等腰或直角三角形為背景的計(jì)算與證明

1、中考變形2答圖專(zhuān)題提升(十)以等腰或直角三角形為背景的計(jì)算與 證明類(lèi)型之一以等腰三角形為背景的計(jì)算與證明【經(jīng)典母題】把一張頂角為36的等腰三角形紙片剪兩刀，分成三張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形你能辦到嗎？請(qǐng)畫(huà)示意圖說(shuō)明剪法.解：如答圖，作/ABC的平分線，交AC于點(diǎn)D.在BA上截取BE=BD，連結(jié)ED，則沿虛線BD，DE剪兩刀，分成的3個(gè)三角形 都是等腰三角形.【思想方法】 等腰三角形的性質(zhì)常與角平分線、線段的垂直平分線結(jié)合在一起證明線段相等，或者與三角形內(nèi)角和定理結(jié)合在 經(jīng)典母題答圖 一起求角度，或者通過(guò)列方程或方程組解決等腰三角形中關(guān)于邊長(zhǎng)的計(jì)算.【中考變形】2017湖南已知 ABC

2、的三邊長(zhǎng)分別為4, 4, 6,在厶ABC所在平面內(nèi)畫(huà)一 條直線，將 ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫(huà)A. 3條B.4條C.5條【解析】 女口答圖，當(dāng)AC= CD，AB= BG，AF = CF，AE= BE時(shí)，都能得到符合題意的等腰三角形.2.2016杭州已知直角三角形紙片的兩條直角邊長(zhǎng)分別為m和n(mv n)，過(guò)銳角頂點(diǎn)把該紙片剪成兩個(gè)三角 形，若這兩個(gè)三角形都為等腰三角形，則(C2222A . m + 2mn+n = 0B.m 2mn+n = 02222C. m + 2mnn = 0D.m 2mnn = 0【解析】 如答圖，根據(jù)題意，得m2 + m2=

3、(n m)2,2m2= n22mn+ m2, m2 + 2mnn2= 0.2017紹興已知 ABC，AB=AC，D為直線BC上一點(diǎn)，E為直線AC上一點(diǎn)，AD = AE，設(shè)/ BAD = a.如圖Z10 1,若點(diǎn)D在線段BC上，點(diǎn)E在線段AC上. 如果/ ABC = 60,/ ADE = 70，那么 a= _20_,_10. 求a, B之間的關(guān)系式；(2)是否存在不同于以上中的a, B之間的關(guān)系式？若存在，求出這個(gè)關(guān)系式(求出一個(gè)即可)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖 Z10 1解：（1） AB= AC, / B = 60,A / BAC= 60, AD = AE,/ ADE= 70,二/ DAE =

4、 180 2/ADE = 40, a=/BAD = 60 40 = 20,/ ADC= / BAD+/ B = 60+ 20 = 80,B=/CDE = /ADC /ADE= 10 .設(shè)/B = x,/ ADE = y,./C= x,/ AED = y, 在厶 DEC 中，y= B+ 乂，在厶ABD 中，a + x= y+ B= B+ x+ B, 二 a = 2 BI .當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如答圖，設(shè)/B = x, /ADE = y,./ C = x,/ E = y,在厶ABD 中，x+ a= B y,在厶DEC 中，x+ y+180, a = 2B- 180 .中考變

5、形3答圖中考變形3答圖n .當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如答圖 ，同的 方法可得 a 180 2B【中考預(yù)測(cè)】2016菏澤如圖Z10 2,AACB和厶DCE均為等腰三角形，點(diǎn) A, D, E在 同一直線上，連結(jié)BE.(1) 如圖，若/ CAB=Z CBA=Z CDE=Z CED= 50， 求證：AD a BE. 求/ AEB的度數(shù)；(2) 如圖，若/ACB=Z DCE = 120，CM DCE 中 DE 邊上的高線，BNABE中AE邊上的高線，求證：AE= 2 3CM + 2BN.解：（1）證明：/ CABa Z CBA=Z CDE =Z CED = 50/ ACB=Z D

6、CE= 180 2X 50= 80 .vZ ACB=Z ACD+ Z DCB，Z DCE =Z DCB + Z BCE，Z ACD= Z BCE. ACB和 DCE均為等腰三角形， AC= BC，DC = EC.AC= BC，在厶 ACD 和厶 BCE 中， Z ACD= Z BCE，DC = EC， ACDA BCE（SAS，： AD = BE;ACDBCE,：Z ADC= Z BEC.v點(diǎn)A，D，E在同一直線上，且 Z CDE = 50， Z ADC= 180Z CDE = 130,：Z BEC= 130, Z AEB= Z BECZ CED= 130 50= 80;證明：ACB和厶DCE

7、均為等腰三角形，且 / ACB=/ DCE= 120 1/CDM = /CEM = 2X (180 120 ) = 30 .v CM 丄 DE,aZ CMD = 90, DM = EM.在 RtACMD 中，/ CDM = 30,vZ ACB=Z DCE= 120,/ ACB Z DCB= Z DCE Z DCB，即 Z ACD= Z BCE, 又 vAC= BC, CD= CE,.ACDBCE(SAS),Z ADC= Z BEC, AD= BE.vZ BEC=Z ADC= 180 30= 150,Z BEC= Z CEM + Z AEB, Z AEB= Z BECZ CEM = 150 30

8、= 120, Z BEN= 180 120= 60 .在 RtABNE 中，Z N = 90,Z BEN = 60,vAD = BE, AE = AD + DE, AE= DE + BE = 2 3CM + BN.類(lèi)型之二以直角三角形為背景的計(jì)算與證明【經(jīng)典母題】已知：如圖Z10 3,在厶ABC中，AD丄BC于點(diǎn)D , E為AC上一點(diǎn)，且BF =AC, DF = DC.求證：BE丄AC.證明：v AD 丄 BC,.Z ADC =Z BDF = 90,A又 v BF= AC, DF = DC,7 Rt BDF也RtAADC(HL),.Z DBF = Z DAC,R DcvZ BFD =Z AFE

9、, Z AEF= Z BDF = 90,即卩 BE丄AC.圖 Z10 3【思想方法】 直角三角形角之間的聯(lián)系在幾何計(jì)算與證明中應(yīng)用廣泛，常與三角形全等知識(shí)結(jié)合使用.【中考變形】結(jié)AA,若/ 1= 20,則/ B的度數(shù)是A. 70B. 65C. 60D. 55【解析】1. 如圖Z10 4,將Rt ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得到 ABC,連(B )圖 Z10 4 RtA ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到 A B C,a AC = A C，二 ACA 是等腰直角三角形，二/ CAA = 45/A B C = Z 1 + Z CAA = 20 + 45 = 65,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得 / B

10、=/ A B C= 65A2. 2016 濟(jì)寧如圖 Z10 5,在厶 ABC 中，AD 丄BC, CE丄AB, 垂足分別為D, E, AD, CE交于點(diǎn)H，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)條 件_AE = CE（答案不唯一）_,使厶AEH CEB.【解析】 該題為開(kāi)放型題，根據(jù)垂直關(guān)系，可以找出 AEH與厶CEB的兩對(duì)相等的對(duì)應(yīng)角，只需要找它們的一對(duì)對(duì)應(yīng)邊圖 Z10 5 相等就可以了. AD丄BC, CE丄AB,垂足分別為 D, E,Z BEC=Z AEC= Z ADB= 90,在 RtAAEH 中，Z EAH = 90 ZAHE,在 RtAABD 中，Z EAH = 90 Z B, Z B= Z AHE.根

11、據(jù) AAS添力卩AH = CB或 AE= CE，根據(jù) ASA添力卩EH = EB，可證 AEH CEB.故填空答案：AH = CB或EH= EB或AE = CE（答案不唯一）.圖 Z10 63. 如圖 Z10 6,在厶 ABC 中，AB= CB,Z ABC= 90, D 為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn) E在BC邊上，且BE= BD，連結(jié)AE,DE, DC.(1) 求證： ABEA CBD;若/CAE= 30，求/ BDC的度數(shù).解：(1)證明：vZ ABC= 90,/DBE= 180- ZABC= 180 90 = 90,Z ABE= Z CBD.在ABE 和CBD 中,Z ABE= Z CBD,BE

12、= BD, ABEA CBD(SAS；(2) v AB= CB,Z ABC = 90, ABC是等腰直角三角形，/ ECA= 45vZ CAE= 30,Z BEA=Z ECA+Z CAE, Z BEA= 45+ 30 = 75.由(1)知 Z BDC =Z BEA,：Z BDC = 75 .4. 如圖Z10 7, ACB與厶ECD都是等腰直角三角形，Z ACB=Z ECD = 90 D為AB邊上的一點(diǎn).(1)求證： ACEA BCD;若DE = 13, BD = 12,求線段AB的長(zhǎng).解：(1)證明： ACB與厶ECD都是等腰直角三角形, CE= CD, AC= BC,Z ACB=Z ECD=

13、 90, Z ACE=Z BCD= 90o Z ACD,CE= CD,在厶 ACE 和厶 BCD 中， Z ACE= Z BCD,AC= BC. ACEA BCD(SAS；ACEA BCD, AE= BD = 12,/ EAC=Z B = 45,/ EAD=Z EAC+ / CAD = 45+ 45= 90, 在 RtAEAD 中，/ EAD = 90, DE = 13, AE= 12,由勾股定理，得 AD= DE2-AE2= 5,i AB= BD + AD = 12 + 5 = 17.5. 2017 重慶 B 卷如圖 Z10-8,AABC 中，/ ACB= 90, AC= BC,點(diǎn) E 是A

14、C上一點(diǎn)，連結(jié)BE.(1)如圖，若AB = 4.2, BE = 5,求AE的長(zhǎng)；CD,(2)如圖，點(diǎn)D是線段BE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF丄BD于點(diǎn)F，連結(jié)圖 Z10-8【解析】(1)根據(jù)勾股定理先求得AC= BC = 4,再利用勾股定理求CE的長(zhǎng)即可;過(guò)C點(diǎn)作CM丄CF交BD于點(diǎn)M，構(gòu)造 BCM ACF得FC = MC,即 FCM為等腰直角三角形，i/ AFC=/ DFC = 135,再證 DCFACF即可.解: (1)v/ ACB= 90, AC= BC,.i/ BAC= / ABC = 45 v AB = 4 2,i BC = AC = 42X = 4.M.中考變形5答圖在 RtABCE

15、 中，CE= BE2-BC2= 52-42= 3,證明：如答圖，過(guò) C點(diǎn)作CM丄CF交BD于點(diǎn)AE = AC - CE = 4 3= 1;v/ ACB=/ FCM = 90,i/ ACF =/BCM ,ACB=Z AFE = 90,/ BEC=/AEF,/ FAC=Z MBC，在 ACF 和厶 BCM 中，-/ ACF =/ BCM ,AC= BC, ACF BCM(ASA),/ FAC= / MBC , FC = MC,/ MFC = / FMC = 45,/DFC = 180 45 = 135, / AFC = 90+ 45 = 135,/ DFC = / AFC.在厶ACF 和厶 DCF

16、 中，AF = DF ,/ AFC =/DFC , ACF DCF(ASA),CF = CF,二 AC= DC.： AC= BC, DC = BC.【中考預(yù)測(cè)】女口圖 Z10 9, AB = AC, AE = AF, / BAC=/ EAF = 90, BE, CF 交于 M ,連結(jié)AM.求證：BE= CF;(2) 求證：BE丄CF;(3) 求/AMC的度數(shù).圖Z10 9中考預(yù)測(cè)答圖解：(1)證明：BAC= / EAF= 90,BAC+ / CAE= / FAE+ / CAE,/ BAE= / CAF，在 CAF 和厶 BAE 中，pAC = AB, / CAF =/BAE, CAFN BAE(SAS,AF = AE, BE = CF;證明：設(shè)AC與BE交點(diǎn)為O,如答圖， CAFA BAE,AZ ABE=/ ACF,vZ BAC= 90,aZ ABO+/ BOA= 90,vZ BOA=Z COM ,/ COM + Z ACF = 90,Z CMO = 180 90 =