變力做功學(xué)案

1、變力做功問(wèn)題的解法授課人 高海波高中物理教材利用恒力對(duì)物體做功的物理模型推導(dǎo)出功的計(jì)算式。如果力的大小是變化的，那么公式中的F就無(wú)法取值；如果力的方向是變化的，公式中角就無(wú)法取值。因此其公式僅適用于恒力做功過(guò)程，而對(duì)于變力做功問(wèn)題又經(jīng)常出現(xiàn)，那我們?cè)撊绾吻蠼饽?？本文現(xiàn)就計(jì)算變力所做功的方法及到底采用哪種方法進(jìn)行求解作如下闡述。一、化變力為恒力在某些情況下，通過(guò)等效變換可以將變力做功轉(zhuǎn)換成恒力做功，于是可以用求解。例1. 如圖1所示，某人用大小不變的力F拉著放在光滑水平面上的物體。開(kāi)始時(shí)與物體相連的輕繩和水平面間的夾角為，當(dāng)拉力F作用一段時(shí)間后，繩與水平面間的夾角為。已知圖1中的高度是h，繩與滑

2、輪間的摩擦不計(jì)，求繩的拉力FT對(duì)物體所做的功。分析：拉力FT在對(duì)物體做功的過(guò)程中大小不變，但方向時(shí)刻改變，所以這是個(gè)變力做功問(wèn)題。由題意可知，人對(duì)繩做的功等于拉力FT對(duì)物體做的功，且人對(duì)繩的拉力F是恒力，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求恒力做功。由圖1可知，在繩與水平面的夾角由變到的過(guò)程中，拉力F的作用點(diǎn)的位移為：所以繩對(duì)物體做功：圖1 練1. 如圖所示，質(zhì)量為m的滑塊可以在光滑水平面上滑動(dòng)，滑塊與一不可伸長(zhǎng)的輕繩相連，繩跨過(guò)一光滑的定滑輪（滑輪大小不計(jì)），另一端被人拉著，人的拉力大小、方向均不變，大小為，已知滑輪到水平面的高度為，AB的長(zhǎng)度，求滑塊從A被拉到B的過(guò)程中，外力對(duì)它所做的功。二.微元法對(duì)于變力做

3、功，不能直接用進(jìn)行計(jì)算，但是我們可以把運(yùn)動(dòng)過(guò)程分成很多小段，每一小段內(nèi)可認(rèn)為F是恒力，用求出每一小段內(nèi)力F所做的功，然后累加起來(lái)就得到整個(gè)過(guò)程中變力所做的功。這種處理問(wèn)題的方法稱(chēng)為微元法，這種方法具有普通的適用性。在高中階段主要用于解決大小不變、方向總與運(yùn)動(dòng)方向相同或相反的變力做功問(wèn)題。例1如圖1所示，有一臺(tái)小型石磨，某人用大小恒為F，方向始終與磨桿垂直的力推磨。假設(shè)施力點(diǎn)到固定轉(zhuǎn)軸的距離為L(zhǎng)，在使磨轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，推力做了多少功？解析：由于力F方向不斷變化，因此是一個(gè)變力做功問(wèn)題，如果將推力作點(diǎn)的軌跡分成無(wú)限多小段，每一段曲線近似為直線，力F的方向也近似與這一小段的軌跡重合，則每小段均可看

4、作恒力做功過(guò)程。運(yùn)用恒力作功的計(jì)算式求出各小段推力做的功：則轉(zhuǎn)動(dòng)一周過(guò)程中推力做的功：。例2.用水平拉力拉著滑塊沿半徑為的水平圓軌道勻速運(yùn)動(dòng)一周，如圖5141。已知物塊的質(zhì)量為，物塊與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為。求此過(guò)程中摩擦力所做的功。三、力的平均值法通過(guò)求力的平均值，然后求變力的平均力做功的方法，一般是用于力的大小與位移成一維線性關(guān)系的直線運(yùn)動(dòng)中。例1. 用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設(shè)木塊對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘釘入木塊內(nèi)的深度成正比。在鐵錘擊第一次時(shí)，能把鐵釘擊入木塊內(nèi)1cm，問(wèn)擊第二次時(shí)，能擊入多深？（設(shè)鐵錘每次做功都相等）分析與解：鐵錘每次做功都是克服鐵釘阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小與深度成

5、正比。，可用平均阻力來(lái)代替。如圖所示，第一次擊入深度為，平均阻力為，做功為： 第二次擊入深度為到，平均阻力為：位移為做功為：兩次做功相等：解后有：例2、如圖2所示，勁度系數(shù)為的輕質(zhì)彈簧一端固定在墻上，另一端連接一質(zhì)量為的滑塊，靜止在光滑水平面上O點(diǎn)處，現(xiàn)將滑塊從位置O拉到最大位移處由靜止釋放，滑塊向左運(yùn)動(dòng)了s米（）求釋放滑塊后彈簧彈力所做的功。例3 要把長(zhǎng)為的鐵釘釘入木板中，每打擊一次給予的能量為，已知釘子在木板中遇到的阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比，比例系數(shù)為k。問(wèn)此釘子全部進(jìn)入木板需要打擊幾次？四、圖象法表示力隨位移變化規(guī)律的圖象叫做示功圖。其縱坐標(biāo)軸表示作用在物體上的力F，橫坐標(biāo)軸表示力

6、的作用點(diǎn)在力的方向上的位移s。圖象、力軸、位移和由位移決定的與力軸平行的直線所圍成的面積在數(shù)值上等于變力所做的功。例1. 用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設(shè)木塊對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘釘入木塊內(nèi)的深度成正比。在鐵錘擊第一次時(shí)，能把鐵釘擊入木塊內(nèi)1cm，問(wèn)擊第二次時(shí)，能擊入多深？（設(shè)鐵錘每次做功都相等）分析與解：因?yàn)樽枇?，以F為縱坐標(biāo)，F(xiàn)方向上的位移x為橫坐標(biāo)，作出圖象，如圖4所示，函數(shù)線與x軸所夾陰影部分面積的值等于F對(duì)鐵釘做的功。由于兩次做功相等，故有：（面積）即例2. 放在地面上的木塊與一勁度系數(shù)的輕彈簧相連。現(xiàn)用手水平拉彈簧，拉力的作用點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，木塊開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，繼續(xù)拉彈簧，木塊緩慢移動(dòng)了的位移，求上述過(guò)

7、程中拉力所做的功。例3如圖5所示，一個(gè)勁度系數(shù)為的輕彈簧，一端固定在墻壁上，在另一端沿彈簧的軸線施一水平力將彈簧拉長(zhǎng)，求在彈簧由原長(zhǎng)開(kāi)始到伸長(zhǎng)量為x1過(guò)程中拉力所做的功。如果繼續(xù)拉彈簧，在彈簧的伸長(zhǎng)量由x1增大到x2的過(guò)程中，拉力又做了多少功？五、運(yùn)用求解當(dāng)機(jī)車(chē)以恒定功率工作時(shí)，在時(shí)間內(nèi)，牽引力做的功。例1. 質(zhì)量為5t的汽車(chē)以恒定的輸出功率75kW在一條平直的公路上由靜止開(kāi)始行駛，在10s內(nèi)速度達(dá)到10m/s，求摩擦阻力在這段時(shí)間內(nèi)所做的功。分析：汽車(chē)的功率不變，根據(jù)知，隨著速度v的增大，牽引力將變小，不能用求功，但已知汽車(chē)的功率恒定，所以牽引力在這段時(shí)間內(nèi)所做的功再由動(dòng)能定理得：所以例2電

8、動(dòng)機(jī)通過(guò)一繩吊起一質(zhì)量為8kg的物體，繩的拉力不能超過(guò)120N，電動(dòng)機(jī)的功率不能超過(guò)1200W，要將此物體由靜止起，用最快的方式吊高90m所需時(shí)間為多少（已知此物體在被吊高達(dá)90m時(shí)開(kāi)始以最大速度勻速上升）？例3. 質(zhì)量為m的機(jī)車(chē)，以恒定功率從靜止開(kāi)始起動(dòng)，所受阻力是車(chē)重的k倍，機(jī)車(chē)經(jīng)過(guò)時(shí)間t速度達(dá)到最大值v，求機(jī)車(chē)的功率和機(jī)車(chē)所受阻力在這段時(shí)間內(nèi)所做的功。六、動(dòng)能定理法動(dòng)能定理求變力的功是非常方便的，但是必須知道始末兩個(gè)狀態(tài)的物體的速度，以及在中間過(guò)程中分別有那些力對(duì)物體做功，各做了多少功。例1. 如圖1所示，質(zhì)量為m的物體從A點(diǎn)沿半徑為R的粗糙半球內(nèi)表面以的速度開(kāi)始下滑，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度變

9、為，求物體從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，摩擦力所做的功是多少？分析與解：物體由A滑到B的過(guò)程中，受重力G、彈力和摩擦力三個(gè)力的作用，因而有，即，式中為動(dòng)摩擦因數(shù)，v為物體在某點(diǎn)的速度，為物塊與球心的連線與豎直方向的夾角。分析上式可知，物體由A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，摩擦力是變力，是變力做功問(wèn)題，根據(jù)動(dòng)能定理有，在物體由A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，彈力不做功；重力在物體由A運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中對(duì)物體所做的正功與物體從C運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中對(duì)物體所做的負(fù)功相等，其代數(shù)和為零。因此，物體所受的三個(gè)力中摩擦力在物體由A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中對(duì)物體所做的功，就等于物體動(dòng)能的變化量，則有：即例2質(zhì)量為的物塊與轉(zhuǎn)臺(tái)之間能出現(xiàn)的最大靜摩擦力為物

10、塊重力的倍，它與轉(zhuǎn)軸相距R，物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)轉(zhuǎn)速增加到一定值時(shí)，物塊開(kāi)始在轉(zhuǎn)臺(tái)上滑動(dòng)，在物塊由靜止到開(kāi)始滑動(dòng)前的這一過(guò)程中，轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)物塊做的功為多少？例3. 如圖2所示，質(zhì)量的物體從軌道上的A點(diǎn)由靜止下滑，軌道AB是彎曲的，且A點(diǎn)高出B點(diǎn)。物體到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度為，求物體在該過(guò)程中克服摩擦力所做的功。圖2七. 機(jī)械能守恒法例1. 如圖所示，質(zhì)量m為2kg的物體，從光滑斜面的頂端A點(diǎn)以的初速度滑下，在D點(diǎn)與彈簧接觸并將彈簧壓縮到B點(diǎn)時(shí)的速度為零，已知從A到B的豎直高度，求彈簧的彈力對(duì)物體所做的功。分析與解：由于斜面光滑，故機(jī)械能守恒，但彈簧的彈力是變力，彈力對(duì)物體做負(fù)功，彈簧的彈性勢(shì)能增

11、加，且彈力做功的數(shù)值與彈性勢(shì)能的增加量相等。取B所在水平面為零參考面，彈簧原長(zhǎng)處D點(diǎn)為彈性勢(shì)能的零參考點(diǎn)，則對(duì)狀態(tài)A：對(duì)狀態(tài)B：由機(jī)械能守恒定律得：小結(jié)：對(duì)于涉及彈簧彈力做功的試題，一般我們都可以用機(jī)械能守恒定律求功。八. 能量守恒法例1. 如圖所示，一勁度系數(shù)k=800N/m的輕彈簧兩端各焊接著一個(gè)質(zhì)量為m=12kg的物體。A、B豎立靜止在水平地面上，現(xiàn)要加一豎直向上的力F在上面物體A上，使A開(kāi)始向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)0.4s，B剛要離開(kāi)地面。設(shè)整個(gè)過(guò)程彈簧都處于彈性限度內(nèi)（g?。┣螅海?）此過(guò)程中所加外力F的最大值和最小值。（2）此過(guò)程中力F所做的功。分析與解：（1）設(shè)A上升前，彈簧的壓縮量

12、為，B剛要離開(kāi)地面時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為，A上升的加速度為。A原來(lái)靜止時(shí)，因受力平衡，有：設(shè)施加向上的力，使A剛做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的最小拉力為，有：B恰好離開(kāi)地面時(shí)，所需的拉力最大，設(shè)為，對(duì)A有：對(duì)B有：由位移公式，對(duì)A有：由式，得：由式，解得分別解得：（2）力作用的0.4s內(nèi)，在末狀態(tài)有，彈性勢(shì)能相等，由能量守恒知，外力做了功，將其他形式的能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的重力勢(shì)能和動(dòng)能，即：小結(jié)：當(dāng)我們分析一個(gè)物理過(guò)程時(shí)，不僅要看速度、加速度，還要分析能量轉(zhuǎn)化情況。九、功能原理法如果除重力和彈力之外的其他力對(duì)物體也做功，系統(tǒng)的機(jī)械能將不再守恒，而且這些力做了多少功、系統(tǒng)就有多少機(jī)械能發(fā)生轉(zhuǎn)化，這就是功能原理。如果這些力

13、是變力或只有一個(gè)變力做功，而其他力對(duì)物體做的功和系統(tǒng)機(jī)械能的變化量容易求得，就可以用功能原理求解變力做功問(wèn)題。除系統(tǒng)內(nèi)的重力和彈簧彈力之外，其它力做的功等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量，即。例1如圖4所示，一質(zhì)量均勻的不可伸長(zhǎng)的繩索重為G，A、B兩端固定在天花板上，今在最低點(diǎn)C施加一豎直向下的力將繩拉至D點(diǎn)，在此過(guò)程中，繩索AB的重心位置將（ ）A逐漸升高 B逐漸降低C先降低后升高 D始終不變解析：在C點(diǎn)施加的豎直向下的力做了多少功，就有多少其它能轉(zhuǎn)化為繩的機(jī)械能。由于，而，所以，即繩的重力勢(shì)能增加，得知繩重心升高。例2. 將一個(gè)質(zhì)量為m，長(zhǎng)為a，寬為b的矩形物體豎立起來(lái)的過(guò)程中，人至少需要做多少功？十、

14、耗散力做功在曲線運(yùn)動(dòng)或往復(fù)運(yùn)動(dòng)中，滑動(dòng)摩擦力或空氣阻力的大小不變但方向可變，在計(jì)算這些力做功時(shí)，可將其“視為”恒力做功，其功等于力和路程的乘積，而不是力和位移的乘積例1如圖，與為兩個(gè)斜面，分別與一個(gè)光滑的圓弧形軌道相切，圓弧的圓心角為，半徑為，質(zhì)量為的物塊在距地面高為的處無(wú)初速滑下，若物塊與斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)為，求物塊在斜面上（除圓弧外）共能運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)路程分析與解物塊在斜面和上往復(fù)運(yùn)動(dòng)，摩擦力的方向會(huì)發(fā)生變化，由于摩擦阻力做功，物塊每次上滑的高度都在降低當(dāng)物塊在點(diǎn)或點(diǎn)速度為零時(shí)，便在光滑曲面上往復(fù)運(yùn)動(dòng)，高度不再變化設(shè)物塊在斜面上（除圓弧外）運(yùn)動(dòng)的總路程為，以為初位置，或?yàn)槟┪恢茫蓜?dòng)能定理，有0，

15、即（）（2）0，（1（2）（2）十一. 用W=PV一般用來(lái)求解液體或氣體做功的情況，P為壓強(qiáng)，V為液體或氣體推進(jìn)體積，其實(shí)該公式來(lái)源于功的計(jì)算式，設(shè)壓強(qiáng)P的作用面積為S，推進(jìn)的距離為L(zhǎng)，則壓力PS作用距離L時(shí)的功為PSL即PV。例1、成年人正常心跳每分鐘約75次，一次血液循環(huán)中左心室的血壓（可看作心臟壓送血液的壓強(qiáng)）的平均值為1.37104pa ，左、右心室收縮時(shí)射出的血量約為70mL，右心室對(duì)肺動(dòng)脈的壓力約為左心室的1/5，據(jù)此估算心臟工作的平均功率。分析：一次心跳左心室作功W1Pv1.37104701060.954J右心室一次心跳作功W2W10.1918J解得平均功率P十二. 利用W=qU在勻強(qiáng)電場(chǎng)中移動(dòng)電荷的時(shí)候，可以直接根據(jù)恒力做功的公式求解。如果是在非勻強(qiáng)電場(chǎng)