解析幾何中的定點(diǎn)問題

1、解析幾何中的定點(diǎn)問題解析幾何中的定點(diǎn)問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是解析幾何問題中的一個(gè)難點(diǎn)， 在求解過程中往往伴隨復(fù)雜的運(yùn)算。提高解決此類問題的效率，對學(xué)生思維的深度，做題的專注 度，以及基本運(yùn)算能力的培養(yǎng)， 都有非常積極的意義。解析幾何中的定點(diǎn)問題的求解，實(shí)質(zhì)就是等式恒成立問題的求解。一.直線中的定點(diǎn)問題例1.已知a三R，直線I : (a -1)x - 2ay 3 = 0，求直線I經(jīng)過的定點(diǎn)的坐標(biāo)解：由 a(x 2y)亠 i 3-x 嚴(yán)0 , -a R知，x 2y = 0 彳y，解得:3-x =03所以直線I經(jīng)過定點(diǎn)(3,-3)2變式：已知實(shí)數(shù) a, b, c滿足b c = 2a，直線I :

2、 ax by 0，過點(diǎn)P 2,3作直線I的垂線，垂足為 M , O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求線段 OM的最大值解：因?yàn)?b c = 2a, ax by c = 0所以 ax (2a -c) y c = 0 ,即 a (x 2y) c(-y 1) =0, -a,c Rx +2y =02 2x y-2i； =5 上,y+1 =0所以直線I經(jīng)過定點(diǎn)Q -2,1，點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓由幾何性質(zhì)知 OM的最大值為25.圓中的定點(diǎn)問題PF交y軸于點(diǎn)Q，試問例2.已知F(1,0)橢圓G的右焦點(diǎn)且F為雙曲線C2的右頂點(diǎn)，橢圓 G與雙曲線C2的一個(gè) 交點(diǎn)是M (出3,丄3) 若點(diǎn)P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，直線33以線段PQ

3、為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)？證明你的結(jié)論.2122 2x2解：由題意設(shè)橢圓g的方程是 篤+每=1,雙曲線C2的方程是ab1則 2a|MF|MF+p3 = 2 ,2 a - 0)上，動(dòng)點(diǎn)A, B m且MA MB = 0 .求證：弦 AB必過一定點(diǎn).解:設(shè)AB所在直線方程為：x二my n .x = my + n與拋物線聯(lián)立方程2，消去X得y = 2 px設(shè) A(Xi, yi), B(X2, y2)則 y2 = 2 pm由已知 MA MBrO 得,KMAKMB =-1.即 yi yy2 yoXi - XoX2 - Xo式可化為2p 2p = -1,yi + yo y2 + yo22即4pyiy2 yo(

4、yi y2) yo .將代入得，n = 2p myo - Xo.直線 AB 方程化為：x = my 2p Xo myo = m(y yo) Xo 2p .直線AB恒過點(diǎn)(xo - 2p,-yo).PA, PB，其中A, B為切點(diǎn),變式2：過直線x = -2的動(dòng)點(diǎn)P作拋物線y2 =4x的兩條切線 求證：直線AB恒過定點(diǎn)證明：設(shè)所以直線2 2A (ti ,2ti),B (t2 ,2t2)Txti2),t2iAB 方程：y 2ti亠x建,ti t2ti - t2由于A,B為切點(diǎn)，當(dāng)y o時(shí),y = 2&x, y =Vx11所以ki, k2tit2又 k =迤2m-得 ti2 - mti _ 2 = oti +2 ti2同理：t2 -mt22 = o所以ti,t2是方程t2 -mt