(也可寫作y= -95x+570)。教師追問(wèn)這個(gè)函數(shù)是正比例函數(shù)嗎？你們想知道這是什么函數(shù)，它有哪些性質(zhì)嗎？（二）合作交流探究

13、新知1、一次函數(shù)的意義問(wèn)題2：思考下列問(wèn)題中變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可用怎樣的函數(shù)表示？（教師出示圖） 有人發(fā)現(xiàn)，在2025時(shí)蟋蟀每分鐘鳴叫次數(shù)c與溫度t(單位：)有關(guān)，即c的值約是t的7倍于35的差； 一種計(jì)算成年人標(biāo)準(zhǔn)體重G（單位：千克）的方法是，以厘米為單位量出身高值h減常數(shù)105，所得的差是G的值； 某城市的室內(nèi)電話的月收費(fèi)額y（單位：元）包括：月租費(fèi)22元，撥打電話x分的計(jì)時(shí)費(fèi)按0.1元/分收??； 把一個(gè)長(zhǎng)10cm、寬5cm的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減少x cm，寬不變，長(zhǎng)方形的面積y（單位：cm2 ）隨x的值而變化。 學(xué)生獨(dú)立思考后交流回答，教師板書： c=7t-35 G=h-105 y=0.1x+22 y=-5x+50 追問(wèn)：上述函數(shù)解析式有什么共同特點(diǎn)？ 討論歸納：上述5個(gè)函數(shù)的形式都是自變量與一個(gè)常數(shù)的乘積，在加上一個(gè)常數(shù)。 追問(wèn)：你能用一個(gè)表達(dá)式表示這一共同特征嗎？ 學(xué)生思考、討論、交流，教師引導(dǎo)、點(diǎn)播達(dá)成共識(shí)，上述式子都是用含有自變量次數(shù)為1的正式表示的，因此，可用形如y=kx+b來(lái)表示。歸納概括一次函數(shù)的意義：一般地，形如y=kx+b（k 、b是常數(shù)，k0）的函數(shù)，叫一次函數(shù)。 討論：對(duì)于y=kx+b中的k可以等于0嗎？b可以等于0嗎？如b=0函數(shù)的式子是什么樣的？師生共同歸納得出：k可