交并集思想在實際中的應(yīng)用分層思想在實際中的應(yīng)用

1、交、并集思想在實際中的應(yīng)用分層思想在實際中的應(yīng)用交、并集是集合的運算。 準確把握交、 并集思想；恰當運用交、 并集的運算方法是培養(yǎng)從日常生活中的問題抽取到用數(shù)學(xué)符號表示 的抽象、歸納的思維能力， 也是培養(yǎng)從感性到理性的認識能力。以下 就交、并集思想在實際中的應(yīng)用作些探討。準確理解交、并集的定義從而直接解題例 1 已知集合，求，。分析：利用數(shù)形結(jié)合的思想，將滿足條件的集合在數(shù)軸上一一 表示出來，從而求集合的交集與并集。解 利用數(shù)軸工具，畫出集合 A、B 的示意圖（圖 1），即可以 得到，。例2 06江蘇高考設(shè)A B、C為三個集合，。則一定有：（A）（ B）（ C）（ D）解 根據(jù)交、并集的定義與

2、 Venn 圖，選擇 A.評 這種利用數(shù)軸或 Venn 圖等數(shù)形結(jié)合的方式， 既簡單又直觀， 是解決這類問題的基本方法。利用交、并集的性質(zhì)確定參數(shù)的取值或取值范圍例 3 設(shè)，函數(shù)，求使：1） AA B=B的實數(shù)a的取值范圍；2）使AU B=B的實數(shù)a的值分析：交、并集性質(zhì)：1）若AA B=B貝卩；2）若AU B二B,貝卩。解1 ）由，得。T A二0,-4，故：當時，解得；當B=0或B=-4時，解得，此時B=0，滿足；當B=0,-4時，解得。 綜上所述，實數(shù) a 的取值范圍是或 。2 ）由 AU B=B 得。T A二0,-4，故 B二0,-4,即，解得。評 利用交、并集的性質(zhì)，把交、并集的運算轉(zhuǎn)

3、化為集合與集合之間的子集關(guān)系的運算。利用交、并集的思想解決實際生活中的問題例 4 高一（ 1）班學(xué)生期終考試成績表明： 1）36 人數(shù)學(xué)成績不 低于 80分； 2）20人物理成績不低于 80 分； 3）15 人的人數(shù)學(xué)、物 理成績不低于 80 分。問：有多少人這兩科成績至少有一科不低于 80 分？分析 利用Venn圖表示數(shù)學(xué)、物理不低于80分的人數(shù)的直觀圖， 實質(zhì)上是求的元素的個數(shù)，從而利用方程的思想解出題中的問題。解 設(shè)數(shù)學(xué)、物理不低于80分的人數(shù)的集合分別是 A B,并用 2個圓分別表示，如圖 2所示，則重疊的部分表示同時不低于 80分 的人數(shù)的集合。則 A有36個元素，B有20個元素，有

4、15個元素， 由定義知，的元素有 3部分：1）屬于A但不屬于B的元素有（36-15）個；2）屬于B但不屬于A的元素有（20-15）個；3）屬于A, B的公共元素有15個，故的 有（36-15） +（20-15） +15=41個元素。評 先轉(zhuǎn)化為集合語言，再用 Venn圖的直觀性是解決實際問題中交、并集有關(guān)知識的重要手段。交、并集性質(zhì)的拓寬應(yīng)用例 5 某班共有學(xué)生 50 名，其中參加數(shù)學(xué)課外小組的學(xué)生有 22 名，參加物理課外小組的學(xué)生有 18 名，他們中同時參加數(shù)學(xué)、物理 課外小組的學(xué)生有 13 人。問至少參加數(shù)學(xué)與物理兩個課外小組中一 個的學(xué)生有多少名？數(shù)學(xué)和物理兩個課外小組都不參加的學(xué)生有

5、多 少名？分析用card(P)表示P中元素的個數(shù)，則有：card(A UB) 二card(A)+card(B)-card(An B): card(CSAQCSB)二card(S)-card(A)-card(B)+card(An B):card(A U BUC) =card(A)+ card(B)+card(C)-card(An B)-card(B n C)-card(A nC)+card(A n Bn C)。解 設(shè)全集U=該班學(xué)生 ,A=該班參加數(shù)學(xué)課外小組的學(xué)生, B=該班參加物理課外小組的學(xué)生。U, A, B集合中的元素個數(shù)分別 為 card(U),card(A), card(B), 則有 card(U)=50，card(A)=22 , card(B)=18 , card(A n B)=13,至少參加數(shù)學(xué)與物理兩個課外小組中 一個的學(xué)生的人數(shù) card(AUB)=card(A)+card(B)-card(A n B)=22+18-13=27。數(shù)學(xué)和物理兩個課外小組都不參加的學(xué)生有： card(U)-card(A U B)=50-27=23。評 掌