導數(shù)中常見零點問題解決方法

1、導數(shù)中的零點問題解決方法解決零點問題，需要采用數(shù)形結合思想，根據(jù)函數(shù)的圖像或者趨勢圖像找出符合題意的條件即可，因此用導數(shù)判斷出單調(diào)性作出函數(shù)圖像或趨勢圖像至關重要。一、能直接分離參數(shù)的零點題目此類問題較為簡單，分離之后函數(shù)無參數(shù)，則可作出函數(shù)的準確圖像，然后上下移動參數(shù)的值，看直線與函數(shù)交點個數(shù)即可。例1.已知函數(shù)，若關于的方程只有一個實數(shù)根，求的值。解析：，令，令，則當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，注意這里的單調(diào)性不是硬解出來的，因為你會發(fā)現(xiàn)的式子很復雜，但是如果把當成兩個函數(shù)的和，即，此時的單調(diào)性和極值點均相同，因此可以整體判斷出的單調(diào)性和極值點。所以（注意：有一個根轉化為圖像只有一個交點

2、即可）二、不能直接分離參數(shù)的零點問題（包括零點個數(shù)問題）這里需要注意幾個轉化，以三次函數(shù)為例，若三次函數(shù)有三個不同的零點，則函數(shù)必定有兩個極值點，且極大值和極小值之積為負數(shù)，例如在區(qū)間上有零點，此時并不能確定零點的個數(shù)，只能說明至少有一個零點，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，只需要用零點存在性定理即可，但是若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則意味著在區(qū)間上存在極值點。在解決此類問題時常用的知識是零點存在定理和極限的相關知識，但必不可少的是求出函數(shù)的趨勢圖像，然后根據(jù)趨勢圖像找符合零點問題的條件即可，這里需要說明一下，參數(shù)影響零點的個數(shù)問題主要有兩個方向，一是參數(shù)影響單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的個數(shù)，二是參數(shù)影響函數(shù)的極值或最值

3、，而通過這兩個方向就可以影響函數(shù)的趨勢圖像，進而影響零點的個數(shù)，因此分類討論思想在此類問題中必不可少。例2.已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是解析：當時，有兩個零點，不符合題意當時，若，則若，則，此時函數(shù)在上單增，此時在上存在零點，不符合題意。當時，若，則，若，則或此時要保證函數(shù)存在唯一的正零點，則，解得注意：如果不是的大題沒必要分類討論，做出符合題意的圖像反推即可例3.已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同零點，求實數(shù)的取值范圍。解析：，可知函數(shù)在上遞減，在上遞增，要保證函數(shù)在上有兩個不同的零點，根據(jù)函數(shù)的趨勢圖像可得必須滿足例4.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若，當函數(shù)有三個不同的零點

4、時，的取值范圍恰好是，求的值。解析：（1）當時，在上單調(diào)遞增 當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； （2）只有當時才有可能滿足有三個零點 因為有兩個極值點，要滿足有三個零點必須滿足，結合可得，因為恰有三個零點時，的取值范圍是 所以題目可以轉化為在上恒成立，且在上恒成立設，對其求導可得在遞增，在遞減，因此圖像必須滿足以下趨勢：所以驗證：當時，函數(shù)有三個不等的實數(shù)根，所以有兩個不相等且不等于-1的實數(shù)根，所以必須滿足綜上，第一問很簡單，但是是解決第二問必要的前提，第二問題目中函數(shù)有三個不同的零點，但是題目中有兩個參數(shù)，類似于雙參數(shù)問題解決方法，最后將兩個參數(shù)中已知

5、的那個作為自變量，然后轉化為恒成立問題即可，三個零點意味著兩個極值的積為負值，然后再根據(jù)不同的的取值轉化為函數(shù)恒成立問題，通過函數(shù)的趨勢圖像即可解出符合題意的條件。但是很多同學缺省最后檢驗的步驟，同時也不理解為什么需要驗證，如果不驗證，則即便滿足有三個零點，此時的的取值范圍也可以不是題目中給出的范圍，注意這個恰字就說明了必須要進行最后的驗證。例6.已知函數(shù)（1）設是函數(shù)的導函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，求的取值范圍。解析：（1）當時，在遞增，當時，令，此時位置不確定因此需要討論Case1:當時，此時在遞減，Case1:當時，此時在上遞增，Case3:當時，即，此時綜上所述（2）本題目隱藏一個條件即，又知，所以如果在區(qū)間內(nèi)有零點，則在內(nèi)至少有兩個極值點或者至少有三個單調(diào)區(qū)間或者說在內(nèi)不可以恒正也不可以恒負。（要好好理解這句話）題目中有兩個參數(shù)，根據(jù)可得，若當或時，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，不符合題意，故只能在內(nèi)取值，此時，且要滿足才可令，根據(jù)單調(diào)性可知，此時成立，因此要保證在上至少有三個單調(diào)區(qū)間，則需要滿足條件題目第二問的關鍵是理解原函數(shù)單調(diào)區(qū)間的個數(shù)和導函數(shù)零點個數(shù)之間的關系，建議同學們在做第二問的時候把相應的圖作出來就明白了?？偨Y：處理零點問題不管是處在函數(shù)