初中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)026直角三角形、勾股定理及逆定理真題及答案

1、一、選擇題1. （ 2016安徽，10, 4分）如圖，RtA ABC中，AB丄BC,AB=6 , BC=4.P是厶ABC內(nèi)部的一個懂點(diǎn)，且滿足/ PAB= / PBC.則線段CP長的最小值為（）c.823D.A.3B.2第10題圖1312 1313【答案】B.【逐步提示】 先根據(jù)三角形內(nèi)角和和已知條件求出/APB=90，并根據(jù)圓周角定理判斷出動點(diǎn)P的活動軌跡，把問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)與圓上動點(diǎn)的最值問題，最后根據(jù)勾股定理即可求解【詳細(xì)解答】 解：如圖，T AB 丄 BC,./ABP+ / CBP=90,t/ CBP=Z BAP, a / ABP+ / BAP=90,./APB=90, 點(diǎn)P在以AB

2、為直徑的O E落在 ABC內(nèi)部的部分，當(dāng)點(diǎn) C,P,E在一條直線上時，CP取最小值，此時由勾股定理得 CE., 32 42 =5, CP=CE-PE=5-3=2.，故選擇 B .4BL【解后反思】 在動態(tài)問題中求兩點(diǎn)之間距離的最值問題，一般應(yīng)先確定動點(diǎn)的活動規(guī)律，再運(yùn)用相關(guān)知識求解， 此類問題與圓結(jié)合的較多【關(guān)鍵詞】 最值問題，圓的性質(zhì)，勾股定理，動態(tài)問題2. （ 2016江蘇省連云港市，7, 3分）如圖1,分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為3、S2、S3 ；如圖2,分別以直角三角形三個頂點(diǎn)為圓心，三邊長為半徑向外作圓心角相等的扇形，面積分別為S4、S5、S6.其中 3=16

3、 ,S2=45 ,S5= 11,S6= 14，則S3S4二A. 86B. 64C. 54D. 48【答案】C【逐步提示】 本題考查了勾股定理的應(yīng)用， 找出這些面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)等邊三角形的面積公 式和扇形的面積公式，得出 S, 5 , S3之間的關(guān)系以及S4, S5, S6之間的關(guān)系，最后可得出結(jié)論.【詳細(xì)解答】解：設(shè)直角三角形的三邊長為a, b,c；則3 a2,S33b2,S23c2, v a2 b c2,444S3 = S2 - S| = 45 -16= 29 ；設(shè)圖2中的扇形的圓心角為、 ,則S4c2 , S5a2 , S6b2，同樣得到360360360S4 = S6

4、S5 =11 14 = 25，二 S3 S4 = 29 25 = 54，故選擇 C .【解后反思】由于等邊三角形的面積是與邊長的平方成正比例的，扇形在圓心角相同的情形下也是與半徑即邊長的平方成正比例的，而勾股定理又是與邊長的平方有關(guān)的，于是可得出Ss =：S2 - S以及S4-Sb S5之間的關(guān)系，從而使問題得以解決.【關(guān)鍵詞】勾股定理；等邊三角形的面積；扇形的面積；3. ( 2016 江蘇省無錫市，10, 3 分)如圖，RtAABC 中，/ C = 90,/ ABC = 30, AC = 2, ABC 繞點(diǎn) C 順 時針旋轉(zhuǎn)得 A1B1C,當(dāng)A1落在AB邊上時，連接B1B，取BB1的中點(diǎn)D,

5、連接Aq，則AQ的長度是()A .、7B . 2、. 2C. 3D. 2.3B1【答案】A【逐步提示】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理以及中位線等，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出求A1D邊長所需的直角三角形，本題的思路是要求A1D的長度，過點(diǎn) D作DE丄A1B，求出A1E和DE ,禾U用勾股定理可求出A1D的長度，可先證明 ACAABCB1為等邊三角形，再利用中位線和等邊三角形的性質(zhì)求出E和DE的長.【詳細(xì)解答】解：C= 90, / ABC = 30, AC = 2, a/ A = 60, AB = 4,v CA = CA1 , a ACA1 為等邊三角形，a/ A1CA =/ CA

6、1B1 = 60, AA1 = 2 ,1a A1B1/ AC , a A1F 是厶ABC 的中位線，即 A1F =一 AC= 1 ,2v/ A1CB1=/ ACB= 90 a / BCB1 = / ACA1= 60 ,v CB = CB1 , a BCB1為等邊三角形，v F為BC中點(diǎn)，a B1F 為等邊 BCB1 的高，a B1F = 2、33 = 3 ,2過點(diǎn)D作DE丄A1B , v D為BB1的中點(diǎn)，DE / BF , a E為B1F的中點(diǎn)，1a EF = 1.5 , DE = - BF =,2 2在 RtAADE 中，A1D = A1E2+DE2 八 7 ,故選擇 A .【解后反思】本

7、題解題思路，求“斜”線長，?？紤]構(gòu)造直角三角形，本題有兩個中點(diǎn)，點(diǎn)A1和點(diǎn)D，與中點(diǎn)想中位線也是常用思路，總之本題綜合了好幾個知識點(diǎn)，平時多積累解題經(jīng)驗(yàn)特別重要.【關(guān)鍵詞】勾股定理；等邊三角形的性質(zhì)；中位線；旋轉(zhuǎn)；轉(zhuǎn)化思想；好題；4. （ 2016江蘇省宿遷市，7, 3分）如圖，把正方形紙片 ABCD沿對邊中點(diǎn)所在的直線對折后展開，折痕為MN，再過點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn) A落在MN上的點(diǎn)F處，折痕為BE .若AB的長為2,則FM的長為（）BM（第7題圖）【答案】B【逐步提示】 根據(jù)翻折前后對應(yīng)的線段相等，可以知道AB=BF，又M為BC中點(diǎn)，故BM=1，在直角厶BMF 中,利用勾股定理即可求出 FM

8、的長.【詳細(xì)解答】解：四邊形ABCD是正方形 AB=BC=2T M、N 是- 一組對邊的中點(diǎn) MN 丄 BC,且 BM=1 BEF是由 BEA翻折得到的， AB=BF在 RtA BFM 中，F(xiàn)M= . BF2 -BM 2 =；22 -12 =：3，故選擇 B .【解后反思】 折疊問題是屬于軸對稱變換， 折疊后圖形的形狀和大小不變， 三角形折疊后得到的三角形與原三角 形全等，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等。 勾股定理是求線段長度的常用方法， 當(dāng)在一個直角三角形中知道關(guān)于邊的兩個條 件，即可使用勾股定理求出直角三角形的各邊長，要熟練掌握.【關(guān)鍵詞】 正方形的性質(zhì)；翻折；勾股定理；5.6.7.8.公式對進(jìn)行判斷

9、可以根據(jù)各線段的長度直接進(jìn)行判斷9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空題1. （ 2016安徽，14, 5分）如圖，在矩形紙片 ABCD中，AB=6 , BC=10.點(diǎn)E在CD上，將 BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將 ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處有下列3結(jié)論：/ EBG=45;、DEFABG :SABG= SFGH :AG+DF=FG.其中正確的是（把所有正確結(jié)論的序號都選上）第1斗題圏2CED

10、【答案】【逐步提示】 由折疊得到相等的角和相等的線段，結(jié)合矩形的性質(zhì)可求/EBG的度數(shù)；在Rt DEF和Rt FGH中根據(jù)勾股定理建立方程分別求出DE,GH,FG的長，根據(jù)相似三角形的判定方法對進(jìn)行判斷，根據(jù)三角形面積1【詳細(xì)解答】 解：由折疊知/ ABG= / FBG, / FBE= / CBE, / EBG= / ABC=45,正確；又 BC=BF=10 ,由222 22 2 108勾股定理求得 AF= . 10 -6 =8, DF=2，設(shè) CE=EF=x,由勾股定理得 x =2 +(6-x) ,x= ,DE=;又 AB=BH=6 ,338HF=4，設(shè) AG=GH=y,由勾股定理 y2+4

11、2=(8-y) 2,y=3,GF=5，: AB _6_23_4,丄 def 與厶 ABG 不相似，AG 3 2311錯誤；Saabg=3 6 =9 , Safgh=3 4 =6，故正確；AG+DF=3+2=5=FG ,正確，故答案為22【解后反思】1凡涉及到折疊的問題，我們都找到其中的相等的角和相等的邊；2.在直角三角形中，根據(jù)勾股定理若能建立關(guān)于一個未知數(shù)的方程， 那么這個直角三角形的三邊的長就可以分別求出來，這是我們解決直角三角形問題時常用的方法之一 【關(guān)鍵詞】折疊問題，勾股定理，相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，三角形的面積2. ( 2016甘肅省天水市，16, 4分)如圖，把一個矩形紙片

12、OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA, OC分別落在x軸，y軸上，連結(jié) OB,將紙片OABC沿OB翻折，點(diǎn)A落在A位置，若OB =5 , tan/BOC =-,255【逐步提示】 本題是坐標(biāo)系中的圖形折疊問題，考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)， 主要涉及軸對稱的性質(zhì)， 矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識以及勾股定理的靈活運(yùn)用解題的關(guān)鍵是過點(diǎn)A作AE丄OC于點(diǎn)E,將問題轉(zhuǎn)化為求線段A E和OE的長，然后根據(jù)第二象限的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到點(diǎn)A 的坐標(biāo)其中最關(guān)鍵的是求線段A E和OE的長.先根據(jù) OB = 5 , tan/ BOC =】，求出BC = 1, OC = 2.再設(shè)OC與A B交于點(diǎn)F，由折疊及矩形的性

13、質(zhì)2可證FO = FB .然后設(shè)OF = x,得FB = x, CF = 2-x，進(jìn)而在RtA BCF中運(yùn)用勾股定理構(gòu)建方程求出 x值，得 到線段OF的長.最后，在 RtA OA F中，結(jié)合A E是斜邊OF上的高及折疊產(chǎn)生的 OA = OA= 1,綜合運(yùn)用勾定 理及面積的不同表示方法就可求得 A E和OE的長.【詳細(xì)解答】 解：如圖，過點(diǎn) A作A E丄OC于點(diǎn)E,設(shè)OC與A B交于點(diǎn)F . BC = 1, OC = 2 .OC四邊形OABC是矩形，/ OAB = 90 AB/ OC , OA= BC= 1./ OBA = Z FOB .由折疊，知/ OBA = Z FBO ,/ FOB = Z

14、 FBO . FO = FB.設(shè) OF = x,貝V FB = x, CF = OC OF = 2 x. 在RtA BCF中，由勾股定理，得 BC2 + CF2= FB2,- 12+ (2 x)2 = x2，解得 x=又由折疊，知 OA= OA = 1,5 , OF = 54/ OA F=/4OAB = 90 AF= OF2 AO 2,5-i2 = 34-AE, SaoA f =5 x A E,解得 A Ei2 一（：）254又在 RtAOA E 中，OE= AO2 _AE2點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3 , 4).55故答案為(3 , 4).55【解后反思】 本題還可以從相似三角形的角度思考解決.如在求出

15、OF = BF =后，可得CF = OC OF = 2 44=3，然后通過證明厶OA Es BFC，產(chǎn)生相似比-A-E = OE = OA，得到-A-E = OE =丄，從而求出線段 A E4FC BC BF32544和OE的長.這類沿著矩形對角線翻折的矩形折疊問題中，“等腰三角形厶FOB”是一個基本圖形結(jié)構(gòu)，必須熟識并掌握其證明方法.【關(guān)鍵詞】矩形的性質(zhì)；軸對稱變換；銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理；在坐標(biāo)系中求解幾何圖形中點(diǎn)的坐標(biāo)； 方程思想；數(shù)形結(jié)合思想；面積法.3. （ 2016湖北省十堰市，14, 3分）如圖，在平行四邊形 ABCD中，AB=2 . 13 cm,AD=4cm,A C BC

16、,則厶DBCfc ABC的周長長cm.【答案】4【逐步提示】 本題屬于平面幾何的計(jì)算題，主要涉及到平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的周長等；解題的關(guān)鍵是 DBC比厶ABC的周長長等于 BD-AC;解題的思路是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理，分別表示出DBC的周長與厶ABC的周長，找出BD-AC的值即可.【詳細(xì)解答】解：如圖，設(shè) AC與BD交于點(diǎn)F,因?yàn)锳B=2 #13cm,AD=4cm,A CL BC所以AC= I, AB - BC =（2、.13） -4 =. 36 = 6；因?yàn)槠叫兴倪呅?ABCD 中，所以，AF=FC,BF=DF;BF= . BC2 CF2 h.；42 32 =5, B

17、D=10;因?yàn)?DBC 的周長=BD+BC+CD=10+AB,ABC 的周長=AB+BC+6所以DBCfc ABC的周長長 4.（第14理圖）【解后反思】 平行四邊形的對邊相等和對角線互相平分、勾股定理是初中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，但是，求出DBC比厶ABC的周長長等于 BD-AC卻是一個難點(diǎn)，需要應(yīng)用整體的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行處理解法拓展：本題也可以過點(diǎn) D作DEL BC于E,用勾股定理計(jì)算后完成.【關(guān)鍵詞】 勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.佃.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.3

18、5.36.37.38.39.三、解答題1. （ 2016甘肅省天水市，25, 10分）（1） （ 3分）如圖1,已知 ABC，以AB、AC為邊分別向 ABC外作等 邊厶ABD和等邊 ACE，連結(jié)BE、CD，請你完成圖形（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并證明：BE = CD;（2） （3分）如圖2,已知 ABC,以AB、AC為邊分別向外作正方形 ABFD和正方形 ACGE ,連結(jié)BE、CD , 猜想BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）（4分）運(yùn)用（1）, （2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識，完成下題：如圖3,要測量池塘兩岸相對的兩點(diǎn) B、E的距離，已經(jīng)測得/ ABC = 45 / CA

19、E = 90 AB = BC= 100 米，AC= AE，求BE的長（結(jié)果保留根號）.圖1三B圖2圖3【逐步提示】 本題是一道幾何綜合問題，考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形、等腰直角三角形以及正方形的性質(zhì)，勾股定理解題的關(guān)鍵是（1）分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn) D,連接AD, BD，同理連接AE, CE，即得圖形.再利用“ SAS證得 CAD EAB，即可利用全等三角形的對 應(yīng)邊相等證得 BE = CD . （2）猜想BE = CD，證明方法和（1）相同.（3） “按圖索驥”，根據(jù)（1 ）、（2）的經(jīng)驗(yàn)， 以AB為直角邊向 ABC外作等腰直角 ABD，/

20、BAD = 90 則AD = AB= 100米，/ ABD = 45 然后利用勾股 定理先在RtA ABD中求出BD的長，再在 RtA DBC中求出CD的長，即得 BE的長.證明： ABD和厶ACE都是等邊三角形， AD = AB, AC = AE,/ BAD = Z CAE = 60/ BAD + / BAC =/ CAE + / BAC，即/ CAD = / EAB. CAD 也厶 EAB. CD = EB, 即卩 BE= CD.(2) BE= CD .說理如下：四邊形ABFD和ACGE都是正方形， AD = AB, AC = AE,Z BAD = Z CAE = 90/ BAD + Z

21、BAC =Z CAE + Z BAC，即/ CAD = Z EAB. CAD EAB. CD = EB,即卩 BE= CD.(3) 如圖，由(1) ( 2)的解題經(jīng)驗(yàn)可知，以 AB為直角邊向 ABC外作等腰直角 ABD，/ BAD = 90則AD=AB = 100 米，/ ABD = 45 BD = 100 2 .連接CD，則由(2)可得BE = CD ./ DBC =Z ABD + Z ABC = 90在 RtA DBC 中，BC= 100，BD = 100 . 2， CD = - BC2 BD2 =1002（100 一 2）2 = 100 3 . BE的長為100 3米.【解后反思】 運(yùn)用構(gòu)造法解幾何題時，可以根據(jù)題設(shè)條件或結(jié)論所具有的性質(zhì)、特征，構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的一個基本圖形生成新的結(jié)論，從而在條件與結(jié)論之間架起一座“橋”，把一個復(fù)雜問題的條件明朗化，使問題獲得簡捷明了的解答方法.（1）（2）這兩問的共性是圍繞等邊三角形和正方形能產(chǎn)生含有公共頂點(diǎn)的兩組相等的邊， 并在這一頂點(diǎn)處通過角的和差計(jì)算得到新的相等的兩個角，具備“SAS