空間向量在立體幾何中的應用2

1、9(20)圖 IPAR撒 AD 丄 4,5.（重慶文）（20）（本小題滿分12分，（I）小問5分，（H）小問7分.）如題（20 ）圖，四棱錐P 一 ABCD中，底面ABCD為矩形，PA _底面A BCD,PA = AB = .2，點E是棱PB的中點.（I）證明：AE _平面PBC ；（n）若AD =1，求二面角B 一 EC - D的平面角的余弦值解法一：（1）證明価眷（20）圖由刊丄屁廊肪仞.得PA丄A出又 刃二AB敲BPAR為等腰黑捻三侑形麗點送繪援朋的 屮1 PB _他収加蹇處生面佃3內(nèi)的射羽.由三 垂線宦那得8C丄尸比從而陋丄甲面旳叭故HC 1朋. 曲M丄PEM 1 ftC.AE 平面吸

2、.（U）解川1（ 1知必丄平間又，仞”占匚祁兒衛(wèi)丄平血桎 IUAFM 中沖二砧二戲.佔tpn = i /P/l3 + AB1 = t從而在用ACM出中 =皿f *血乞娛知饑申*（?E = +密*吃 又CD =妊所說為：尊邊三角形 液飾的屮點幾連接則M丄防：”MBE = BC = 且眈丄BE.K AJSC為第R丸冊三角瓶連接.則BF L g 所旦WD為所求的二面角的半面油,妙呵中3心伽：二豊M冷餉弋沖二應同=曲D尸+葉-妙2 * BF 麗放二面角H - EC-D的平而角的余弦說為-冬觀法二：（。證獨如答卩）腳2衛(wèi)點為坐標原就射線也腫分禹偽詢心眥曲疋半軸冶立空間寛対坐標癢* -野7,設(shè) D（Ora

3、tO）t JM拭衣,0） C（念“），尸（0停.0 野于堆亦* （華均.at （0用.0）.劉盤*就祛-w隊所以肚丄平仙PBC.（II）解：設(shè)平面/? M：Gf 也平右國：J.電- tF LI 叭Qifl辭/;匸f tri卜c學旣畀力段聽以 M /; f dtt AOE.(R;帕安f訂四1LH門何冷中戰(zhàn)川劃 M = CD = 2uD 佢=*：R *違tx.H ” W “ Wft A/W/A 中町卅 I A z/3飛：叫 預A ”卜収胖劃wj;.叮陽 4rr-Fi mm 和 11 ceK“懾的申心Mil箔儷卅代n 以 ml * w罠曲HE會t v F 仁 刪 VF 1 itl jTM.7j .

4、f. f I； j*i 絃 *; f if 喲成加IfF Hi 匕 | if V 11.5 F 曲卩 WiV 牛睛* FM = i-| -if i i伸FM吁f |* 4講FI：成ft的余菲侑為V-7. （重慶理）（19）（本小題滿分12分，（I ）小問5分，（II ）小問7分）如題（19）圖，四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD為矩形,PA丄底面 ABCD PA=AbJ6，點 E是棱PB的中點。（I ）求直線AD與平面PBC的距離；（II ）若AD=. 3，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。(I )如答(19)圖1,在矩形4BCD中，初 BC,從而初平 面PBC,故直線AD與平面PBC

5、的距離為點A到平面PBC 的距離.因P4丄底面ABCD，故PA LAB,由P4 = AB知為 等腰宜角三角形，又點E是棱PB的中點，故4E丄PB.又 在矩形ABCD中,BC丄48,而AB是PB在底面ABCD內(nèi)的 射影，由三垂線定理得BC丄PB,從而BC丄平面P4B,故 BC丄AE.從而AE丄平面PBC,故AE之長即為頁線仙與 平面PBC的距離.在 RtAP4 B 中沖 =AB =屆，所以 AE = PB = -+ A 衣=屁(fl)過點D作”丄CE,交CE于F,過點F作FG丄CE,交AC于G,則乙DFG為所求的 面角的平面角由(I )知BC丄平面PAB,又AD / BC,得仞丄平面PAB,故仞

6、丄AE,從 DE = VAE2 + AD2 =広.答（19）圖2在RtZXCBE中，CE= VBE2 + BC1 = 由CD二用，所以 COE為等邊三角形，故F 為CE的中點，且DF = CDsin寺二攀.因為AE丄平面PBC,故4E丄CE,又FG丄CE,知FGJL從而FG =亭，且G點為4C的中點連接DG,則在RtADC中,DG =斗+ CD2 =斗所以cos DFCOF2 + FC2 DG22 DF FG 解法二:（1 ）如答（19）圖2,以4為坐標原點，射線AB、AD、AP分 別為x軸j軸二軸正半軸，建立空間直角坐標系A(chǔ) -xyz 設(shè) D(0,a,0)，則 5(,0,0) , C(冷,a

7、,0),P(0,0,Q, E(鳥0,弓)因此跌=(y,0,y)= (0,a,0),則狂就=0,袪P? = 0,所以4E丄平面P3C.又由AD/BCAD 平面PBC,故直線AD與平面PBC的距離為點A到平面PBC的距離，即為|袪1=0（U ）因為|初卜療,則D（0,A,0） ,C（屁$0）設(shè)平面血C的法向量心=（X.則葩=0,n, 壯=0.（辰+禺=0,又祀紅曲邛）應珂紳聞，故|軸+務譏所以y1 -屁.-宓可取曲=血,則叫=(-匹佢、.設(shè)屮面DEE的法向量嶺工(辛仍陽人則斥= 0,n2 徒=0*又宛=(#,oto)TZS 僚屈知，故所以Xj = 0, Zj =島d可取力=I 則n2二(0 J *

8、近).JLJL旳 * -丹 2-/6所以二面角A - EC-D的平面角的余弦值為普8. (北京文)(18)(本小題共14分)a 3設(shè)定函數(shù)f (x) x33bx2 cx d( 0)，且方程f(x)-9x=0的兩個根分別為1,4。(I)當a=3且曲線y = f(x)過原點時，求f(x)的解析式;(H)若f (x)在(-：，=：)無極值點，求a的取值范圍。a 322解：由 f (x) x bx cx d 得 f (x)二 ax 2bx c3丄 ”2a + 2b + c_9 = 0因為f (x) -9x二ax - 2bx 0,所以“ f (x)x3 bx2 cx d在(-汽 +)內(nèi)無極值點”等價于3

9、2f (x) =ax - 2bx c _0在(-汽 +)內(nèi)恒成立”。由(*)式得 2b = 9 - 5a, c = 4a。又厶=(2b)2 -4ac=9(a-1)(a -9)解a 0得a三1,9 Ig=9(a-1)(a-9)M0即a的取值范圍1,9 19. (北京理)(16)(本小題共14分)如圖，正方形 ABC刖四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CELAC,EF/ AC,AB= 2 , CE=EF=1.(I)求證：AF/平面BDE(H)求證：CFL平面BDE(川)求二面角 A-BE-D的大小。證明：(I ) 設(shè)AC與BD交與點G。1因為 EF/AG，且 EF=1, AGAC=1.2所以四邊形

10、AGEF為平行四邊形.所以AF/平面EG因為EG U平面BDE AFE平面BDE所以AF/平面BDE.(II )因為正方形 ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且 CE_AC,所以CE平面 ABCD.如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系C-xyz.則 C( 0, 0,所以CF =(所以 ClB =0-1 i =，汗淀二一1 o 1 = o所以 CF _ BE , CF _ DE 所以 CF _ BDE.(III) 由(II )知，CF =遼1）是平面BDE的一個法向量.2設(shè)平面ABE的法向量n二（x, y,z）,則=0,=0.即! (x,y,z)L(、2,0,0)=0(x,y,z)L(

11、0,r2l)P所以 x =0,且 z 二、. 2y,令 y =1,則 z =2 .所以n =(0,1八2).從而cos n,CF丄n層品|n|CF云因為二面角A-BE-D為銳角,所以二面角A - BE - D的大小為一610. （廣東文）18.（本小題滿分14分）如圖4,弧AEC是半徑為a的半圓，AC為直 徑，點E為弧AC的中點，點B和點C為線段 AD的三等分點，平面AEC外一點F滿足FC_平面 BED,FB=5a（1）證明：EB_FD（2）求點B到平面FED的距離.F（1 ）證明：點E為弧AC的中點EP BE 丄 AC又v FC -平面BED, BE已二面BED又vFC ACe平面 FBD,

12、 FCnAC=C二BE_平面 FBDtFDe平面 FBDww-EJFD=2a 2 ）解：FC = BF2-BC2 = 4sriebd = BE、BD - ala在 RrFBE 中，F(xiàn)E = JBE】 + BF】=辰由于：FD= ED =J21所以 se=fe H由等體積法可知:7也ed * FC = - S DEflE與B不重合），m 2逵圧i迺21即點B到平面FED的世禹為字2111. （福建文）20.（本小題滿分12分）如圖，在長方體 ABCD- AiBQD中，E, H分別是棱 AB,DQ上的點（點且EH/AQ。過EH的平面與棱 BB,CCi相交，交點分別為 F, G（I ）證明：AD/平

13、面EFGH（II ）設(shè)AB=2AA=2a。在長方體 ABCD-ABGD內(nèi)隨機選取一點，記該點取自于幾何體 AABFE- DDCGH內(nèi)的概率為p。當點E, F分別在棱AB,7沁沖邑時等*irb4和畑 Vv /. EB - B-F EB 一場F當且儀弋EB、= B、F = a時壽號成丸所虬p的最小值籌F-B B上運動且滿足 EF=a時，求p的最小值。K j I- -ABCD AB；C：D| Ij 1 V=AB A3 - AA.2扎m EBiF HOC 的件可P； =BXF) 5tCL = EB- B.F-EB-十坷尸二八20.木小世L啞 叮汀找*蛙星與平血的位置關(guān)系 以殘兒MMH 槪型等基越知識，

14、占奩顰仙響彖能Zh推理絵證能力、運聲求解陡力考査晦數(shù)弓廳觀思想 數(shù)形塔舍思此化E轉(zhuǎn)化思想.嗟然與或然思想謫分12企I)ijEW： fl ABCD AjBiCiDi |L AD A；D；. A .AD EH/ AD Z Tff EFGH.EHc l -J EFGH A AD T n EFGHE 512. （湖南理）18.（本小題満分2分八如圖5所示.在正方廊ABCD-A迅:CD中E是棱DD189申點（【）求直線BE與平麗ABB：A：所成的角的正弦值；（11 ）?1S C；D：是否存在一點F便B：F平面A：BE?【解新】 解法1設(shè)正方體的梭長為b如圖所示.以五曲應為雖位正交基底建立空間直甬坐 標系

15、.+(【)依題款 # B (h Oi Oh E 1i 1 ) A (0 0, Oh D b Ok 耐*j = (-lIl1i)rJD = (01lr0)f 在正方障 ABCD&BQD；中.因溝 AD丄平面”所以.AD是平而ABB： A：的一個法佝童設(shè)BE與平而ABB】A】所成的角溝0則“ a BE.AD 12sin&=_=-= =一卩2x1 3 2即BE與平而ABB】人所成的角的正弦值為：2(1【)依題鼠 得 A】(0, 0. 1), 54 = (-lf0fl)t5 = (-ltltl).o2設(shè)u=(x.”z)是平 A：BE得一 法向豊 則由d*5E = O得-所以x = z,yz，取z =

16、2,得n= (2,1,2)*設(shè)F是棱C】D上飽點則F(U,l) (OWiWl),又Bt (b 0. 1)所以2瓦7 = (r-U0).而耳F(z平面A】BE,于是“BJ7 平面A】BE 0旺=00(10X2丄2)=0o2(1)+1 = 0 oefo F為GD的中點。這說明在在棱C】D】上是否存在一點F ( GD的中點)，使BiF 平面 A：BEySS 2如圖 所示，取AA：的中點連緒Eh Bit因肯E罡DD1的中鬲 四邊 形ADD吐為正方形，所以EM AD屮又在正右體ABCD-.*B】C；D；中.AD丄平面ABB；打HKi! EXLLaBBiAp從而為 EH BE在平面ABB；&上餉射場 ZE

17、BXi亶茲BE與平麗ABB： A；St成的第設(shè)正方體的棱長再2,則ELAD=t 5=7?+?+7=3.于是.在 RTABEM 中，sin=二二 $BE 3即直蛭BE與平面AB&A：所成的角的正張值乩3(II瘡棱C；0上存在點FS6B；F平面A】BEa事浜上如圖 所示，分別取CD和CD的中點FG 連結(jié)EG. BG, CD“ Fd因A：D： B：C】BC-且A：D產(chǎn)BC所以四邊形A：BCD：為平行四辺孰Elit D.C A,B.又+EG分別為D;D, CDffi中點，所以EG DG就而EG A:B.這說朗A：BG E共面,所以BGU平面A.BE迦&C；CDD與B BCC；皆為正右形,F,G分別為C

18、；D和CD的中鬲所以FG C；C B；B,且FG=C.C=B：B,因此四邊形B；BGF為平行四邊形，所以B；F BG,而B：FH乎面&BE, BGC平麗AiBE,故B：F平面Ai*E屛圖圖e”AB【甜題意圖】本題考查直娃與平而所成的甫，査線與乎而平行，考察君生探究能力、空間S 彖能力.13. (江蘇卷)16、(本小題滿分14分)如圖，在四棱錐 P-ABCD中，PD丄平面 ABCD PD=DC=BC=1 AB=2, AB/ DC, / BCD=90。(1)求證：PC丄BC;求點A到平面PBC的距離。解析本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查幾 何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力。滿分 分。(1)證明：因為 PDL平面ABCD B巧平面ABCD所以PD丄BG 由/ BCD=90,得 CDL BC,又P圳 DC=D PD DU 平面PCD所以BC丄平面PCD因為PX平面PCD故PCL BG（2）（方法一）分別取 AB PC的中點E、F,連DE、DF,則： 易證DE/ CB DE/平面PBC點D E到平面PBC的距離相等。 又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。 由（1）知：BC丄平面PCD所以平面 PBCL平面PCD于 PC, 因為PD=DC PF=FC 所以 DF丄PC,所以DF丄平面 PBC于 F。 易知df=