《數(shù)列的極限》PPT課件

1、第二節(jié) 數(shù)列的極限,一、 數(shù)列極限的定義 二、 數(shù)列極限的性質(zhì) 三、 收斂準(zhǔn)則,割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣,1、割圓術(shù),播放,劉徽,概念的引入,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,2、截丈問題,一尺之棰，日截其半，萬世不竭,一、數(shù)列極限的定義,例如,注意,1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取,2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù),播放,數(shù)列的極限,問題,當(dāng) 無限增大時, 是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定,問題,無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它,通過上面演示實驗的觀察,定義,如果對于任意給定的正數(shù),不論它多么,小,總存

2、在正數(shù),N,使得對于,時的一切,不等式,都成立,那末就稱常數(shù)a,是數(shù)列,的極限,或者稱數(shù)列,收斂于,a,記為,或,如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的,注意,幾何解釋,其中,數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法,例1,證,所以,注意,例2,證,所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù),小結(jié),用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定 尋找N,但不必要求最小的N,例3. 已知,證明,證,欲使,只要,即,取,則當(dāng),時, 就有,故,故也可取,也可由,N 與 有關(guān), 但不唯一,不一定取最小的 N,說明,取,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4,證,二、數(shù)列極限的性質(zhì),證: 用反證法,及,且,取,因,故存在 N1

3、,從而,同理, 因,故存在 N2,使當(dāng) n N2 時, 有,1. 收斂數(shù)列的極限唯一,使當(dāng) n N1 時,假設(shè),從而,矛盾,因此收斂數(shù)列的極限必唯一,則當(dāng) n N 時,故假設(shè)不真,滿足的不等式,2、有界性,例如,有界,無界,定理2 收斂的數(shù)列必定有界,證,由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件,推論 無界數(shù)列必定發(fā)散,例5,證,由定義,區(qū)間長度為1,不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi),3. 收斂數(shù)列的保號性,若,且,時, 有,證,對 a 0,取,推論,若數(shù)列從某項起,用反證法證明,4、子數(shù)列的收斂性,注意,例如,定理4 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂且極限相同,證,證畢,定義5 數(shù)列xn的項若滿足x

4、1x2xnxn+1,則稱數(shù)列xn為單調(diào)增加數(shù)列; 若滿足x1x2xnxn+1,則稱數(shù)列xn為單調(diào)減少數(shù)列; 當(dāng)上述不等式中等號都不成立時,則分別稱xn 是嚴(yán)格單調(diào)增加和嚴(yán)格單調(diào)減少數(shù)列,收斂準(zhǔn)則1 單調(diào)增加且有上界的數(shù)列必有極限;單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限,三、收斂準(zhǔn)則,2. 夾逼準(zhǔn)則 (準(zhǔn)則2,證,由條件 (2),當(dāng),時,當(dāng),時,令,則當(dāng),時, 有,由條件 (1,即,故,例5. 證明,證: 利用夾逼準(zhǔn)則,且,由,五、小結(jié),數(shù)列:研究其變化規(guī)律,數(shù)列極限:極限思想、精確定義、幾何意義,收斂數(shù)列的性質(zhì): 唯一性、有界性、保號性、子數(shù)列的收斂性,數(shù)列收斂的準(zhǔn)則: 單調(diào)有界準(zhǔn)則、夾逼準(zhǔn)則,思考題,證明,要使,只要使,從而由,得,取,當(dāng) 時，必有 成立,思考題解答,等價,證明中所采用的,實際上就是不等式