高三數(shù)學(xué)專項(xiàng)03-代數(shù)推理題怎么解

1、高三數(shù)學(xué)專項(xiàng)03- 代數(shù)推理題怎么解陜西永壽縣中學(xué)特級教師安振平數(shù)學(xué)是 “教會年輕人思考”的科學(xué) , 針對代數(shù)推理型問題, 我們不但要尋求它的解法是什么 , 還要思考有沒有其它的解法 , 更要反思什么原因要如此解 , 不如此解行嗎 ?我們通過典型的問題 , 解析代數(shù)推理題的解題思路 , 方法和技巧 . 在解題思維的過程中 , 既重視通性通法的演練 , 又注意特別技巧的作用 , 同時(shí)將函數(shù)與方程 , 數(shù)形結(jié)合 , 分類與討論 , 等價(jià)與化歸等數(shù)學(xué)思想方法貫穿于整個(gè)的解題訓(xùn)練過程當(dāng)中.例 1 設(shè)函數(shù) f ( x) ax 24x, g (x)4 x 1，x 4,0 ，時(shí)恒有 f (x)g( x) ，

2、求 a 的取值范圍 .3講解 : 由 f ( x)g ( x)實(shí)施移項(xiàng)技巧 ,得2424x 1 a, ,x 4xx 1 a, 令 c : yx 4x , l : y33從而只要求直線l 不在半圓 c 下方時(shí) , 直線 l 的 y 截距的最小值 .當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，易求得a5(a53舍去 .故 a5時(shí) , f ( x) g (x) .本例的求解在于實(shí)施移項(xiàng)技巧 , 關(guān)鍵在于構(gòu)造新的函數(shù), 進(jìn)而通過解幾模型進(jìn)行推理解題, 當(dāng)中 , 滲透著數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法, 顯示了解題思維轉(zhuǎn)換的靈活性和流暢性.還須指出的是 : 數(shù)形結(jié)合未必一定要畫出圖形, 但圖形早已在你的心中了, 這也許是解題能力的提升

3、, 還請三思而后行 .1111log a (a 1)2的正整數(shù) n 恒成例 2 不等式1 n 22n12關(guān)于大于 1n3立，試確定a 的取值范圍 .111講 解 : 構(gòu) 造 函 數(shù) f ( n)n 22nn 1呢?) f (n) 為增函數(shù) .n 是大于 1 的正整數(shù)， 易 證 ( 請 思 考 : 用 什 么 方 法 證 明f (n)f (2)7 .1112112要使12log a (a 1)對一切大于1 的正整數(shù)恒成立，必nn2n123須 1log a (a1)27 ,12312即 loga (a1)1,解得 1a15 .2那個(gè)地方的構(gòu)造函數(shù)和例 1 屬于同類型 , 學(xué)習(xí)解題就應(yīng)當(dāng)在解題活動(dòng)的

4、過程中不斷的逐類旁通 , 舉一反三 , 總結(jié)一些解題的小結(jié)論 . 針對恒成立的問題 , 函數(shù)最值解法大概是一種特別有效的同法 , 請?zhí)釤捘愕男〗Y(jié)論 .例 3 函數(shù)f ( x)3x23x 4b29b0) 在區(qū)間 b，1b 上的最大值為 25，求4(b 的值 .講解 : 由二次函數(shù)配方 , 得 f ( x)3(x1 ) 24b 23.2(1)當(dāng) b11b, 即1b3 時(shí)， f ( x) 的最大值為 4b2+3=25.222b 225 與 1b3 矛盾 ;422(2)當(dāng)1b, 即0 b1 時(shí),f ( x)在b,1b 上遞增，22f ( b)(b3 ) 225;2(3)當(dāng)11b,即 b3時(shí)， f (

5、x)在b,1b 上遞增，22f (1b)b2961525,解得 b5 .42關(guān)于二次函數(shù)問題是歷年高考的熱門話題,值得讀者在復(fù)課時(shí)重點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練. 針對拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)1 在不在區(qū)間 b，1 b,自然引出解題形態(tài)的三種情況, 這顯示了分類討論的數(shù)2學(xué)思想在解題當(dāng)中的充分運(yùn)用 . 該分就分 , 該合就合 , 這種辨證的統(tǒng)一完全依具體的數(shù)學(xué)問題而定 , 需要在解題時(shí)靈活把握 .例 4 f ( x)x( x1).x1(1) 求 f (x) 的單調(diào)區(qū)間； 2假設(shè) ab0,c1,求證 : f ( a)f (c)3 .(a b)b4講解: 1對已知函數(shù)進(jìn)行降次分項(xiàng)變形, 得 f (x) 11,x1f ( x

6、)在區(qū)間 (, 1)和 ( 1,)上分別單調(diào)遞增 .2首先證明任意xy0, 有 f (xy)f (x)f ( y).事實(shí)上 , f ( x)f ( y)xyxyxyx yxy x yx 1y 1xy x y 1f ( xy x y)xy x y 1而 xy xy xy,由(1)知 fxyx yf ( xy),f ( x)f ( y)f ( xy)c1140,(ab)babb2a2(2)aa4a c3.22 a 23f (a)f (c)f ( ac)f (3).4函數(shù)與不等式證明的綜合題在高考中?？汲Ｐ? 是既考知識又考能力的好題型, 在高考備考中有較高的訓(xùn)練價(jià)值. 針對本例的求解, 你能夠想到

7、證明任意 x y0, 有 f (x y)f (x) f ( y). 采納逆向分析法 , 給出你的想法 !例 5 函數(shù) f ( x)=a x， 、aa x(1) 證明函數(shù) f ( x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) p( 1 , 1 ) 對稱、22(2) 令 ana f (n) ，對一切自然數(shù)n，先猜想使an 成立的最小自然數(shù)a, 并證明f (1 n)之、(3) 求證： 1 n(n 1) lg 3(lg n! )(n ).4p對稱 , 可采納解幾中的坐標(biāo)證法 .講解 : (1) 關(guān)于函數(shù)的圖象關(guān)于定點(diǎn)設(shè) m( x, y) 是 f ( x) 圖象上任一點(diǎn)， 那么 m關(guān)于 p( 1, 1 ) 的對稱點(diǎn)為 m ，22

8、a1 xaaa1 xa aa a xa ax1y1axaa xaa xaf (1x)1y (1- x,1- y) 亦在 f ( x) 的圖象上，故函數(shù) f ( x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) p( 1, 1 ) 對稱 .22(2) 將 f ( n) 、 f (1- n) 的表達(dá)式代入an 的表達(dá)式，化簡可得猜 a=3,an 即 3 、下面用數(shù)學(xué)歸納法證明、設(shè) n=k( k ) 時(shí)， 3 、那么 n=k+1， 3 又 3k 1 3 ， 22 .(3) 令 k=1,2,， n，得 n 個(gè)同向不等式，并相加得：n(n1)2 lg(12n),2lg 3故 n (n1) lg 3lg( n!).4函數(shù)與數(shù)列 合型

9、在高考中 出 , 是 年高考 中的一道亮 的 景 . 針 本例 , 你能 猜想出最小自然數(shù)a=3 嗎 ? 你的數(shù)學(xué)猜想能力 .例 6 二次函數(shù)()21(,0)， 方程f ( x)x的兩個(gè) 根 1和fxaxbxaxb r ax2.1假如 x12x24，假 函數(shù)f ( x) 的 稱 x=x0，求 ： x0 1；2假如 | x1|2, | x2x1 |2，求 b 的取 范 .講 解 : 1 設(shè)(x)f()x ax2(b1)10， 由x12 x24 得gxx 且 ag( 2) 0, 且g (4)0 ,即4a2b1034ab12a.由 34a12a, 得 a1 , 23b11，16a4b30424288

10、a2a4a故 x0b111 ；2a1482由 g( x)ax2(b1)x10, 可知 x1 x210,x1 , x2 同號 .a假 0x12,則x2x12,x2x122,g ( 2)4a 2b10 .又 | x2x1 |2(b1) 244得2a1(b1) 21( a0 ， 根舍去代入上式得a2a2 (b1) 213 2b ，解得 b1 ；4假 2x10,則x22x12,g( 2)0, 即 4a 2b+30.7同理可求得 b.4故當(dāng) 0 x12時(shí),b1 , 當(dāng) 2x10時(shí),b7 .44 你而言 , 本例解 思 的障礙點(diǎn)在哪里, 找找看 , 如何排除 ?下一次遇到同 , 你會特 利的克服 ?我 力

11、求做到學(xué)一 會一 , 不斷提高 推理能力 .例 7 關(guān)于函數(shù)f ( x) ，假 存在x0r, 使 f (x0 )x0 成立，那么稱x0為 f (x) 的不 點(diǎn)。假如函數(shù) f ( x)x 2a (b,cn ) 有且只有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn) 0， 2，且 f (2)1 ,bxc21求函數(shù) f (x) 的解析式；2各項(xiàng)不為零的數(shù)列 an 滿足 4snf ( 1) 1，求數(shù)列通項(xiàng)an ；an3假如數(shù)列 an 滿足 a14,an1f (an ) ，求證：當(dāng) n2 時(shí)，恒有 an3 成立 .講解 : 依題意有 x 2ax , 化簡為 (1 b)x 2cx a0, 由違達(dá)定理 , 得bxc20c,1b20a,1b解得

12、a0c , 代入表達(dá)式f ( x)x 2，由 f (2)21 ,b1(1c1c22) x c2得 c3, 又 cn , bn , 若 c0,b1,則 f ( x)x 不止有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，c2, b2, 故f (x)x2,( x1).2( x1)( 1 ) 22由題設(shè)得4snan1得 : 2snanan2 , * 11)2(an且 an1,以 n1代 n得 : 2sn 1an 1an2 1 * 由 * 與 * 兩式相減得：2an(anan 1 ) (an2an2 1 ), 即 (anan 1 )(an an 1 1) 0,anan1或 anan 11,以 n1代入 (*) 得 : 2a1a1a12

13、 ,解得 a10 舍去或 a11 ，由 a11 ，假設(shè) anan 1得 a21, 這與 an1矛盾，anan 11 ，即 an 是以 -1為首項(xiàng)， -1為公差的等差數(shù)列，ann ；3采納反證法，假設(shè)an3(n2), 那么由1知 an 1f (an )an22an2an 1an11)11)31,即 an 1an (n 2, n n ) , 有an2(an1)(1an(124212anan 1a2 ，而當(dāng) n2時(shí) ,a2a121683;an3, 這與假設(shè)矛2a12823盾，故假設(shè)不成立，an3.關(guān)于本例的第(3) 題 , 我們還可給出直截了當(dāng)證法, 事實(shí)上 :由 an 1f (an )得 an 1

14、an2,12( 11) 21 1 得 an 1 t ；3 求 足f (t)=t的整數(shù) t 的個(gè)數(shù)，并 明理由. 解 1 求 f(1)的 ，需令xy0, 得 f (0)1.令 xy1,f ( 2)2,f (1)2 .令 x1, y1,f (0)f (1)f ( 1),即 f (1)1.2令 x1,f ( y1)f ( y)y2即 f ( y1)f ( y)y2 ( )當(dāng) yn時(shí) , 有 f ( y1)f ( y)0 .由 f ( y1)f ( y), f (1)1可知 , 對一切正整數(shù)y都有 f ( y)0 ,當(dāng) yn時(shí), f ( y1)f ( y)y2f ( y)1y1y1 ,因此關(guān)于一切大于

15、1 的正整數(shù)t ，恒有 f ( t )t.3由及 1可知f ( 3)1, f ( 4)1.下面 明當(dāng)整數(shù)t4時(shí) , f (t)t .t4,(t2)20,由 ( ) 得 f (t )f (t1)(t2)0,即 f ( 5)f ( 4)0,同理 f ( 6)f ( 5)0, ，f (t1)f (t2)0, f (t)f (t1)0.將諸不等式相加得f (t)f ( 4)14,t4,f (t)t .綜上，滿足條件的整數(shù)只有t=1 ，2 .此題的求解顯示了對函數(shù)方程f ( x+y)= f ( x)+ f (y)+ xy+1 中的 x、 y 取特別值的技巧，這種賦值法在2002 年全國高考第21題中得到

16、了特別好的考查.例 10 函數(shù) f x在 1，1上有定義，f ( 1 )1且滿足 x、 y 1， 1有2f ( x)f ( y)f ( xy ) 、1 xy 1證明： f x在 1， 1上為奇函數(shù)； 2對數(shù)列 x11 , xn 12xn, 求 f ( xn ) ；21xn2 3求證1112n 5.f ( x1 )f ( x2 )f ( xn )n 2講解 1令 xy0, 那么 2 f (0)f ( 0), f (0)0令 yx, 那么 f (x)21 f (x1 ) f ( )f ( x) f (0)0,f ( x)f (x)為奇函數(shù) .1 ， f (xn 1 )f (2 xn2 )f (xnxn ) f (xn ) f (xn ) 2 f ( xn ),1xn1xnx