高中數(shù)學(xué)解析幾何專題之橢圓(匯總解析版)

1、.圓錐曲線第1講 橢圓【知識要點(diǎn)】1、 橢圓的定義1. 橢圓的第一定義：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)、的距離之和等于定長（）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓，這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距。注1：在橢圓的定義中，必須強(qiáng)調(diào)：到兩個定點(diǎn)的距離之和（記作）大于這兩個定點(diǎn)之間的距離（記作），否則點(diǎn)的軌跡就不是一個橢圓。具體情形如下：（）當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是橢圓；（）當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是線段；（）當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡不存在。注2：若用表示動點(diǎn)，則橢圓軌跡的幾何描述法為（，），即.注3：凡是有關(guān)橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離問題，通?？衫脵E圓的第一定義求解，即隱含條件：千萬不可忘記。2. 橢圓的第二定義：平面內(nèi)到某一定點(diǎn)的距離與它

2、到定直線的距離之比等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。2、 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1） 焦點(diǎn)在軸、中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）；（2） 焦點(diǎn)在軸、中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）.注1：若題目已給出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，那其焦點(diǎn)究竟是在軸還是在軸，主要看長半軸跟誰走。長半軸跟走，橢圓的焦點(diǎn)在軸；長半軸跟走，橢圓的焦點(diǎn)在軸。（1） 注2：求橢圓的方程通常采用待定系數(shù)法。若題目已指明橢圓的焦點(diǎn)的位置，則可設(shè)其方程為（）或（）；若題目未指明橢圓的焦點(diǎn)究竟是在軸上還是軸上，則中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的方程可設(shè)為（，且）. 3、 橢圓的性質(zhì)以標(biāo)準(zhǔn)方程（）為例，其他形式的方程可用同樣的方法得到相關(guān)結(jié)論。（1） 范

3、圍：，；（2） 對稱性：關(guān)于軸、軸軸對稱，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱；（3） 頂點(diǎn)：左右頂點(diǎn)分別為，；上下頂點(diǎn)分別為，；（4） 長軸長為，短軸長為，焦距為；（5） 長半軸、短半軸、半焦距之間的關(guān)系為；（6） 準(zhǔn)線方程：；（7） 焦準(zhǔn)距：；（8） 離心率：且. 越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁；（9） 焦半徑：若為橢圓在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，則由橢圓的第二定義，有，；（10） 通徑長：.注1：橢圓的焦準(zhǔn)距指的是橢圓的焦點(diǎn)到其相應(yīng)準(zhǔn)線的距離。以橢圓的右焦點(diǎn)和右準(zhǔn)線：為例，可求得其焦準(zhǔn)距為.注2：橢圓的焦點(diǎn)弦指的是由過橢圓的某一焦點(diǎn)與該橢圓交于不同兩點(diǎn)的直線所構(gòu)成的弦。橢圓的通徑指的是過橢圓的某一焦點(diǎn)且垂直于其對

4、稱軸的弦。通徑是橢圓的所有焦點(diǎn)弦中最短的弦。設(shè)橢圓的方程為（），過其焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交該雙曲線于、兩點(diǎn)（不妨令點(diǎn)在軸的上方），則，于是該橢圓的通徑長為.4、 關(guān)于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要注意的幾個問題（1）關(guān)于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最基本的兩個問題是：其一，當(dāng)題目已指明曲線的位置特征，并給出了“特征值”（指、的值或它們之間的關(guān)系，由這個關(guān)系結(jié)合，我們可以確定出、的值）時，我們便能迅速準(zhǔn)確地寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；其二，當(dāng)題目已給出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，我們便能準(zhǔn)確地判斷出曲線的位置特征，并能得到、的值。（2） 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)、是橢圓所固有的，與坐標(biāo)系的建立無關(guān)；、三者之間的關(guān)系：必須牢固掌握。（3）

5、 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，實(shí)質(zhì)上是求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的未知參數(shù)、。根據(jù)題目已知條件，我們列出以、為未知參數(shù)的兩個方程，聯(lián)立后便可確定出、的值。特別需要注意的是：若題目中已經(jīng)指明橢圓的焦點(diǎn)在軸或軸上，則以、為未知參數(shù)的方程組只有一個解，即、只有一個值；若題目未指明橢圓的焦點(diǎn)在哪個軸上，則以、為未知參數(shù)的方程組應(yīng)有兩個解，即、應(yīng)有兩個值。（4） 有時為方便解題，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的方程也可設(shè)為，但此時、必須滿足條件：，且. 5、 點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)與橢圓（）的位置關(guān)系有以下三種情形：（）若，則點(diǎn)在橢圓上；（）若，則點(diǎn)在橢圓外；（）若，則點(diǎn)在橢圓內(nèi)；【例題選講】題型1：橢圓定義的應(yīng)用1. 平面內(nèi)存在一

6、動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)、的距離之和為常數(shù)（），則點(diǎn)的軌跡是（）A. 圓 B. 橢圓 C. 線段 D. 橢圓或線段解：由題意知，（）當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是橢圓；（）當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是線段.故點(diǎn)的軌跡是橢圓或線段2. 已知圓：，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的中垂線和直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為_.解：圓：的圓心坐標(biāo)為，半徑連接，由是直線的中垂線知，而，于是點(diǎn)的軌跡是以，為左右焦點(diǎn)的橢圓，其中，又該橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)故點(diǎn)的軌跡方程為3. 已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個動點(diǎn)，線段的垂直平分線交圓的半徑于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓周上運(yùn)動時，點(diǎn)的軌跡方程為_.解：圓：的圓心坐標(biāo)為，半徑連接，由是直線的垂直平分線知，而，于是點(diǎn)的軌跡是以，為左

7、右焦點(diǎn)的橢圓，其中，又該橢圓的中心為的中點(diǎn)故點(diǎn)的軌跡方程為注：本題點(diǎn)的軌跡方程雖是橢圓，但該橢圓不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，而是關(guān)于點(diǎn)對稱，其方程可由把橢圓沿軸向右平移了個單位得到。4. 方程表示的曲線是（）A. 橢圓 B. 雙曲線 C. 拋物線 D. 線段解：由，有這表明，點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線：的距離之比等于常數(shù)（）由橢圓的第二定義知，點(diǎn)的軌跡是橢圓，即方程表示的曲線是橢圓。5. 橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上。若線段的中點(diǎn)在軸上，則是的（）A. 7倍 B. 5倍 C. 4倍 D. 3倍解：在橢圓中，于是又線段的中點(diǎn)在軸上，而是線段的中點(diǎn) 于是（法一）在中，又由橢圓的定義，有聯(lián)立、得，故

8、，即是的7倍。（法二），而故，即是的7倍。6. 設(shè)、為橢圓的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)。已知，是一個直角三角形的三個頂點(diǎn)，且，則=_.解：在橢圓中，于是，（）當(dāng)時，又于是又聯(lián)立、得，于是此時（）當(dāng)時，而聯(lián)立、得，于是此時故的值為2或題型2：求橢圓的方程7. （1）若方程表示橢圓，則的取值范圍是_；（2）若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是_；（3）若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是_.解：（1）方程表示橢圓故當(dāng)時，方程表示橢圓。（2） 方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓故當(dāng)時，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。（3） 方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓故當(dāng)時，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。8. 已知橢圓的焦距為2

9、，則=_.解：由題意知， 于是（）（）當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時，于是由（）式，有（）當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時，于是由（）式，有故的值為3或59. 已知橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的方程為_.解：由題設(shè)條件知，（）當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時，設(shè)其方程為（）則由該橢圓過點(diǎn)，有聯(lián)立、得，于是此時該橢圓的方程為（）當(dāng)該橢圓的焦點(diǎn)在軸上時，設(shè)其方程為（）則由該橢圓過點(diǎn)，有聯(lián)立、得，于是此時該橢圓的方程為故所求橢圓的方程為或10. 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)，則橢圓的方程為_.解：設(shè)所求橢圓的方程為（，且） 則由該橢圓過，兩點(diǎn)，有，解得：故所求橢圓的方程為，

10、即.11. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在軸上，離心率為. 若過的直線交于、兩點(diǎn)，且的周長為16，那么的方程為_.解：由橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)其方程為（） 而，即于是又 于是故橢圓的方程為題型3：橢圓的性質(zhì)12. 橢圓上的點(diǎn)到其一個焦點(diǎn)的距離的最小值為5，最大值為15，則橢圓的方程為_.解：不妨設(shè)所求橢圓的方程為（）設(shè)是該橢圓上任意一點(diǎn)，是其一個焦點(diǎn)令，則又，于是當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時，取得最小值，且；當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)時，取得最大值，且.因而由題意，有 故所求橢圓的方程為注：由本題可見，橢圓的右（左）頂點(diǎn)到右（左）焦點(diǎn)的距離最小，到左（右）焦點(diǎn)的距離

11、最大。以后在遇到相關(guān)問題時，這個結(jié)論可以直接用。13. 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，在軸上的一個焦點(diǎn)與短軸的兩個端點(diǎn)、的連線互相垂直，且這個焦點(diǎn)與較近的長軸的端點(diǎn)的距離為，則這個橢圓的方程為_.解：由該橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)其方程為（）設(shè)是該橢圓的右焦點(diǎn)，則與其較近的長軸的端點(diǎn)為于是有（）又，是該橢圓上的對稱點(diǎn)，是該橢圓的右焦點(diǎn)又為等腰直角三角形，其中于是有，即又，即，代入（），得于是，故所求橢圓的方程為題型4：與橢圓的焦點(diǎn)有關(guān)的三角形問題14. 設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，、是該橢圓的兩個焦點(diǎn)，且，則=_.解：在橢圓中，于是，在中，由余弦定理，有于是故15. 已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)

12、，點(diǎn)在該橢圓上. 若點(diǎn)、是一個直角三角形的三個頂點(diǎn)，則的面積為_.解：在橢圓中，于是，（）當(dāng)以點(diǎn)或?yàn)橹苯琼旤c(diǎn)時，或，而或于是此時總有并且此種情形下，即點(diǎn)在橢圓上，滿足題意。（）當(dāng)以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時，設(shè)則又，于是此時這表明，此種情形下，點(diǎn)在橢圓外，不滿足題意。故的面積為16. 已知、是橢圓在軸上的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，.（1） 求該橢圓離心率的取值范圍；（2） 求證：的面積只與該橢圓的短軸長有關(guān).解（1）：由該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)其方程為（）在中，由余弦定理，有又而，即于是又故該橢圓離心率的取值范圍是證（2）：由（1）知，故的面積只與該橢圓的短軸長有關(guān)題型5：橢圓中的最值問題17. 設(shè)是橢圓的

13、左焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個動點(diǎn)，為定點(diǎn)，則的最小值為_.解：在橢圓中，于是該橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，故18. 若滿足（），則的最大值、最小值分別為_.解：在橢圓（）中，于是該橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，表示橢圓（）上的點(diǎn)與定點(diǎn)之間的連線的斜率令，則直線的方程為，即聯(lián)立，得令則，（舍去）又，這里為橢圓（）的右頂點(diǎn)故，即的最大值為，最小值為19. 在直線：上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)且以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_時，所作的橢圓的長軸最短，此時該橢圓的方程為_.解：在橢圓中，于是該橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，要使過點(diǎn)且以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)所作的橢圓的長軸最短必須使最小設(shè)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)為則由，即，得于是直線的方程為

14、，即顯然，使取得最小值的點(diǎn)即為直線與直線的交點(diǎn)聯(lián)立，得此時，故所求橢圓的方程為20. 若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為_，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為_.解：在橢圓中，于是設(shè)則，并且于是，令，其對稱軸為函數(shù)在上單調(diào)遞增于是將代入方程中，得 故的最大值為6，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為.21. 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在軸上，離心率. 已知點(diǎn)到這個橢圓上一點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，則該橢圓的方程為_，該橢圓上到點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的坐標(biāo)是_.解：由該橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在軸上，可設(shè)其方程為（）， 而，即于是橢圓的方程可化為設(shè)是該橢圓上任意一點(diǎn)則，令，其對稱軸為（）當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減此時，

15、于是 解得：這顯然與矛盾，因此此種情況不存在。（）當(dāng)時，這顯然與矛盾，因此此種情況不存在。（）當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減此時，于是 解得：，滿足題意。由可知，所求橢圓的方程為將代入方程中，得：于是橢圓上到點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)有兩個，分別是，故該橢圓的方程為，并且該橢圓上到點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的坐標(biāo)是或.題型6：橢圓的離心率計算問題22. 若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率為_.解：由，成等差數(shù)列，有又（）（）式兩邊同時除以，得 解得：或（舍去）故該橢圓的離心率23. 已知、是橢圓在軸上的兩個焦點(diǎn)，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若是正三角形，則這個橢

16、圓的離心率是_.解：（法一）設(shè)正三角形的邊長為則，于是， ，故該橢圓的離心率（法二），等式中的表示的外接圓的直徑.故該橢圓的離心率24. 過橢圓（）的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為橢圓右焦點(diǎn)。若，則該橢圓的離心率為_.解：（法一）在中， 又于是故該橢圓的離心率為（法二）在中，而，即解得：或（舍去）故該橢圓的離心率為25. 已知是橢圓的一個焦點(diǎn)，是短軸的一個端點(diǎn)，線段的延長線交于點(diǎn)，且，則的離心率為_.解：（法一）不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則其方程可設(shè)為（）設(shè)，則，于是由，有 又點(diǎn)在橢圓上 于是又故橢圓的離心率為（法二）不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上設(shè)，則作于點(diǎn)則由，有，即又由橢圓的第二定義，有又于是又故

17、橢圓的離心率為26. 在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓（）的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率是_.解：在中，令，則于是，而，又于是又于是又故該橢圓的離心率27. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：（）的左焦點(diǎn)，、分別為的左、右頂點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且軸，過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)若直線經(jīng)過的中點(diǎn)，則的離心率為_.解：由，有由，有于是有故的離心率（法二）直線：，即由，得，所以由，得，所以由，有故的離心率題型7：與橢圓有關(guān)的綜合問題28. 橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，一直線經(jīng)過點(diǎn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，弦被點(diǎn)平分，則直線的方程為_.解：設(shè)，則，得，又的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入得，顯然于是由有，即又直線過其中點(diǎn)故直線的方程

18、為，即29. 已知橢圓：（）的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為_.解：橢圓：（）的右焦點(diǎn)為設(shè)，則 ， -得，又的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入得，顯然于是由有，即又由、得，故橢圓的方程為Py30. 如圖，設(shè)是圓上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)在軸上的投影，為上一點(diǎn)，且.M（1） 當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)的軌跡的方程；ODx（2） 求過點(diǎn)且斜率為的直線被所截線段的長度.解：（1）設(shè)，則由題設(shè)條件知， 而點(diǎn)在圓上故點(diǎn)的軌跡的方程為（2） 過點(diǎn)且斜率為的直線的方程為，即點(diǎn)的軌跡的方程可化為設(shè)直線與的交點(diǎn)為，則直線被所截線段的長度為聯(lián)立，得由韋達(dá)定理，有于是故過點(diǎn)且斜率為的直線被所截線段的長度為31

19、. 已知橢圓，過原點(diǎn)的兩條直線和分別與該橢圓交于點(diǎn)、和、記得到的平行四邊形的面積為（1）設(shè)，用、的坐標(biāo)表示點(diǎn)到直線的距離，并證明；（2）設(shè)與的斜率之積為，求面積的值解：（1）在橢圓，即中，（）當(dāng)直線和的斜率均存在時，直線的方程為，即于是點(diǎn)到直線：的距離又四邊形為平行四邊形故（）當(dāng)直線的斜率不存在（此時即為軸），直線的斜率存在時，此時點(diǎn)中，點(diǎn)到直線的距離（）當(dāng)直線的斜率不存在（此時即為軸），直線的斜率存在時，此時點(diǎn)中，點(diǎn)到直線的距離故點(diǎn)到直線的距離，平行四邊形的面積.（2） 由直線與的斜率之積為可知，直線、的斜率均存在，且均不為零不妨設(shè)直線的斜率為則直線的方程為，并且直線的斜率為于是直線的方程為

20、聯(lián)立得 解得：聯(lián)立得 解得：又由（1）知故32. 已知橢圓：（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的距離為（1）求橢圓的離心率；（2）如圖，是圓：的一條直徑，若橢圓經(jīng)過、兩點(diǎn)，求橢圓的方程解：（1）設(shè)則設(shè)，則故橢圓的離心率（2） 圓：的圓心為，半徑由（1）知，于是橢圓：的方程可化為，即設(shè)直線的斜率為則直線的方程為，即設(shè)，聯(lián)立得由韋達(dá)定理有又為的中點(diǎn)又故橢圓的方程為33. 已知點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)到直線：的距離為，到點(diǎn)的距離為，且. 直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、（、都在軸上方），且.（1） 求橢圓的方程；（2） 當(dāng)點(diǎn)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時，求直線的方程；（3） 對于動直線，是否存在一個定點(diǎn)，無論如何變化，直線總經(jīng)過此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：（1）設(shè)，則，于是由，有化簡整理，得：故橢圓的方程為（2） 橢圓的方程可化為聯(lián)立，得 而又 而、都在軸上方 于是直線的方程為，即聯(lián)立，得 解得：或（舍去）故直線的方程為，即（3） ，且、都在軸上方，并且直線的斜率存在設(shè)，則由，有（）設(shè)直線的方程為聯(lián)立，得由韋達(dá)定理，有于是由（）式，有而于是直線的方程可化為這表明，直線總經(jīng)過定點(diǎn)故對于動直線，總存在一個定點(diǎn)，無論如何變化，直線總經(jīng)過此定點(diǎn).34. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（）為動點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)已知為等腰三角形（1）求該橢圓