第七章-時(shí)變電磁場(chǎng)ppt課件

1、第七章 時(shí)變電磁場(chǎng),7.1 位移電流和推廣的安培回路定律,1、問(wèn)題的提出,高斯定理(庫(kù)侖定律,安培回路定律（安培磁力定律,法拉第定律（電磁感應(yīng)定律,電流連續(xù)方程（電荷守恒原理,前面各章的總結(jié),靜態(tài)場(chǎng)結(jié)論,時(shí)變場(chǎng)結(jié)論,考察在時(shí)變場(chǎng)中的適用性,對(duì) 兩邊取散度，有,2、推廣的安培回路定律,麥克斯韋提出安培回路定律的修正,于是,即,若要滿足 ，必須,為了得到 的表達(dá)式，進(jìn)一步假設(shè) 對(duì)時(shí)變場(chǎng)成立,由此可得,比較兩邊，得,因此得到推廣的安培回路定律,積分形式,微分形式,3、位移電流密度,來(lái)源,a. 電場(chǎng)隨時(shí)間的變化率 b. 極化電介質(zhì)的極化強(qiáng)度隨時(shí)間的變化率,全電流密度,全電流連續(xù)性方程,對(duì) 兩邊取散度，

2、得,積分形式為,全電流的無(wú)散性和連續(xù)性,4、推廣的安培回路定律的物理意義,分布電流和時(shí)變的電場(chǎng)都是磁場(chǎng)的源,定律本身無(wú)法用實(shí)驗(yàn)直接驗(yàn)證。但由此得到的電磁理論與時(shí)變場(chǎng)的所有現(xiàn)象相吻合，從而被間接的得到驗(yàn)證,位移電流 與分布電流 有著本質(zhì)的區(qū)別， 的存在并不要求伴隨電荷的定向運(yùn)動(dòng)，而只是電場(chǎng)的變化率,例7.1 試證明電容器中的位移電流等于導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流,證明：導(dǎo)線上的傳導(dǎo)電流是,假設(shè)電容器極板面積為S，電荷在極板上均勻分布，則,所以傳導(dǎo)電流為,由導(dǎo)體的邊界條件知,則位移電流為,因此,位移電流作為傳導(dǎo)電流的繼續(xù)，從電極1 流到電極2,若作一閉合曲面S包圍電極1，則：傳導(dǎo)電流 I 流入閉合面為負(fù)值

3、位移電流 Id 流出閉合面為正值,閉合面S上總電流滿足全電流連續(xù)性方程,7.2 麥克斯韋方程組,1、微分形式,描述宏觀電磁現(xiàn)象的基本方程組,動(dòng)電生磁,動(dòng)磁生電,電流與電荷關(guān)系,高斯定律與電流連續(xù)方程的等價(jià)性,證明,所以對(duì)比,可知,反之亦然,因?yàn)?其中 可以由 導(dǎo)出,Maxwell 方程組,我們采用高斯定律，而將電流連續(xù)方程略去,因此，不要這個(gè)方程也不會(huì)影響基本方程組的正確性和完備性，但增加該方程使基本方程組具有了對(duì)稱性，為方程組的求解提供了方便,2、積分形式,3、媒質(zhì)本構(gòu)方程（輔助方程,僅由麥克斯韋方程組的四個(gè)基本方程還無(wú)法求解出電磁場(chǎng)的具體分布需要補(bǔ)充如下3個(gè)方程,通過(guò)對(duì)上述方程的分析，麥克

4、斯韋預(yù)言了時(shí)變的電磁場(chǎng)將以波的形式按光速傳播 。并在1888年，由物理學(xué)家赫茲首次用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了上述預(yù)言的正確性,4、麥克斯韋方程組的限定形式,將本構(gòu)方程各式代入麥克斯韋方程組的微分形式中，得,5、麥克斯韋方程組的局限性,帶電體的受力問(wèn)題,離散,連續(xù),機(jī)械力問(wèn)題,牛頓定律,微觀領(lǐng)域問(wèn)題,量子力學(xué),7.3 正弦電磁場(chǎng),時(shí)變電磁場(chǎng)隨時(shí)間的變化規(guī)律可以有多種形式,正弦波、方波、鋸齒波、脈沖,按照付里葉理論,周期的函數(shù)可以展開為付里葉級(jí)數(shù),非周期函數(shù)可以展開為付里葉變換,因此，不論對(duì)周期性或非周期性的時(shí)變電磁場(chǎng)，都可以通過(guò)對(duì)正弦電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)變換來(lái)進(jìn)行分析和求解,一. 正弦電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示法,基礎(chǔ)：正弦電

5、磁場(chǎng)的時(shí)間變量和空間坐標(biāo)變量可以進(jìn)行分離,約定：用余弦函數(shù)表示正弦點(diǎn)磁場(chǎng),1、振幅,例：將 點(diǎn)的正弦電場(chǎng)寫作,其中,振幅,初位相,角頻率 單位：rad / s,頻率 單位：Hz 或 s-1,只與位置有關(guān),2、復(fù)振幅,先求解空間變化，然后再考慮其時(shí)間因素，降低求解難度,利用歐拉公式 ，則有,令 ，則表達(dá)式更為簡(jiǎn)潔,考慮 x 分量,稱為復(fù)振幅，一般是坐標(biāo)變量的復(fù)函數(shù)，包含著振幅和初相信息,為避免混淆,復(fù)振幅寫成 或 ，也可簡(jiǎn)寫成,瞬時(shí)值寫成 ，也可以簡(jiǎn)記為,振幅寫成 ，也可簡(jiǎn)記為,3、復(fù)矢量,利用復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算法則，電場(chǎng)表示為,上式稱為電場(chǎng)矢量 的復(fù)數(shù)表示法,稱為電場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)矢量,它的各分量就是每

6、個(gè)瞬時(shí)分量的復(fù)振幅,特別強(qiáng)調(diào)指出： 復(fù)振幅和復(fù)矢量都只是場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)或常量，因此在它們的表達(dá)式中不應(yīng)出現(xiàn)時(shí)間變量 t ； 而瞬時(shí)場(chǎng)矢量或分量都是實(shí)數(shù)域內(nèi)的函數(shù)，在它們的表達(dá)式中不能出現(xiàn)復(fù)數(shù)的標(biāo)記 j,例7.2 已知一電場(chǎng)的瞬時(shí)矢量為,寫出它的復(fù)矢量,解： 首先利用三角關(guān)系將電場(chǎng)順勢(shì)矢量的 z 分量寫成余弦函數(shù),所以復(fù)矢量表達(dá)式為,例7.3 已知一磁場(chǎng)分量的復(fù)振幅為,對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)分量表達(dá)式為,二. 麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式,考察瞬時(shí)安培回路定律,利用復(fù)數(shù)表達(dá)式,得,因?yàn)槿?shí)和微分可互換順，則,因此可以得到安培回路定律的復(fù)數(shù)表示,利用同樣的方法，還可以得到,這組復(fù)矢量的方程組稱為麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)

7、形式， 或復(fù)麥克斯韋方程組,頻域方法：首先求解復(fù)麥克斯韋方程組，得到所求的復(fù)矢后， 再利用瞬時(shí)矢量與復(fù)矢量的關(guān)系式得到瞬時(shí)場(chǎng)量。 時(shí)域方法：直接求解瞬時(shí)麥克斯韋方程組獲得瞬時(shí)場(chǎng)量,時(shí)域方法、頻域方法,例7.4 假設(shè)真空中有一電場(chǎng)矢量為,求磁場(chǎng)矢量,解法1: 將電場(chǎng)表達(dá)式代入瞬時(shí)麥克斯韋方程組第2式，得,兩邊對(duì) t 積分，得到,解法2: 電場(chǎng)的復(fù)矢量為,代入復(fù)麥克斯韋第二方程，得,7.4 媒質(zhì)的色散與損耗,一. 媒質(zhì)的色散和復(fù)電磁參數(shù),1、色散現(xiàn)象,在時(shí)變電磁場(chǎng)中，媒質(zhì)參數(shù)隨頻率變化的現(xiàn)象稱為媒質(zhì)色散,2、色散現(xiàn)象來(lái)源,媒質(zhì)的極化、磁化、載流子的定向運(yùn)動(dòng),在時(shí)變電磁場(chǎng)的作用下，極化、磁化及載流子

8、運(yùn)動(dòng)都將隨著電場(chǎng)和磁場(chǎng)的指向變化而不斷改變方向。由于電荷載體粒子的慣性影響，粒子的運(yùn)動(dòng)將落后于場(chǎng)的變化，產(chǎn)生滯后效應(yīng),以極化為例：當(dāng)頻率很高時(shí)，只有電子極化的建立能夠跟上場(chǎng)的周期變化，以電子極化的貢獻(xiàn)為主，所以一般媒質(zhì)的極化強(qiáng)度都有隨場(chǎng)頻率增高而逐漸減小的趨勢(shì),3、復(fù)電容率,由于極化狀態(tài)滯后于電場(chǎng)狀態(tài)，因此除了極化強(qiáng)度的模值隨頻率變化外，其相位也要滯后于電場(chǎng)的相位,為滯后相位是與頻率f 有關(guān)的函數(shù),對(duì)于時(shí)變場(chǎng) ，一般不成立，因?yàn)橄辔徊灰恢?與 有著復(fù)雜的關(guān)系,由于輔助方程不具備正比形式，所以對(duì)色散媒質(zhì)必須用頻域法,對(duì)于某個(gè)特定頻率，可以象靜態(tài)場(chǎng)一樣，有,對(duì)色散媒質(zhì)，可令,由此得到電通量密度的復(fù)

9、矢量,由于 的相位滯后于 ，復(fù)極化率 的輻角應(yīng)小于零，所以 的輻角也小于零，因此可以將 寫作,其中 稱為復(fù)電容率,可見，在復(fù)頻域內(nèi)，復(fù)矢量 與 之間也有簡(jiǎn)單的正比關(guān)系，只不過(guò)比例系數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù),根據(jù)物理學(xué)原理，可知,色散公式,4、復(fù)磁導(dǎo)率,對(duì)于一般的非鐵磁媒質(zhì) 而對(duì)鐵磁材料,在頻域內(nèi)，同樣有,其中 ，稱為復(fù)磁導(dǎo)率,5、電導(dǎo)率,與極化和磁化相比，電導(dǎo)率的色散效應(yīng)很弱，從直流到光頻都可以近似用一個(gè)實(shí)常數(shù)表示,因此，在時(shí)域和頻域內(nèi)，本構(gòu)方程具有簡(jiǎn)單的正比關(guān)系,媒質(zhì)的復(fù)參數(shù)是在頻域方法中引入的，只能在頻域中使用， 對(duì)于瞬時(shí)場(chǎng)是沒有意義的,二. 媒質(zhì)的損耗和等效電容率,1、媒質(zhì)損耗的來(lái)源,焦耳損耗,極化

10、損耗和磁化損耗,2、媒質(zhì)損耗與頻率的關(guān)系,3、等效復(fù)電容率,由復(fù)麥克斯韋方程得,令,采用了等效電容率后，可以將導(dǎo)電媒質(zhì)視為一種等效的電介質(zhì)，從而使各種媒質(zhì)都可以用相同形式的麥?zhǔn)戏匠糖蠼?4、損耗角正切,電損耗角正切,磁損耗角正切,損耗角正切的值越大，表示媒質(zhì)對(duì)電磁能量的損耗越大,例7.5 已知海水的 。若振幅為100 V / m，頻率為1kHz的電場(chǎng)存在于海水中，試求海水的損耗角正切和損耗功率密度。若頻率增高到1GHz又將如何,解: 由題意知，海水的極化損耗可以忽略，所以相對(duì)等效電容率為,f =1 KHz 時(shí),f =1 GHz 時(shí),媒質(zhì)損耗功率密度與頻率無(wú)關(guān),7.5 電磁場(chǎng)的能量關(guān)系坡印廷定理

11、,一. 瞬時(shí)坡印廷定理,聲明：為了書寫簡(jiǎn)單，省略瞬時(shí)場(chǎng)量中的坐標(biāo)變量和時(shí)間變量,設(shè)是時(shí)變電磁場(chǎng)媒質(zhì)空間的一個(gè)區(qū)域，其外表面記為S,考察安培回路定律,兩邊同時(shí)點(diǎn)乘 ，再在區(qū)域內(nèi)作體積分，則有,根據(jù)矢量關(guān)系,可得,所以有,設(shè)媒質(zhì)無(wú)色散損耗，則瞬時(shí)輔助方程成立,同理,即,于是有,因此,瞬時(shí)坡印廷定理,焦耳損耗功率,瞬時(shí)坡印廷矢量（功率流密度、能流密度,單位時(shí)間內(nèi)穿出閉合面S 的電磁場(chǎng)能量,單位時(shí)間內(nèi)電磁能量的減少量,物理意義,一個(gè)閉合曲面內(nèi)的電磁能量在單位時(shí)間內(nèi)的減少量等于兩部分功率之和：內(nèi)的導(dǎo)電損耗功率轉(zhuǎn)換為熱能散發(fā)， 以功率流的形式輻射到閉合面S之外,這是電磁能量守恒定律在一個(gè)閉合曲面上的表現(xiàn)形

12、式,穩(wěn)恒場(chǎng)情況,意義：對(duì)于穩(wěn)恒場(chǎng)，內(nèi)的焦耳損耗必須由外界提供能量,對(duì)穩(wěn)恒場(chǎng)有,根據(jù)瞬時(shí)坡印廷定理得,例7.6 設(shè)同軸傳輸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，中間填充介質(zhì)的參量為和，內(nèi)外導(dǎo)體間加電壓U，導(dǎo)體上有直流I。試通過(guò)坡印廷矢量計(jì)算同軸線傳輸?shù)墓β?解：內(nèi)外導(dǎo)體是理想導(dǎo)體,令外導(dǎo)體接地（Ub= 0），并設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電荷,則介質(zhì)中電場(chǎng)為,在導(dǎo)體內(nèi)，即ra 及rb 時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度為零,內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差為,所以介質(zhì)中,再求磁場(chǎng)強(qiáng)度，利用安培回路定律得,因此，坡印廷矢量為,沿同軸線傳輸?shù)墓β蕿?表明：同軸線傳輸?shù)墓β实扔陔妷号c電流的乘積， 即等于負(fù)載電阻所消耗的功率,若導(dǎo)體不理想( 值有

13、限,內(nèi)導(dǎo)體中電場(chǎng)矢量為,根據(jù)邊界條件，導(dǎo)體外緊靠導(dǎo)體表面地方的電場(chǎng)矢量切向分量為,該處的磁場(chǎng)矢量為,因此，坡印廷矢量的法線分量為,在長(zhǎng)為 l 的圓柱面上進(jìn)入導(dǎo)體的功率為,其中R 等于長(zhǎng)為l的圓柱導(dǎo)體的電阻,表明：進(jìn)入導(dǎo)體的功率等于導(dǎo)體的損耗功率,二. 復(fù)坡印廷定理,1、定理證明,對(duì)復(fù)安培回路定律兩邊取復(fù)共軛得,交換哈密頓算子與共軛運(yùn)算的次序，有,兩邊點(diǎn)積 ，得到,a,根據(jù)矢量關(guān)系,可得,代入a式中，并兩邊同乘以1/2，得,兩邊對(duì)體積積分，并對(duì)左邊應(yīng)用散度定理，得,考慮媒質(zhì)的色散性質(zhì)，則有,因此得到復(fù)坡印廷定理,將定理分寫成實(shí)部和虛部,2、有功功率和無(wú)功功率,有功功率（實(shí)部,實(shí)部的右邊分別表示著

14、內(nèi)各種損耗,焦耳損耗,極化損耗,磁化損耗,表明：在無(wú)源區(qū)域內(nèi)，各種損耗功率的平均值之和等于從閉合面外流入的平均輸入功率，反映了S 面上有功功率平均值的平衡關(guān)系,實(shí)部的左邊表示一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)入S 面的瞬時(shí)功率的平均值，即,平均坡印廷矢量,復(fù)坡印廷矢量,為避免與混淆,復(fù)坡印廷矢量記作 而瞬時(shí)坡印廷矢量記作 或,表示垂直方向上單位面積所通過(guò)的有功功率的平均值,無(wú)功功率（虛部,無(wú)功功率是指在S 面內(nèi)外振蕩交換的功率,對(duì)應(yīng)著單位體積內(nèi)正弦電場(chǎng)能量的平均值和磁場(chǎng)能量的平均值,舉例,a. 進(jìn)入S 面的有功功率就是電阻R上消耗的焦耳功率,b. 無(wú)功功率是電容C和電感L的電磁儲(chǔ)能與電源能量之間的交換功率，它等于電

15、源的視在功率與電路的有功功率之差,c. 閉合面S上用于振蕩交換的平均無(wú)功功率等于內(nèi)磁場(chǎng)儲(chǔ)能平均值與電場(chǎng)儲(chǔ)能平均值之差的2倍,例7.7 已知正弦電磁場(chǎng)的表達(dá)式為,解： 瞬時(shí)坡印廷矢量為,電場(chǎng)和磁場(chǎng)的復(fù)矢量為,平均坡印廷矢量為,7.6 電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程,1、瞬時(shí)波動(dòng)方程,討論范圍：限定在非色散均勻媒質(zhì)的無(wú)源區(qū)域內(nèi),非色散：電磁參數(shù)是與f 無(wú)關(guān) 均勻： 電磁參數(shù)是與坐標(biāo)無(wú)關(guān),無(wú)源,非齊次矢量波動(dòng)方程,考察麥克斯韋方程限定形式,a,b,c,d,令（a）式兩邊對(duì)時(shí)間 t 求偏導(dǎo)，得,對(duì)（b）式兩邊取旋度，得,比較上面兩式，得到,利用矢量恒等式 ，并注意 ，上式變成,非齊次矢量波動(dòng)方程,同理可得,時(shí)變的電

16、磁場(chǎng)是電磁波,齊次矢量波動(dòng)方程,若媒質(zhì)是 = 0 的非導(dǎo)電介質(zhì) ，則有,2、矢量亥姆霍茲方程,討論范圍：均勻媒質(zhì)無(wú)源區(qū)域,其中,對(duì)于正弦電磁場(chǎng)，利用復(fù)麥克斯韋方程可得,此時(shí)的媒質(zhì)可以包括色散媒質(zhì),7.7 標(biāo)量位和矢量位,1、瞬時(shí)位函數(shù),定義式,動(dòng)態(tài)矢量磁位,動(dòng)態(tài)電位,洛倫茲規(guī)范,討論范圍：均勻和非色散媒質(zhì),考察安培回路定律,代入本構(gòu)方程，得,再代入位函數(shù)定義式，得,利用矢量恒等式 ，上式變成,考察高斯定律,代入位函數(shù)定義式，得,所以有,為了得到每個(gè)輔助位函數(shù)的獨(dú)立方程，必須增加新的限制條件,洛倫茲規(guī)范,達(dá)朗貝爾方程,2、復(fù)位函數(shù),利用瞬時(shí)位函數(shù)的結(jié)果可以得到關(guān)于復(fù)位函數(shù)的方程,定義式,洛倫茲規(guī)

17、范,達(dá)朗貝爾方程,由 表示電磁場(chǎng),3、靜態(tài)場(chǎng)與時(shí)變場(chǎng),當(dāng)電磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化時(shí)= 0 ，亥姆霍茲方程退化為泊松方程,或者從瞬時(shí)達(dá)朗貝爾方程出發(fā)，也可以得到上面的結(jié)果,4、位函數(shù)的任意性,矢量電位和標(biāo)量磁位,電赫茲矢量,磁赫茲矢量,7.8 時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件,1、瞬時(shí)邊界條件,切向問(wèn)題利用環(huán)路積分，法向問(wèn)題利用閉合曲面積分,可得邊界條件,其中 是界面上的分布面電荷密度,是界面上的分布面電流密度,由媒質(zhì)1指向媒質(zhì)2,2、復(fù)邊界條件,利用復(fù)麥克斯韋方程推導(dǎo)，會(huì)得到與以上四式完全相同的邊界條件表達(dá)式，不過(guò)此時(shí)各式中的物理量應(yīng)為復(fù)矢量和復(fù)振幅,3、理想導(dǎo)體的邊界條件,設(shè)1區(qū)是一般媒質(zhì)，2區(qū)是2的理想導(dǎo)體

18、,此時(shí)2區(qū)中的電場(chǎng)強(qiáng)度必須為0，否則利用歐姆定律有,這在實(shí)際中是不可能的。因此,同時(shí)，由麥克斯韋方程可得到,可見2區(qū)的磁場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān),由此可知，2區(qū)理想導(dǎo)體內(nèi)不存在時(shí)變的電磁場(chǎng),此時(shí)1區(qū)有電磁場(chǎng)，省略1區(qū)場(chǎng)量的下標(biāo)，則4個(gè)邊界條件寫成,理想導(dǎo)體外側(cè)的電場(chǎng)必垂直于導(dǎo)體表面，且,理想導(dǎo)體外側(cè)的磁場(chǎng)必平行于導(dǎo)體表面，且,可見,例7.8 一時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)表達(dá)式為,其中,求對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng) ； 證明此電磁波可以在兩塊無(wú)限大導(dǎo)體平板間傳播； 求兩導(dǎo)體板內(nèi)表面上的表面電流密度； 求兩導(dǎo)體板間的 和,解： 將電場(chǎng)的復(fù)矢量,代入麥克斯韋方程,得磁場(chǎng)復(fù)矢量,所以磁場(chǎng)的瞬時(shí)值為,一個(gè)電磁波能夠在給定的區(qū)域內(nèi)傳播，其和必須滿足兩個(gè)條件： 一是要滿足波動(dòng)方程或亥姆霍茲方程； 二是要滿足區(qū)域的邊界條件,下面驗(yàn)證這兩個(gè)條件,a.