同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)課件3.6.ppt

1、第六節(jié) 微積分基本定理,本節(jié)要點(diǎn),本節(jié)通過(guò)積分上限函數(shù)，證明連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)的存,其中 為 的一個(gè)原函數(shù),在性,尼茨公式,更進(jìn)一步地得到微積分基本公式牛頓萊布,一、問(wèn)題的提出,在上一節(jié)中，我們看到：物體在時(shí)間間隔 內(nèi)經(jīng),但是，這段路程又可視為位置函數(shù) 在區(qū)間,過(guò)的路程為,速度函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分,的增量,即,由于 即位移函數(shù)是速度函數(shù)的原函數(shù),所以上述關(guān)系表示為,速度函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分,等于,值得提出的是：該問(wèn)題是否具有一般意義,即,即: 若函數(shù) 存在原函數(shù),那么函數(shù),在區(qū)間 上的定積分,是否可以表達(dá)為它的原函數(shù),在區(qū)間 上的增量,二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),設(shè)函數(shù) ，則 的定積分存在

2、，它與,積分變量的符號(hào)無(wú)關(guān)，即可將積分變量的符號(hào) 改寫,成,設(shè)函數(shù) 則 在部分區(qū)間,定義了區(qū)間 上的函數(shù),用此積分形式定義的函數(shù) 稱為積分上限的函數(shù),上可積，由此積分,記為 即,例如 則,x,1,y=x,定理1 如果函數(shù) 則積分上限函數(shù),在 上可導(dǎo)，并且其導(dǎo)函數(shù)為,證 若,由積分中值定理，得,其中 介于 與 之間，故,又由于 為連續(xù)函數(shù)，故,所以,此說(shuō)明函數(shù) 可導(dǎo)，且有,若 或 則以上的極限分別改為 或,就得到 與,定理1證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)的存在性，并且積分上限,函數(shù),是 的一個(gè)原函數(shù),例1 設(shè) 求,解 由求導(dǎo)公式，得,三、牛頓萊布尼茨公式,定理2 如果函數(shù) 函數(shù) 是 的一個(gè)原,證 因 與

3、 都是 的原函數(shù),函數(shù)，則,則,上式稱為牛頓萊布尼茨公式,在上式中，令 則有,又由于 可得 則有,在上式中令 則有,在上式將 改寫為 ，則有,定理2建立了定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系，同時(shí)又為,定積分的計(jì)算提供了方法,具體做法是,先求出原函數(shù)，再將上限和下限代入后相減,例2 求,解 因函數(shù) 的原函數(shù)為 故由積分公式,得,例3 求,解,例4 求,解,例5 設(shè) 求積分上限函數(shù),在 上的積分表達(dá)式,解 當(dāng),當(dāng),所以,例6 求極限,解 原式,這里取 并將區(qū)間 等分，取,為區(qū)間的左端點(diǎn)，小區(qū)間的長(zhǎng)度 又因函數(shù),故積分與區(qū)間的分法和點(diǎn)的取法無(wú)關(guān),所以,原式,定理 設(shè) 并在 上存在原函數(shù),證 在 插入 個(gè)分點(diǎn),

4、從而把區(qū)間 分成 個(gè)小區(qū)間， 在區(qū)間 上使,則,用微分中值定理，得,值得注意的是：定理2的條件可降低為,其中 記,則有,令 則有,又由于 可積，由定積分的定義，得,由于 可微分，故,即,上式說(shuō)明 在 上的定積分為它的原函數(shù),在 處各點(diǎn)處的微分的無(wú)窮積累,我們來(lái)推廣變上限的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,定理 設(shè)函數(shù) 在某區(qū)間 上連續(xù)，函數(shù) 及,注意到，當(dāng) 就是定理1的形式,是 上的可導(dǎo)函數(shù)，且,則,例7 設(shè) 求,解 由求導(dǎo)公式得,的導(dǎo)數(shù),例8 求由 確定的隱函數(shù) 對(duì),解 方程兩邊對(duì) 求導(dǎo)，則有,即,例9 當(dāng) 為何值時(shí)，函數(shù) 有極值,解 為求極值，先求函數(shù) 的駐點(diǎn)。因,顯然有： 所,以 是函數(shù)的極小值點(diǎn)。又 故當(dāng),時(shí)函數(shù)由極小值,例10 求,解 原式是 型。由羅必達(dá)法則，原