4-4 單純矩陣的譜分解_第1頁
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1、整理ppt,矩 陣 論 電 子 教 程,哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系,矩陣的分解,第 四 章,4.4 單純矩陣的譜分解,定理1: 設(shè) 是一個(gè) 階可對角化的矩陣，相異 特征 值為 ，則 使得,此式稱為A的譜分解,且滿足,分析: 設(shè) 是 的代數(shù)重復(fù)度,則,證明(1) 因?yàn)?所以,證明(2,證明:(5) 假設(shè)A有譜分解 和,則由(3)知,由于 ,所以,同理可得,所以, 唯一性得證,可對角化矩陣的譜分解步驟： （1）首先求出矩陣 的全部互異特征值 及每個(gè)特征值 所決定的線性無關(guān)特征向量,3）令,2）寫出,4）最后寫出,解: 首先求出矩陣 的特征值與特征向量。 容易計(jì)算,從而 的特征值為,可以求出分別

2、屬于這三個(gè)特征值的三個(gè)線性無關(guān)的特征向量,于是,取,令,那么其譜分解表達(dá)式為,正規(guī)陣的譜分解,其中 是矩陣 的特征值 所對應(yīng)的單位特征向量。我們稱上式為正規(guī)矩陣 的譜分解表達(dá)式,設(shè)正規(guī)矩陣 有 個(gè)互異的特征值 ， 特征值 的代數(shù)重?cái)?shù)為 ， 所對應(yīng)的個(gè)兩兩正交的單位特征向量為 ,則 的譜分解表達(dá)式又可以寫成,其中 ，并且顯然有,6）滿足上述性質(zhì)的矩陣 是唯一的。我們稱 為正交投影矩陣,即對于正規(guī)陣,滿足如下6條,推論1 設(shè) 是一個(gè) 階可對角化的矩陣， 譜分解為: ,若: 則有,解：首先求出矩陣 的特征值與特征向量。容易計(jì)算,從而 的特征值為,當(dāng) 時(shí)，求得三個(gè)線性無關(guān)的特征向量為,當(dāng) 時(shí)，求得一個(gè)線性無關(guān)的特征向量為 將 正交化與單位化可得,將 單位化可得,于是有,這樣可得其譜分解表達(dá)式為,解：首先求出矩陣 的特征值與特征向量,從而 的特征值為,可以求出分別屬于這三個(gè)特征值的三個(gè)線性無關(guān)的特征向量,再將其單位化可得三

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