向量空間的定義、例子和子空間

1、教學(xué)目的與要求：理解向量空間的定義 掌握向量空間的性質(zhì),第六章 向量空間 6.1定義和例子,重點：向量空間的定義與性質(zhì) 難點：向量空間的定義 關(guān)鍵：向量空間定義中的兩種運算,講授方式：講授,一定義和例子,1.定義 令 是一個數(shù)域. 中的元素用小寫拉丁字母 來表示.令 是一個非空集合. 中元素用小寫黑體希臘字母 來表示.我們把 中的元素叫做向量而把 中的元素叫做標量.如果下列條件被滿足,就稱 是 上一個向量空間,有一個標量與向量的乘法.對于 中每一個數(shù)和 中每一個向量 ,有 中唯一確定的向量與它們對應(yīng),這個向量叫做 與 的積,并且記作,在 中定義了一個加法。對于 中任意兩個向量 有 中一個唯一確

2、定的向量與它們對應(yīng),這個向量叫做 與 的和,并且記作,向量的加法和標量與向量的乘法滿足下列算律,3)在 中存在一個零向量,記做0,它具有以下性質(zhì)：對于 中每一個向量 ,都有,4) 對于 中每一個向量 ,在 中存在一個向量 ,使得 .這樣的 叫做的 的負向量,這里 是 中任意向量,而 是 F 中任意數(shù),注：向量空間的定義中的兩種運算必須滿足規(guī)定的條件,2.舉例,特別,F上一切 矩陣所成的集合和一切 矩陣所成的集合分別作成F上向量空間.前者成為F上n元行空間，后者稱為F上n元列空間.我們用同一個符號 來表示這兩個向量空間,例2 數(shù)域 上一切 矩陣所成的集合對于矩陣的加法和矩陣的乘法來說作成F上一個

3、向量空間,例3 復(fù)數(shù)域C可以看成實數(shù)域R上的向量空間,事實上，兩個復(fù)數(shù)的和還是一個復(fù)數(shù)；一個實數(shù)與一個復(fù)數(shù)的乘積還是一個復(fù)數(shù).條件 顯然都被滿足,例4 任意數(shù)域C總可以看成它自身上的向量空間,例5 數(shù)域F上一元多項式環(huán) 對于多項式的加法和數(shù)與多項式的乘法來說作成上一個向量空間,例6（補充）（此例的目的是進一步幫助學(xué)生理解向量空間的加法與數(shù)乘運算）.令 是實數(shù)域，V是全體正實數(shù)作成的集合，在V中定義加法為： （實際為數(shù)的普通乘法），再規(guī)定數(shù)乘為 ，則V作成K上的一個線性空間,證明：首先要說明這兩種運算的封閉性,因為V中任意兩個元素的乘積仍在V中,下驗證上述定義的兩種運算滿足8條,3)V中的零向量

4、為1（而不是通常理解的0），因為,同理可驗證也成立，故V作成K上的一個向量空間,注：由例6知向量空間的加法與數(shù)乘是一種抽象的運算，并不是我們通常意義下的加法與數(shù)乘，比如例6中的加法實質(zhì)為數(shù)的普通乘法，而數(shù)乘實質(zhì)為普通數(shù)的乘方運算,要驗證一個非空集合是否作成一個數(shù)域上的向量空間，只須對所給的兩種運算首先判斷其是否封閉.其次，再判斷它們是否滿足8條運算即可,不利用向量空間中加法的可交換性，證明左逆元和左零元也是右逆元和右零元,向量空間定義中的加法交換律可由定義中的其它公理推出（證明見高代選講）. （習(xí)題8）向量空間定義中條件中的8）不能由其余條件推出，即條件,不是顯然的，也不是多余的,例如，令,在

5、V中定義加法如下,在與中定義數(shù)乘如下,可以驗證如上定義的加法與數(shù)乘運算滿足 的其余7條但8）并不滿足，事實上，取,二向量空間的性質(zhì),性質(zhì)1：零向量是唯一的,證明：設(shè)0和 都是向量空間V的零向量，那么根據(jù)零向量的定義，對于 中任意向量 都有,注:通過這種方法要向?qū)W生灌輸這種證明唯一性的方法,性質(zhì)2: 每個向量的負向量是唯一的，且把向量,的唯一的負向量記作,于是,定義向量的差,性質(zhì)3：普通移項規(guī)則成立，即,證明：“”設(shè),設(shè),性質(zhì)4（命題6.1.2,證明（略,三、一些記法,1設(shè)是上向量空間V的n個向量，我們把它們排成一行，寫成了一個以向量為元素 的矩陣,2設(shè) 是數(shù)域F上一個 矩陣，我們定義,實質(zhì)可看

6、成矩陣的乘法,課堂討論與練習(xí)：證明： 不利用向量空間的定義中加法的交換律，證明左逆元和左零元也是右逆元和右零元,作業(yè)：P221 2，3，4，5 思考：P221 6，7,6.2子空間,授課方式：課堂講授 教學(xué)目的： 理解子空間的定義 會判斷一個非空集合是否是子空間 理解子空間的和與交 教學(xué)重點與難點： 子空間的定義 子空間的一些等價刻劃 子空間的和與交,1.子空間的定義：設(shè)V是數(shù)域F上的一個向量空間，W是V的一個非空子集，若W對于V的加法與數(shù)乘作成一個向量空間，則W稱是V的一個子空間（注：給出了W是V的一個子空間的判別方法,2.定理6.2.1 設(shè)W是數(shù)域F上向量空間V的一個非空子集.如果W對于F

7、的加法以及標量與向量的乘法是封閉的，那么W本身也作成F上一個向量空間,注：由1，2知V的子空間W也是F上的一個向量空間，并且一定含有V中的零向量,由定理6.2.1知，要判斷 是否是V的子空間只須驗證加法與數(shù)乘封閉即可,3.例子,例1：零空間，平凡子空間，真子空間,例3：中一切形如,的向量作成的一個子空間,例4：中次數(shù)不超過一個給定的整數(shù)n的多項式全體連同零多項式一起作成 的一個子空間,例5：（補充）數(shù)域F上齊次線性方程組,的全體解向量作成F上的一個線性空間，稱為這個齊次線性方程組的解空間，它是 的一個子空間,下面，我們給出了一個非空集合是否是子空間的判別法則,定理6.2.2 數(shù)域F上向量空間V的一個非空子集W是的一個子空間，必要且只要對于,證 如果W是子空間，那么由于W對于標量與向量的乘法是封閉的，所以對于 都有,又因為W對于F的加法是封閉的，所以,反過來，如果對于任意,這就證明了W對于V的加法以及標量的乘法的封閉性,4子空間的交與和 交：子空間的交仍是子空間（利用定理6.2.2） 推廣到有限、無限子空間的交，結(jié)論仍然成立,即：設(shè) 是向量空間V的一組子空間（個數(shù)可以有限，也可以無限）.令,仍是V的子空間叫做 與 的和,推廣到任意有限個的情形：設(shè),的子空間，則,仍是V的子空間，稱為子空間,注： 子