二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題(復(fù)習(xí)

1、二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題考點串串講1二元一次不等式表示平面區(qū)域(1) 一般地，二元一次不等式Ax+ By+ C 0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+ By+ C= 0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域.我們把直線畫成虛線，表示區(qū)域不包括邊界直線當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式Ax+ By+ O0所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線.(2) 用二元一次不等式表示平面區(qū)域，常有一定的規(guī)律性，大致可分為以下四種情況(如圖所示)必龍+代丫+C孑0(A0t50)Ar+/?.v+CO等式所表示的某一側(cè)的線 Ax + By“直線定 把原點作為不等式所表yi) , Q(x2, 與 Ax

2、2 + + C 與 Ax2 側(cè)異號”.(3) 關(guān)于二元一次不等式表示平面區(qū)域的幾點說明： 用集合的觀點和語言分析直線和二元一次不 的平面區(qū)域。 Ax+ By+ C 0表示的是直線 Ax+ By+ C= 0平面區(qū)域，不包括邊界；Ax+ By+ O0表示的是直+ C= 0及直線某一側(cè)的平面區(qū)域，包括邊界. 畫二兀一次不等式表示的平面區(qū)域常米用界，特殊點定域”的方法；特別地，當(dāng)8 0時，常此特殊點. 二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為各個 示的平面點集的交集，即公共部分. 在直線I : Ax+ By+ C= 0外任取兩點 P(x1 , y2).若P、Q在直線I的同一側(cè)，貝U Ax1 + By1+ C

3、 By2 + C同號；若 P、Q在直線I異側(cè)，貝U Ax1+ By1 + By2 + C異號.這個規(guī)律可概括為“同側(cè)同號，異2. 線性規(guī)劃(1) 線性規(guī)劃的有關(guān)概念 約束條件：由x、y的不等式(或方程)組成的不等式或等式混合組，是 x, y的約束條件. 線性約束條件：關(guān)于 x、y的一次不等式(或方程)組成的不等式或等式混合組，是x, y的線性約束條件.x、y的解析式. 目標(biāo)函數(shù)：欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量 線性目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)為 x、y的一次解析式. 線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題. 可行解：滿足線性約束條件的解 (x , y). 可行域：所有可行解組

4、成的集合. 最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解.(2) 求線性目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最值問題的求解步驟： 作圖：畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中的任意一條直線I. 平移：將直線I平行移動，以確定最優(yōu)解所對應(yīng)的點的位置. 求值：解有關(guān)的方程組求出最優(yōu)解，再代入目標(biāo)函數(shù)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.關(guān)于線性規(guī)劃的幾點說明： 最優(yōu)解有時唯一，有時不唯一，甚至是無窮多. 對于二元一次不等式組所表示的區(qū)域，如果存在使線性目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大或最小的點，那么最值一 定是在該區(qū)域的頂點或邊界上達(dá)到.a z求目標(biāo)函數(shù)z = ax+ by的最值，要把z與直線y bx+評截距聯(lián)系起來去理解

5、.(5)線性規(guī)劃的圖解法及其應(yīng)用.圖解法的步驟： 求可行解一一即可行域.將約束條件中的每一個不等式，當(dāng)作等式作出相應(yīng)的直線，并確定原不等式表示的半平面，然后求出 所有半平面的交集，即為可行解(可行域). 作出目標(biāo)函數(shù)的等值線.目標(biāo)函數(shù)z= ax + by(a、bR且a、b為常數(shù))，當(dāng)z是一個指定的常數(shù)時，就表示一條直線.位于這 條直線上的點，具有相同的目標(biāo)函數(shù)值z,因此稱之為等值線.當(dāng) z為參數(shù)時，就得到一組平行線，這一組平行線完全刻畫出目標(biāo)函數(shù)z的變化狀態(tài). 求出最終結(jié)果.在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)等值線，從圖中能判定問題是有唯一最優(yōu)解，或是有無窮最優(yōu)解，或是 無最優(yōu)解.3. 線性規(guī)劃的實際

6、應(yīng)用(1)在線性規(guī)劃的實際問題中，主要掌握兩種類型：在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用 它們來完成最多的任務(wù).給定一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來 完成該項任務(wù). 線性規(guī)劃中的常見問題：物資調(diào)運問題；產(chǎn)品安排問題；合理下料問題；配方問題.(3) 利用線性規(guī)劃解決實際問題的一般步驟為：模型建立；模型求解；模型應(yīng)用. 關(guān)于線性規(guī)劃的實際應(yīng)用的幾點說明： 解線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵步驟是在圖上完成的，所以作圖應(yīng)盡可能地準(zhǔn)確，圖上操作盡可能規(guī)范. 因作圖有誤差，若圖上的最優(yōu)點并不明顯易辨，求不出可能是最優(yōu)點的坐標(biāo) 典例對對碰題型一一二兀一次不等式組表示平面區(qū)域例1

7、如圖，在 ABC中，A(3 , 1) , B( 1,1) , C(1,3)，寫出 ABC區(qū)域所表示的二元一次不等式組. 分析 首先寫出厶ABC三邊所在直線方程，然后再根據(jù)區(qū)域確定不等式組.解析解法一：由兩點式得 AB BC CA直線方程并化簡為：AB: x+ 2y 1 = 0, BC: x y+ 2 = 0,AC: 2x+ y 5 = 0.線方程左端,2x+y6=0C3A原點(0,0)不在各直線上，將原點坐標(biāo)代入到各直 結(jié)合式子的符號可得不等式組為”x+ 2y 1 0,x+2v-l=0丿 x y + 2 0,、2x + y 5 0.由BC的方程及三角形區(qū)域在BC下方，根據(jù)“異號在下”原則，得不

8、等式x y + 2 0.同理得2x + y 5 0表示直線x 2y+ 1 = 0右下方的點的集合;fx 2y + 1 0, 彳 x + 2y + 1 0,解析不等式上及其右上方x則或3vxw5,它 行線x= 3和x =3上的點.不等式x+ 2y + 1 0表示直線x + 2y+ 1 = 0 的點的集合；不等式 1 v |x 2| w 3,可化為一1wxv 1 表示夾在兩平行線 x = 1和x= 1之間或在兩平 =5之間的帶狀區(qū)域，但不包括直線x = 1和所以，原不等式組表示的區(qū)域如圖所示.題型二線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題3x + 8y + 15 0,例2已知x,y滿足 0,取值范圍是.解析 先畫出

9、約束條件的可行域，如圖所示,3x + 8y + 15= 0,由得 B(3 , - 3),5x + 3y 6= 0,3x + 8y + 15= 0,由 1.求z的最大值和最小值.g x 1.所示)作直線 I : 2y 2x = t ,當(dāng)I經(jīng)過點A(0,2)時,當(dāng)I經(jīng)過點B(1,1)時, 題型三平面區(qū)域的面積問題例3在平面直角坐標(biāo)系 =(x + y,A. 2c.1zmax= 2X 2 2X 0+ zmin = 2X 1 2X 1 +可行域(如圖2a Z/2yx-1/ 丿 / /O1X的44解析=8;=4.xOy中，已知平面區(qū)域x y)|(x , y) A的面積為( B.A= (x , y)|x +

10、 y0, y0，則平面區(qū)域 BD.u = x + y, 令.Iv = x y,uw 1, f u + v 0,通過畫圖不難得知不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域的面積X 2X 1= 1.故選 B.答案 B點評 求線性平面區(qū)域的面積可以先根據(jù)不等式組畫出相應(yīng)的平面區(qū)域，再求出相應(yīng)的頂點坐標(biāo)，根 據(jù)圖形的特點解決問題.若圖形是不規(guī)則的多邊形，一般是劃分為幾個三角形分別求面積再相加.在劃分 時盡量多構(gòu)造直角三角形，這樣可以降低運算難度變式遷移3求不等式|x| + |y| w2表示的平面區(qū)域的面積.解析|x| + |y| w2可化為：Vx0,或 yw 0,x + yw 2.1-x yw 2.其平面區(qū)域如圖所示.1

11、面積 S= X 4X 4= 8.題型四 利用可行域求非線性函數(shù)的最值4x + 2y- 7 0,例4.已知x, y滿足條件 x 2y+ 20,3x y 4(-1,-2)延長線上，從而2.5.故z= x2 + y2 + 2x+ 4y的取值范圍為一|,點評 禾U用線性規(guī)劃思想去理解高中數(shù)學(xué)中的一些最值問題，實際上是對數(shù)形結(jié)合思想的提升，禾U用 線性或非線性函數(shù)的幾何意義，通過作圖解決最值問題，是從一個新的角度對求最值問題的理解，對于同 學(xué)們最優(yōu)化思想的形成是非常有益的變式遷移42x + y 50且 z= (x + 1)2 + (y + 1)2已知x, y滿足條件 3x y 50在什么時候z取得最大值

12、、 解析 作出可行域如圖2x+ y 5 = 03x y 5 = 0j3x y 5 = 0解方程組|x 2y + 5 = 0解方程組得 A(2,1)得 B(3,4)z = (x + 1)2 + (y + 1)2的幾何意義為可行域內(nèi)的點(x , y)為點(一1,1)的距離的平方顯然當(dāng)圓過A點時半徑最小，最小值為13,圓過B點時半徑最大，最最小值，最大值、最小值各是多少?大值為41.題型五 可行域與斜率的最值問題則x的取值范圍是()x- y + K 0, 例5若實數(shù)x、y滿足x 0,yw 2,A. (0,2) B . (0,2C(2 ,+s) D .2 ,+s)x - y + iw 0,的平面區(qū)域為

13、如點(x , y)與原點Oy越大，故丄的取值x解析不等式組 x0,表示yw 2,y圖所示的厶ABC及其內(nèi)部(不包括邊AC), L表示x 連線的斜率，y2當(dāng)點(x , y)在B處時，乂有最小值-=2.xIy當(dāng)點(x , y)由B在區(qū)域內(nèi)向左移動時x越來范圍是2 ,).答案 D變式遷移5x 0,2,2.y 2 已知x、y滿足yx,貝U的取值范x + 14x + 3yw 12,答案 2,2解析 作出可行域如圖所示，設(shè)點M(x, y)在可行y 2的坐標(biāo)為(一1,2)，則目標(biāo)函數(shù)的值為直線PM的斜x + 1y 2PA的斜率分別為一2、2，由圖可得的取值范圍是x + 1題型六 線性規(guī)劃的實際應(yīng)用例6某工廠

14、有甲、乙兩種產(chǎn)品，計劃每天各生產(chǎn)量不少于15噸，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品 1噸，需煤9噸，電力4千瓦，勞力3個；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1噸，需煤4噸，電力5千瓦，勞力10個；甲產(chǎn)品每1噸利潤7萬元， 乙產(chǎn)品每1噸利潤12萬元；但每天用煤不超過 300噸，電力不超過 200千瓦，勞力只有300個問每天生 產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少，能使利潤總額達(dá)到最大？分析將已知數(shù)據(jù)列成表，如下表所示q=i產(chǎn)島伍滅PR3(H)M=L ：Jj kW * h )斗52(H)31 71 2解析設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為xt、yt，利潤總額為z萬元，那么9x + 4yW 300,4x + 5yW 200,3x+ 10yw 300,數(shù)）經(jīng)過可

15、行直線4x + 5y =x 15,y 15.作出以上不等式的可行域，如圖.目標(biāo)函數(shù)為z = 7x + 12y.作出在一組平行直線 7x + 12y = t中（t為參 域內(nèi)的點且和原點距離最遠(yuǎn)的直線.此直線經(jīng)過200 和直線 3x + 10y= 300 的交點 A（20,24）.即生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為20t,24t時，大.zmax= 7X 20+ 12X 24= 428（萬元）.變式遷移6某工廠家具車間生產(chǎn) A B型兩類桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成，已知木工做一張A、B型桌子分別需要 1h和2h,漆工油一張 A、B型桌子分別需要 3h和1h ;又知木工、漆工每天工作分別不得 超過8

16、h和9h,而工廠造一張 A、B型桌子分別獲得利潤200元和300元，試問工廠每天應(yīng)生產(chǎn)A、B型桌子各多少張，才能獲得利潤最大？解析 設(shè)每天生產(chǎn) A型桌子x張，B型桌子y張，則x+ 2yw 8,1 3x + yw 9,x 0,目標(biāo)函數(shù)為：z= 2x + 3y,作出可行域如圖中陰影部分所示,把直線I : 2x + 3y = 0的點M,且與原點距離最大，x + 2y = 8,解方程組tI3x+ y = 9,y 0,每天應(yīng)生產(chǎn) A型桌子2張，B型桌子3張才能獲得最大利潤.【教師備課資源】題型七 線性規(guī)劃中的整數(shù)解問題例7某運輸公司有7輛載重量為6噸的A型卡車與4輛載重量為10噸的B型卡車，有9名駕駛員

17、，在 建造某高速公路中，該公司承包了每天至少搬運360噸土方的任務(wù)，已知每輛卡車每天往返的次數(shù)是：A型卡車為8次而B型卡車為6次每輛卡車每天往返的成本費用情況是：A型卡車160元，B型卡車252元，試問：A型卡車與B型卡車每天各出動多少輛時公司成本費用最低.分析 本題考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力及數(shù)形結(jié)合能力解題時一定注意最優(yōu)解是整數(shù)解.解析 設(shè)每天出動的 A型卡車數(shù)為x,則0wx乙每天出動的 B型卡車數(shù)為y,貝U 0y 360,每天公司所花成本費用為z= 160x+ 252y.0W xw 7,0W y W 4,本題即求滿足不等式組x + yw 9,48x + 60y 360.且使z= 160x +

18、 252y取得最小值的非負(fù)整數(shù)x與y的值.不等式組表示的平面區(qū)域，即可行域如圖所示，其可行域為四邊形ABCD區(qū)域(含邊界線段)，它的頂點52是A(2，4)，B(7, 5)，C(7,2)，D(5,4).結(jié)合圖象可知，在四邊形區(qū)域上，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是非負(fù)整數(shù)的點只有 P1(3,4)、P2(4,3)、P3(4,4)、P4(5,2)、P5(5,3)、D(5,4)、P6(6,2)、P7(6,3)、P8(7,1) , C(7,2) 共10個點.作直線 l : 160x + 252y = 0.將I向上方作平行移動，可發(fā)現(xiàn)它與上述的10個點中最先接觸到的點是P4(5,2)，所以在點P4(5,2)處，得到的z

19、的值最小.zmin = 160X 5+ 252X 2= 1304.答：當(dāng)公司每天出動 A型卡車5輛，B型卡車2輛時，工司的成本費用最低變式遷移7x+ 2y8已知x、y滿足約束條件2x+ y 0,所表示的平面區(qū)域為 Dn,設(shè)Dn內(nèi)的整點個數(shù)為 an(n N*)(整點例8設(shè)不等式組*；y 0,呂 nx + 3n,即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點).(1)求數(shù)列an的通項公式；記數(shù)列an的前n項和為Sn,且Tn= 雲(yún)，若對于一切正整數(shù)n,總有Tn0, nx+ 3ny 0,得 0vx v 3,. x= 1 或 x = 2. Dn內(nèi)的整點在直線 x= 1或x= 2上.記直線y= nx+ 3n為I , I與直

20、線x = 1、x= 2的交點的縱坐標(biāo)分別為 y1、y2,則 y1 = n+ 3n= 2n, y2= 2n+3n=n, an= 3n(n N*). tSn= 3(1 + 2 + 3+ n)+i+ 111 + 12n Tn= 2n +1 n + 2 -Tn+ 1 Tn=2n+ 111+1 n2n+ 1,當(dāng) n3 時，TnTn+ 1, 且 T1= 1v T2= T3= |,3 T2, T3是數(shù)列Tn的最大項，故T2=勺點評本題把二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域和數(shù)列綜合在一起，所考查的線性規(guī)劃知識很淺顯, 也很簡單，核心部分則是考查數(shù)列的有關(guān)知識變式遷移8一b已知實系數(shù)一兀二次方程x2 + (1 + a)x + a+ b+ 1 = 0的兩個實根為 x1 , x2，且0v x1 v 1, x2 1，則-a的取值范圍是()1 1 1a. (1, 2) B - ( 1， 2C - ( 2， 2D答案