求二面角平面角的方法

1、尋找二面角的平面角的方法二面角是高中立體幾何中的一個重要內(nèi)容，也是一個難點對于二面角方面的問題，學(xué)生往往無從下手，他們并不是不會構(gòu)造三角形或解三角形，而是沒有掌握尋找二面角的平面角的方法我們試將尋找二面角的平面角的方法歸納為以下六種類型1.1 二面角的相關(guān)概念OABOABl新教材在二面角中給出的定義如下：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.圖1定義只給出二面角的定性描述，關(guān)于二面角的定量刻畫還必須放到二面角的平面角中去研究.教材如下給出了二面角的平面角的概念：二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內(nèi)作射線，則為二面角的平面角.2. 二面角的求解方法對二面角的

2、求解通常是先定位二面角的平面角，從而將三維空間中的求角問題轉(zhuǎn)化為二維空間并可以通過三角形的邊角問題加以解決.定位出二面角為解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，下面就二面角求解的步驟做初步介紹：一、“找”：找出圖形中二面角，若不能直接找到可以通過作輔助線補全圖形定位二面角的平面角二、“證”：證明所找出的二面角就是該二面角的平面角三、“算”：計算出該平面角由于定位二面角的難度較大，對于求解二面角還有一種思路就是繞開定位二面角這一環(huán)節(jié)，通過一些等價的結(jié)論或公式或用空間向量等方法來直接求出二面角的大小.本文將根據(jù)這兩種解題思路對二面角的解題方法做一一介紹.2.1 定位二面角的平面角，求解二面角二面角常見題型中根據(jù)所求兩面

3、是否有公共棱可分為兩類：有棱二面角、無棱二面角.對于前者的二面角的定位通常采用找點、連線或平移等手段來定位出二面角的平面角；而對于無棱二面角我們還必須通過構(gòu)造圖形如延展平面或找公垂面等方法使其有“無棱”而“現(xiàn)棱”再進一步定位二面角的平面角.一、根據(jù)平面角的定義找出二面角的平面角例1 在的二面角的兩個面內(nèi)，分別有和兩點已知和到棱的距離分別為2和4，且線段，試求：（1）直線與棱所構(gòu)成的角的正弦值；（2）直線與平面所構(gòu)成的角的正弦值分析：求解這道題，首先得找出二面角的平面角，也就是找出角在哪兒如果解決了這個問題，這道題也就解決了一半根據(jù)題意，在平面內(nèi)作；在平面內(nèi)作，連結(jié)、可以證明，則由二面角的平面角

4、的定義，可知為二面角的平面角以下求解略例1 正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的大小為 .例2(2006年江蘇試題)如圖2(1)，在正三角形ABCMAFA1QPBCECBPEF圖2(2)圖2(1)Q中，E、F、P分別是AB、AC、BC上的點，滿足AE： EB=CF：FA=CP：BP=1：2.如圖2(2)，將AEF折起到A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，連接A1B、A1P.()與()略；()求二面角B-A1P-F的余弦值tanCOC1=分析與略解：在例1中，圖形的對稱和諧狀態(tài)對解題產(chǎn)生了很好的啟迪作用，在這里更離不開圖形的這種對稱和諧性.若取BP的中點Q，

5、連接EQ，則在正三角形ABC中，很容易證得BEQPEQPEFAEF，那么在圖2(2)中，有A1Q=A1F.作FMA1P于M，連接QH、QF，則易得A1QPA1FP，QMPFMP，所以PMQ=PMF=90o，QMF為二面角B-A1P-F的平面角，使題解取得了突破性的進展.設(shè)正三角形的邊長為3，依次可求得A1P=，QM=FM=，在QMF中，由余弦定理得cosQMF=。PABCDFGPABCDFE2011廣東高考理18.(本小題滿分13分) 如圖5.在錐體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的菱形，且DAB=60，,PB=2, E,F分別是BC,PC的中點.(1) 證明：AD 平面DEF; (2) 求

6、二面角P-AD-B的余弦值.解：(2) 由（1）知為二面角的平面角，在中，；在中，；在中，.PBADC圖3例2 在如圖3所示的三棱錐P-ABC中，AB=AC=PB=PC=2,BC=,PA=.求二面角P-BC-A的大小. 解：作BC中點D，連接PD,AD.因PB=PC=AB=AC，知PDBC,ADBC,又有面PBC與面ABC共棱可得PDA為二面角.P-BC-A的平面角.而AB=2,BC=,易知AD=PD=,在RTPAD中， 所以二面角P-BC-A的大小為.A圖3PBl二、根據(jù)三垂線定理找出二面角的平面角此法最基本的一個模型為：如圖3，設(shè)銳二面角，過面內(nèi)一點P作PA于A，作ABl于B，連接PB，由

7、三垂線定理得PBl，則PBA為二面角的平面角，故稱此法為三垂線法.例2 如圖，在平面內(nèi)有一條直線與平面成，與棱成，求平面與平面的二面角的大小分析：找二面角的平面角，可過作；平面，連結(jié)由三垂線定理可證，則為二面角的平面角總結(jié)：（1）如果兩個平面相交，有過一個平面內(nèi)的一點與另一個平面垂直的垂線，可過這一點向棱作垂線，連結(jié)兩個垂足應(yīng)用三垂線定理可證明兩個垂足的連線與棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角圖4B1AA1BlEF（2）在應(yīng)用三垂線定理尋找二面角的平面角時，注意“作”、“連”、“證”，即“作”、“連結(jié)”、“證明”例3(2006年陜西試題)如圖4，平面平面，=l，A，B，點A在直線l上的射影為

8、A1，點B在l的射影為B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：()略；()二面角A1ABB1的大小.分析與略解：所求二面角的棱為AB，不像圖3的那樣一看就明白的狀態(tài)，但本質(zhì)卻是一樣的，對本質(zhì)的觀察能力反映的是思維的深刻性.作A1EAB1于AB1于E，則可證A1E平面AB1B.過E作EFAB交AB于F，連接A1F，則得A1FAB，A1FE就是所求二面角的平面角.依次可求得AB1=B1B=，A1B=，A1E=，A1F=，則在RtA1EF中，sinA1FE=E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 例2(2009山東卷理) 如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯

9、形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。（1） 證明：直線EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。 證（1）略E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 解（2）因為AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,BCF為正三角形,取CF的中點O,則OBCF,又因為直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以O(shè)B平面CC1F,過O在平面CC1F內(nèi)作OPC1F,垂足為P,連接BP,則OPB為二面角B-FC-C的一個平面角, 在BCF為正三角形中,在

10、RtCC1F中, OPFCC1F, 在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值為.練習(xí)2（2008天津）如圖，在四棱錐中，底面是矩形已知（）證明平面；（）求異面直線與所成的角的大??；（）求二面角的大小分析：本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明AD平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PAB平面ABCD，點P 就是二面角P-BD-A的半平面上的一個點，于是可過點P作棱BD的垂線，再作平面ABCD的垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容，從而可得本解法。（答案：二面角的大小為）例3 在正方體中，為面中心，求二面角的大小.解：在正方體中,且,ADCBM圖5面,故，又面,可知過作于，連接則

11、由三垂線（逆）定理可知為二面角的平面角.不妨令，于是，有,，可得 所以二面角的大小為三、作二面角棱的垂面，垂面與二面角的兩個面的兩條交線所構(gòu)成的角，即為二面角的平面角例3 如圖1，已知為內(nèi)的一點，于點，于點，如果，試求二面角的平面角分析：平面因此只要把平面與平面、的交線畫出來即可證明為的平面角，（如圖2）注意：這種類型的題，如果過作，垂足為，連結(jié)，我們還必須證明，及為平面圖形，這樣做起來比較麻煩例4 已知斜三棱柱中，平面與平面構(gòu)成的二面角的平面角為，平面與平面構(gòu)成的二面角為試求平面與平面構(gòu)成的二面角的大小分析：作三棱柱的直截面，可得，其三個內(nèi)角分別為斜三棱柱的三個側(cè)面兩兩構(gòu)成的二面角的平面角總

12、結(jié)：對棱柱而言，其直截面與各個側(cè)棱的交點所形成的多邊形的各個內(nèi)角，分別為棱柱相鄰側(cè)面構(gòu)成的二面角的平面角P圖5lCBA例4空間的點P到二面角的面、及棱l的距離分別為4、3、，求二面角的大小.分析與略解：如圖5，分別作PA于A，PB于B，則易知l平面PAB，設(shè)l平面PAB=C，連接PC，則lPC.分別在RtPAC、RtPBC中，PC=，PA=4，PB=3，則AC=，BC=.因為P、A、C、B四點共圓，且PC為直徑，設(shè)PC=2R，二面角的大小為.ACGEB圖7分別在PAB、ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos=PA2+PB2-2PAPBcos()，則可解得cos=，=12

13、0o，二面角的大小為120o.例5 如圖7,在正三棱柱中,截面?zhèn)让?若,求平面與平面所成二面角（銳角）的大小.解: 設(shè). 因為面與面重合,由題意面面，而為面與面相交于棱上一點且，所以面為所求二面角的一垂面，為所求二面角的平面角.在正三棱柱中,可知 故所求二面角的大小為.四、平移平面法（無棱的一種）例5 如圖，正方體中，為的中點，為上的點，且設(shè)正方體的棱長為，求平面與底面構(gòu)成的銳角的正切分析：本題中，僅僅知道二面角棱上的一點，在這種情況下，尋找二面角的平面角較困難根據(jù)平面平移不改變它與另一個平面構(gòu)成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一個平面平移，找出輔助平面與另一個平面的交線，就可以作出二面角

14、的平面角有了平面角之后，只需要進行常規(guī)構(gòu)造三角形和解三角形的計算，就可以解決問題了如圖，過點作與相交于點，過點作，與相交于點可證平面平面這樣，求平面與平面的二面角的平面角就轉(zhuǎn)化為求平面與平面的二面角的平面角顯然為這兩個平面的交線，過點作，為垂足，連結(jié)，可證則為本題要尋找的二面角例6（本題關(guān)鍵在利用平移棱AOCBFDE圖8的垂線進行解題）在正三棱柱中,是的中點，,求二面角的大小.解:作且交BD于F,則AE平面，連接,，并記它們的交點為O連接OF，由，知.由知OF,OE，而,RTRT,因此故有可得 ADCBK圖9EFO故二面角的大小為.例7 在棱長為1的正方體中，E是BC的中點，試求面與平面所成二

15、面角的大小.解: 取中點F，連FD,FB;取AD中點K連接AK,BK,AB.顯然,DEBF為平行四邊形.因為AK/FD,KB/DE,知平面AKB/平面DEBF。取AB中點O,連接OK,OA,由AK=BK,AA=BA知，OKAB,OAAB故AOK為二面角的平面角.可得故平面與平面所成二面角的大小為.五、找垂面，作垂線例6 如圖，正方體中，為棱的中點，求平面和平面所構(gòu)成的銳二面角的正切分析：平面與二面角的一個面垂直，與另一個平面相交，過點作，垂足為，過作，交于點，連結(jié)，由三垂線定理可證，則為二面角的平面角總結(jié)：當一個平面與二面角的一個平面垂直，與另一個平面相交時，往往過這個面上的一點作這兩個垂直平

16、面交線的垂線，再過垂足作二面角棱的垂線根據(jù)三垂線定理即可證明，并找出二面角的平面角再如圖，要找所構(gòu)成的二面角的平面角，可找平面，且，過上任何一點作，垂足為，過作，垂足為，連結(jié)，可證為的平面角六、根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)找二面角的平面角1三線合一例7 如圖，空間四邊形中，試求二面角的余弦值分析：如圖1，則和為等腰三角形過作，垂足為，連結(jié)根據(jù)三線合一，且為中點，可證，則為二面角的平面角2全等三角形例8 如圖，已知空間四邊形，試求的余弦值分析：過作，垂足為，連結(jié)根據(jù)已知條件，和全等，可證，則為二面角的平面角3二面角的棱蛻化成一點例9 如圖，四棱錐中，和與面垂直，為正三角形（1）若時，求面與面的夾角；（2）

17、若時，求面與面的夾角分析：如圖，面與面的交線蛻化成一點，但面與面與面相交如果三個平面兩兩相交，它們可能有三種情況：（1）交線為一點；（2）一條交線；（3）三條交線互相平行在圖1中，兩條交線與互相平行，所以肯定有過且平行于的一條交線可過作，平面與平面的交線即為過作于，過作于可證，則為面與面的夾角如圖，與不平行且相交根據(jù)三個平面兩兩相交可能出現(xiàn)的三種情況，這三個面的交線為一點延長、相交于點，連結(jié)即為平面與平面的交線，通過一些關(guān)系可證為平面與平面的夾角通過以上分析和舉例說明，尋找二面角的平面角的方法就比較容易了只要我們勤動腦，善觀察，多總結(jié)，抓住問題的特征，找出適當?shù)姆椒ǎP(guān)于二面角的平面角的問題就

18、會迎刃而解七、 面積法（不作二面角求法）DAM圖6ECBC1A1B1HG如圖1，設(shè)二面角C-BD-C1的大小為，則在RtCOC1中，cos，在某些情況下用此法特別方便.例5 如圖6，平面外的A1B1C1在內(nèi)的射影是邊長為1的正三角形ABC，且AA1=2，BB1=3，CC1=4，求A1B1C1所在的平面與平面所成銳二面角的大小.分析與略解：問題的情境很容易使人想到用面積法，分別在BB1、CC1取BD=CE=AA1，則A1B1C1A1DE，可求得A1B=，A1C1=，B1C1=，所以等腰A1B1C1的面積為，又正ABC的面積為.設(shè)所求二面角的大小為，則cos=例4（2008北京理）如圖，在三棱錐中

19、，（）求證：；（）求二面角的大??；ACBEP分析：本題要求二面角BAPC的大小，如果利用射影面積法解題，不難想到在平面ABP與平面ACP中建立一對原圖形與射影圖形并分別求出S原與S射于是得到下面解法。解：（）證略（），又，又，即，且，平面取中點連結(jié)，是在平面內(nèi)的射影，ACE是ABE在平面ACP內(nèi)的射影，A1D1B1C1EDBCA圖5于是可求得：，則，設(shè)二面角的大小為，則二面角的大小為練習(xí)4： 如圖5，E為正方體ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中點，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成銳角的余弦值.圖13CBAOS分析 平面AB1E與底面A1B1C1D1交線即二面角的棱沒有給出，要找到二

20、面角的平面角，則必須先作兩個平面的交線，這給解題帶來一定的難度?？紤]到三角形AB1E在平面A1B1C1D1上的射影是三角形A1B1C1，從而求得兩個三角形的面積即可求得二面角的大小。（答案：所求二面角的余弦值為cos=）.例10 求正四面體任意兩個面所成二面角的大小.解: 如圖13，正四面體S-ABC,由正四面體的對稱性,不妨求側(cè)面與底面所成二面角的大小.易知 而S的射影為的中心，所以ADCBE圖14F于是有故正四面體任意兩面所成二面角的大小為.例11 如圖14,在正方體中,E為CC中點，F(xiàn)在BB上,且BF=BB,求平面AEF在底面ABCD所成二面角的余弦值.解:如圖14所示，在正方體中，.由

21、射影面積公式知故所求二面角的余弦值為.八、將無棱二面角轉(zhuǎn)化為有棱二面角直接作出無棱二面角的棱，將無棱二面角轉(zhuǎn)化為有棱二面角，按有棱二面角來處理，作棱有兩種常用的方法：作交線，由交點得棱； 作平行線，即為棱. 例3（2008湖南）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，BCD60，E是CD的中點，PA底面ABCD，PA2. （）證明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.分析：本題的平面PAD和平面PBE沒有明確的交線，依本法顯然要補充完整（延長AD、BE相交于點F，連結(jié)PF.）再在完整圖形中的PF.上找一個適合的點形成二面角的平面角解之

22、。（）證略ABCEDPFGH解: （）延長AD、BE相交于點F，連結(jié)PF.過點A作AHPB于H，由（）知平面PBE平面PAB,所以AH平面PBE.在RtABF中，因為BAF60，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰RtPAF中，取PF的中點G，連接AG.則AGPF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，PFHG.所以AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.在等腰RtPAF中， 在RtPAB中， 所以，在RtAHG中， ACBB1C1A1L故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是練習(xí)3已知斜三棱柱ABCA1B1C1的棱長都是a，側(cè)棱與底面成600的角，側(cè)面BCC1B1底面

23、ABC。（1）求證：AC1BC；（2）求平面AB1C1與平面 ABC所成的二面角（銳角）的大小。提示：本題需要補棱，可過A點作CB的平行線L（答案：所成的二面角為45O）如圖11中只現(xiàn)出兩個局部半平面的一個公共點P，圖中沒有給出二面角的棱.此時,若在二面角的兩個半平面內(nèi)各存在一條直線且相互平行,則過P分別作這兩條直線的垂線PQ和PR,則QPR就是二面角的平面角.例9如圖12,P-ABCD為正四棱錐，邊長為,求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值.解: 如圖，過P點作,則.故在P-ABCD中有.FE圖12DCAB所以,.作AB中點E,CD中點F.連接PE,PF.易知PEAB,PE,又PFCD

24、,PF,可知EPF為所求二面角的平面角.由條件PE=PF=，得到故平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為.九、向量法向量法解立體幾何中是一種十分簡捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時，通常要建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標法表示的向量，進行向量計算解題。若二面角兩個半平面,的法向量分別為且知道二面角為銳角（鈍角），則.定理1 設(shè)二面角為，則，有ALMB圖19EAF圖18B文給出另一結(jié)論：定理 2 如圖19，空間任一條直線L,A,B是直線L上的兩個點，M是空間任一點,MNL于N,則AMDCB圖20EFN利用

25、上述兩結(jié)論我們可以利用空間坐標向量計算二面角，避免產(chǎn)生二面角的平面角與其法向量夾角的誤判，同時又避免了對垂足M,N坐標的判斷.例14如圖20,已知正方形ABCD和矩形ACEF坐在平面相垂直，,M是線段EF中點，求二面角A-DF-B的大小.解: 如圖建立空間直角坐標系，則 . 作AMDF于M,BNDF的延長線于N,則所成的角的大小與二面角A-DF-B的大小相等.故二面角A-DF-B的大小為.例12 如圖15,在矩形ABCD外存在一點P，使PA面ABCD，PA=PB=1,BC=2.求二面角B-PC-D的大小.APDCB圖15解:由題意建立如圖空間直角坐標系,則A(0,0,0) P(0,0,1) B(1,0,