題直線與圓的位置關(guān)系與圓中有關(guān)計算分析

1、 直線與圓的位置關(guān)系與圓中相關(guān)計算 第一部分 題目分析一、 題型特點：1、 難度系數(shù)：北京中考20題近三年難度系數(shù)2011年0.622012年0.532013年0.72直線與圓的位置關(guān)系與圓中相關(guān)計算是每年北京中考的必考題型，題目位置為第20題（特別值得注意是今年中考說明中要求，統(tǒng)計題目21題將與20題圓題目互換位置，即圓題目位置變?yōu)?1題位置），共兩問，分值為5分，近三年考題難度系數(shù)為0.62、0.53、0.72，為中等難度，13年因為第二問計算量的降低難度大幅下降,這也是以后中考命題的大方向。相比較函數(shù)綜合題（23題）來說，圓的綜合題比較開放，解決圓的問題不僅需要運用圓的相關(guān)性質(zhì)，還需要三

2、角形、四邊形、三角函數(shù)、全等、相似等很多相關(guān)知識，另外需要學(xué)生對各種基本圖形都要很熟悉，對勾股定理和三角函數(shù)的計算、基礎(chǔ)輔助線的做法也要得心應(yīng)手，綜合性很強。此題具有較好的區(qū)分度，結(jié)合題目位置，能否做出此題對學(xué)生考試后半段的情緒影響很大.順利答好圓的綜合題，是總分過百的有力保障。2、20092013第20題知識點總結(jié)：20092013第20題知識點總結(jié)年份220122013題號2020202020內(nèi)容切線的判定，圓的性質(zhì)；相似三角形，解直角三角形切線判定，圓的性質(zhì)；在圓中構(gòu)造直角三角形、解直角三角形切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理推論；解直角三角形切線的判定與性質(zhì)；相似三角形解直角三角形圓的切線的

3、性質(zhì)，圓的有關(guān)基本性質(zhì)；三角函數(shù)從近五年第20題可以看出第一問09、10只涉及到切線的判定，從11年開始添加切線的性質(zhì)，到13年只考了切線的性質(zhì)；第二問每年都涉及到解直角三角形，09、12年還考到了相似三角形。3、中考說明中的變化：就考試內(nèi)容要求上與去年沒有變化，A、B、C級考點各一個。但是，題目位置由原來的第20題的位置變動到第21題位置，與統(tǒng)計題目互換?？荚噧?nèi)容考試要求ABC直線與圓的位置關(guān)系了解直線與圓的位置關(guān)系；了解切線的概念，理解切線與過切點的半徑之間的關(guān)系；會過圓上一點畫圓的切線；了解切線長的概念能判斷直線與圓的位置關(guān)系；會根據(jù)切線長的知識解決簡單的問題；能利用直線與圓的位置關(guān)系解

4、決簡單問題能解決與切線有關(guān)的問題4、學(xué)生存在問題：學(xué)生已經(jīng)全面復(fù)習(xí)了圓的相關(guān)知識，能夠應(yīng)用這些知識比較順利地解決圓的切線的證明問題，并且能夠在分析過程中有依據(jù)地選擇輔助線。但是由于學(xué)生的分析、推理能力不是很強，一部分學(xué)生不熟悉圓中的直角三角形、相似的基本圖形，只有少部分學(xué)生能夠靈活運用解直角三角形、三角函數(shù)和相似三角形解題，因此大部分學(xué)生對解決中考20題中的第二問圓中求線段問題還有一定的困難。二、主要解題思路（思想方法）方程思想、勾股定理（逆定理）利用三角形相似計算線段長度、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用。三、基本輔助線做法：1.作平行線（垂線）構(gòu)造相似三角形；2.角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊

5、距離相等3.作垂線段，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理、銳角三角函數(shù).第二部分 題目類型1.圓的切線的證明；2. 圓的切線的性質(zhì)（角度推理）；3. 圓中相關(guān)計算。第三部分 例題講解一、圓的切線的證明： 圓的切線的證明是重點考試內(nèi)容，從09-12年都考了切線的證明（13年改為證明角相等），所以要格外重視。特別是輔助線的添加有時也占1分，這是每個學(xué)生都能拿到的分?jǐn)?shù)。常見的有關(guān)切線的添加輔助線的方法有：有切點連半徑證垂直；無切點作垂直證半徑。1、有值計算來加減：例1.（10北京）20. 已知：如圖，在中，是邊上一點，過三點， （1）求證：直線是的切線；涉及考點：切線判定，圓的性質(zhì)；分析： 本類題目屬于圓

6、中切線證明中的相對簡單的類型。當(dāng)給定了特殊角度時，利用特殊角度進行計算，湊出想要證明的切線與過切點的半徑夾角為90，即可運用切線的判定定理證明出切線.解答：(1) 證明：OD=OC，DOC=90，ODC=OCD=45， DOC=2ACD=90，ACD=45，ACD+OCD=OCA=90， 點C在圓O上，直線AC是圓O的切線.反思：重點指導(dǎo)如果想證明切線，先看圓心與切點有無連線，若沒有連線，先添加輔助線，得到1分。若類似本類題目給出了特殊角度值，想辦法進行倒角計算，湊出90。練習(xí)如圖，點A，B，C分別是O上的點，B=60，AC=3，CD是O的直徑，P是CD延長線上的一點，且AP=AC （1）求證

7、：AP是O的切線；解答：連接OA B=60，AOC=120，又OA=OC，ACO=OAC=30，AOP=60，AP=AC，P=ACP=30，OAP=90，OAAP，又OA為半徑AP是O的切線，2、無值推證或化一：例2. （11北京）20. 如圖，在ABC，以AB為直徑的O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且.（1）求證：直線BF是O的切線；涉及考點：切線的判定，圓周角定理推論；分析：本題與第一類題目的對比，難度有一定提升，題目沒有給出特殊角度值，但是給出了一些角的等量關(guān)系，可以通過等角傳遞的方法，推證出90，再運用切線的判定定理證明出切線.解答： 證明：連結(jié).是O的直徑，. .

8、 即. 是O的直徑， 直線是O的切線反思：本類題型難點在于利用題目給出的角度的一些等量關(guān)系進行倒角，如果不能直接倒出直角，需要觀察圖形添加輔助線，利用圓中的一些基本定理構(gòu)造一些基本圖形。常見基本圖形練習(xí)1：（09北京）20已知： 如圖，在ABC中， AB=AC， AE是角平分線，BM平分ABC交AE于點M，經(jīng)過B、M兩點的O交BC于點G，交AB 于點F， FB恰為O的直徑（1） 求證：AE與O相切；解答：證明：連結(jié)OM，則OMOB12BM平分ABC，1323OMBCAMOAEB在ABC中ABAC，AE是角平分線，AEBCAEB90AMO90OMAEAE與O相切常見基本圖形練習(xí)2：（12北京）已

9、知：如圖，是的直徑，是上一點，于點，過點作的切線，交 的延長線于點，連結(jié)（1）求證：與相切；解答：證明：連結(jié). 與相切，為切點. 直線是線段的垂直平分線. 是的直徑. 與相切.常見基本圖形練習(xí)3：（10一模）20已知：如圖，AB為O的直徑，O過AC的中點D，DEBC于點E（1）求證：DE為O的切線；解答：證明：連接OD，AC的中點D，AB的中點OODBC，DEBC，DODE， DE為O的切線;方法合一：未知化一、方程思想。其實（類型一）之所簡單，是因為有特殊角度值可以直接通過一些加減運算。那么，對于復(fù)雜問題的（類型二）無特殊角度值時，也可以通過設(shè)未知數(shù)的方法，把相關(guān)角度用含未知數(shù)的式子表示出來

10、，就可以也類比（類型一）進行加減運算，使問題得以解決。二、圓的切線的性質(zhì)（角度推理）：例3.（13北京）如圖，AB是O的直徑，PA，PC分別與O 相切于點A，C，PC交AB的延長線于點D，DEPO交PO的延長線于點E.（1）求證：EPD=EDO涉及考點：圓的切線的性質(zhì)，切線長定理，圓的有關(guān)基本性質(zhì)； 分析： 本題是利用切線長定理證明角相等，再利用有一組角相等的八字形得到另一組角相等的基本圖形進行倒角。解答：（1） PA 、 PC 與O分別相切于點 A、 C APO = EPD 且 PA AO 即 PAO = 90 AOP = EOD ， PAO = E = 90 APO = EDO即 EPD

11、= EDO反思：對于中考20題中第（1）問中的圓的切線問題，不要思維定式一定會考圓的切線的判定，從06-13年中考中可以看出，從只涉及圓的切線的判定到利用圓的切線的性質(zhì)證明圓的切線，到13年，不考切線的判定只考切線的性質(zhì)，今年的中考是考切線的判定還是性質(zhì)未知，所以要對切線全面復(fù)習(xí)。練習(xí)1：已知：如圖，AB是O的直徑，AC是弦，CD是O的切線，C為切 點，ADCD于點D求證：（1）AOC=2ACD；解答：（1）連接BCAB是直徑ACB900CAB+ABC900OAOCOCACABOCA+ABC900CD切圓O于COCD900OCA+ACD900ACDABCOAOBABCOCBAOCABC+OCB

12、2ABCAOC2ACD練習(xí)2：如圖，AB為O的直徑，C為O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D，AD交O于點E.（1）求證：AC平分DAB；解答：（1）如圖1，連接OC，CD為O的切線，OCCD， OCD90，ADCD，ADC90， OCDADC180， ADOC， 12， OAOC， 23， 13，即AC平分DAB；三、圓中相關(guān)計算：例4. （11北京）20. 如圖，在ABC，以AB為直徑的O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且.（2） 若，求BC和BF的長.涉及考點：切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理推論；解直角三角形.分析：求圓中線段長是20題第（2）問的必考內(nèi)容，題目

13、綜合性較強，需要學(xué)生具有解決幾何問題的綜合能力和基本圖形的識圖能力。這就需要學(xué)生通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形，利用相似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理等相關(guān)內(nèi)容計算出線段長。G解法一：作CGBF，把BF分成BG和FG兩部分，在BCG中可以用CBF的正弦和BC直接求BG，而FG則可以用相似或者三角函數(shù)構(gòu)造方程來解決.H解法二：作CHAB于H，容易求出CH和AH長（面積法或三角函數(shù)），再利用相似即可求出BF.M解法三：作FMBC交BC延長線于M，可以觀察到基本的八字相似圖形，并且由CBF的正弦值應(yīng)能夠想到其正切值為1/2，進而由MCFMFB建立方程.N解法四：作FNBF交BC延長線于N，能夠容易看出基

14、本圖形CFNCAB，從而得到FN與CN的比，設(shè)參數(shù)，用CBF的正弦構(gòu)造方程.解法五：連接BD，得到雙垂直圖，面積法求得BD和AD的長，再在大三角形中求BF.P解法六：作APBF交BC的延長線于P，解RtABP，求得AP、CP，再由ACPFCB求得BF.反思：圓中求線段長，實質(zhì)就是在一些圖形里計算邊長，常用的圖形一般為三角形（四邊形也可轉(zhuǎn)化為三角形），在直角三角形中用勾股定理或銳角三角函數(shù)，在一般三角形用相似或等腰等邊三角形的一些相關(guān)性質(zhì)。所以，學(xué)生在構(gòu)造輔助線時可嘗試構(gòu)造垂線的直角三角形或構(gòu)造八字形或A字形等特殊基本圖形的方法即可得解。練習(xí)：（12朝陽）已知：如圖，在ABC中，點D在AC上，DA=DB，C=DBC，以AB為直徑的交AC于點E，F(xiàn)是