圓錐曲線的產(chǎn)生與發(fā)展

1、第一章 圓錐曲線的發(fā)展史1.1 圓錐曲線的產(chǎn)生早在公元前5世紀(jì)公元前4世紀(jì)，古希臘巧辯學(xué)派的數(shù)學(xué)家提出了“化圓為方”、“立方倍積”和“三等分任意角”三大不可能問題。當(dāng)初，他們并不知道這是不可能問題，所以努力想解決這些它們。雖然他們沒有能解決這三大問題，但是卻獲得了不少意外的成果。據(jù)說，圓錐曲線的被發(fā)現(xiàn)，就是從這里開始的。古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底在求解“立方倍積”問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線：設(shè)為和的比例中項(xiàng)，即，則,，從而求得。又有人說，古希臘數(shù)學(xué)家在研究平面與圓錐面相截時(shí)發(fā)現(xiàn)了與“立方倍積”問題中一致的結(jié)果。還有認(rèn)為，古代天文學(xué)家在制作日晷時(shí)發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。日晷是一個(gè)傾斜放置的圓盤，中央垂直于圓盤面

2、立一桿。當(dāng)太陽(yáng)光照在日晷上，桿影的移動(dòng)可以計(jì)時(shí)。而在不同緯度的地方，桿頂尖繪成不同的圓錐曲線。然而，日晷的發(fā)明在古代就已失傳，所以不可詳考。古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時(shí)，得到拋物線；當(dāng)平面再傾斜一些就可以得到雙曲線。阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”，把雙曲線叫做“超曲線”，把拋物線叫做“齊曲線”。事實(shí)上，阿波羅尼在其著作中使用純幾何方法已經(jīng)取得了今天高中數(shù)學(xué)中關(guān)于圓錐曲線的全部性質(zhì)和結(jié)果。1.2 圓錐曲線的發(fā)展一奠基工作在古希臘，有許多數(shù)學(xué)家都研究過圓錐曲線

3、。譬如，老阿里斯泰庫(kù)斯、歐幾里得、阿基米德、厄拉多塞和阿波羅尼等。其中，阿波羅尼的圓錐曲線是最杰出的，它與歐幾里得的幾何原本同被譽(yù)為古希臘幾何登峰造極之作。圓錐曲線8篇，共487個(gè)命題。第 1 篇，圓錐曲線的定義、性質(zhì)；第 2 篇，雙曲線漸近線的作法、性質(zhì)，由此引入共軛雙曲線，圓錐曲線切線的作法；第 3 篇，圓錐曲線與其切線、直徑所成圖形的面積，極點(diǎn)極線的調(diào)和性，焦點(diǎn)的性質(zhì)；第 4 篇，極點(diǎn)極線的其它性質(zhì)，各種位置的圓錐曲線可能有的交點(diǎn)數(shù)；第 5 篇，從特定點(diǎn)到圓錐曲線所能作的最長(zhǎng)線和最短線；第 6 篇，全等圓錐曲線、相似圓錐曲線及圓錐曲線弓形；第 7 篇，有心圓錐曲線兩共軛直徑；第 8 篇，

4、失傳，也許是關(guān)于如何定出有心圓錐曲線的共軛直徑，使其長(zhǎng)度的某些函數(shù)具有給定的值。圓錐曲線現(xiàn)在的版本中，前4卷是從1213世紀(jì)的希臘手稿本復(fù)制的，其后的3卷是從1290年阿拉伯譯本轉(zhuǎn)譯的，第8卷已失傳，現(xiàn)為17世紀(jì)的哈雷根據(jù)帕普斯書中的啟示而搞出來的一個(gè)代替稿。阿波羅尼總結(jié)了前人的成就，提出了自己的創(chuàng)見，在圓錐曲線中，將圓錐曲線的性質(zhì)收集殆盡，以至以致后代學(xué)者在千余年間對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)幾乎沒有插足的余地。以下，我們僅介紹阿波羅尼關(guān)于圓錐曲線的基礎(chǔ)性的工作。在古希臘，阿波羅尼之后，帕普斯對(duì)圓錐曲線也作了重要的工作，即在數(shù)學(xué)匯編證明：與定點(diǎn)及定直線的距離成定比例的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線。這是阿波羅尼的圓

5、錐曲線中所沒有的?？偠灾诠畔ＥD對(duì)圓錐曲線的研究就有一個(gè)十分清楚的輪廓，只是由于沒有坐標(biāo)系統(tǒng)，所以在表達(dá)形式上存在著不容忽視的缺陷。二長(zhǎng)期停滯在阿波羅尼的圓錐曲線問世后的 13個(gè)世紀(jì)里，整個(gè)數(shù)學(xué)界對(duì)圓錐曲線的研究沒有什么進(jìn)展。公元 11 世紀(jì)，中亞數(shù)學(xué)家海雅姆利用圓錐曲線來解三次方程，而對(duì)圓錐曲線本身并沒有深入的研究。三有所突破16世紀(jì)，有兩件事促使人們對(duì)圓錐曲線做進(jìn)一步的研究。一是德國(guó)數(shù)學(xué)家開普勒繼承了哥白尼的日心說，揭示出行星按橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，是圓錐曲線擺脫圓錐而成為自然界中物體運(yùn)動(dòng)的普遍形式。一是意大利物理學(xué)家伽利略得出斜拋運(yùn)動(dòng)的軌道是拋物線，突破了靜態(tài)圓錐曲線的觀念。人們開始感

6、到古希臘人的證明方法太缺乏一般性，幾乎每個(gè)定理都是要想出一個(gè)特殊的證明方法。于是，對(duì)圓錐曲線的處理方法開始有了變化。1579年，蒙蒂采用焦點(diǎn)、定長(zhǎng)的方式，定義了橢圓，改變以往平面截圓錐的定義方式；開普勒關(guān)于幾何圖形連續(xù)變換的思想，為圓錐曲線的統(tǒng)一定義奠定了基礎(chǔ)。四別開生面17世紀(jì)，隨著射影幾何的肇始，本來為畫家提供幫助的投射和截影的方法，與圓錐曲線有著天然的聯(lián)系，也被用來研究圓錐曲線，并得出了一些關(guān)于圓錐曲線的特殊的定理。在這方面，法國(guó)的三位數(shù)學(xué)家笛沙格、帕斯卡和德拉希爾的工作成果，開辟了研究圓錐曲線的別開生面的方向。五分析描述解析幾何的創(chuàng)立，使人們對(duì)圓錐曲線的認(rèn)識(shí)進(jìn)入了一個(gè)現(xiàn)階段。這時(shí)，對(duì)圓

7、錐曲線的研究方法既不同于阿波羅尼，又不同于笛沙格，而是朝著解析方法的方向發(fā)展。即建立坐標(biāo)系，得出圓錐曲線的方程，再利用方程研究圓錐曲線的性質(zhì)，以期擺脫幾何直觀而達(dá)到抽象化的目標(biāo)，也可以求得對(duì)圓錐曲線研究的高度的概括與統(tǒng)一。在這方面，笛卡兒、費(fèi)馬和沃利斯（Wallis，John 1616 1703）分別做出了非常重要的貢獻(xiàn)。六系統(tǒng)總結(jié)18世紀(jì)，牛頓、伯努力和赫爾曼等先后提出不同的坐標(biāo)系，尤其影響深刻的是極坐標(biāo)系，這些工作促進(jìn)了坐標(biāo)系的系統(tǒng)化進(jìn)程。隨著坐標(biāo)系的系統(tǒng)化，關(guān)于圓錐曲線性質(zhì)研究的結(jié)論也逐漸可以系統(tǒng)化起來。在這方面，著名瑞士數(shù)學(xué)家歐拉做出了重要貢獻(xiàn)。歐拉1745年發(fā)表的分析引論，被譽(yù)為解析幾何發(fā)展史上的重要著作。系