六年級(jí)奧數(shù)-第四講.幾何-平面部分.教師版

1、第四講 平面幾何部分教學(xué)目標(biāo)：1 熟練掌握五大面積模型2. 掌握五大面積模型的各種變形知識(shí)點(diǎn)撥一、等積模型等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如右圖夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖；反之，如果，則可知直線平行于等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比二、鳥(niǎo)頭定理兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于

2、對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比如圖在中，分別是上的點(diǎn)如圖 (或在的延長(zhǎng)線上，在上)，則 圖 圖三、蝴蝶定理任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)：或者蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問(wèn)題的一個(gè)途徑通過(guò)構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)：；的對(duì)應(yīng)份數(shù)為四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ；所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段

3、的長(zhǎng)度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線長(zhǎng)等于它所對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)的一半相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形五、燕尾定理在三角形中，相交于同一點(diǎn)，那么上述定理給出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因?yàn)楹偷男螤詈芟笱嘧拥奈舶?，所以這個(gè)定理被稱(chēng)為燕尾定理該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個(gè)三角形之中，為三角形中的三角形面積對(duì)應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.

4、典型例題【例 1】 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，1.5，2長(zhǎng)方形EFGH的面積為 _H_G_F_E_D_C_B_A _A_B_C_D_E_F_G_H【解析】 連接DE，DF，則長(zhǎng)方形EFGH的面積是三角形DEF面積的二倍三角形DEF的面積等于正方形的面積減去三個(gè)三角形的面積，,所以長(zhǎng)方形EFGH面積為33【鞏固】如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為厘米，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為厘米，那么長(zhǎng)方形的寬為幾厘米？_A_B_G_C_E_F_D _A_B_G_C_E_F_D【解析】 本題主要是讓學(xué)生會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一

5、半證明：連接(我們通過(guò)把這兩個(gè)長(zhǎng)方形和正方形聯(lián)系在一起)在正方形中，邊上的高，(三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半)同理，正方形與長(zhǎng)方形面積相等 長(zhǎng)方形的寬(厘米)【例 2】 長(zhǎng)方形的面積為36，、為各邊中點(diǎn)，為邊上任意一點(diǎn)，問(wèn)陰影部分面積是多少？【解析】 解法一：尋找可利用的條件，連接、，如下圖： 可得：、，而 即； 而， 所以陰影部分的面積是： 解法二：特殊點(diǎn)法找的特殊點(diǎn)，把點(diǎn)與點(diǎn)重合，那么圖形就可變成右圖： 這樣陰影部分的面積就是的面積，根據(jù)鳥(niǎo)頭定理，則有： 【鞏固】在邊長(zhǎng)為6厘米的正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，將正方形的一組對(duì)邊二等分，另一組對(duì)邊三等分，分別與點(diǎn)連接,求陰影部分面積

6、【解析】 （法1）特殊點(diǎn)法由于是正方形內(nèi)部任意一點(diǎn)，可采用特殊點(diǎn)法，假設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則陰影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個(gè)陰影三角形的面積分別占正方形面積的和，所以陰影部分的面積為平方厘米（法2）連接、由于與的面積之和等于正方形面積的一半，所以上、下兩個(gè)陰影三角形的面積之和等于正方形面積的，同理可知左、右兩個(gè)陰影三角形的面積之和等于正方形面積的，所以陰影部分的面積為平方厘米【例 3】 如圖所示，長(zhǎng)方形內(nèi)的陰影部分的面積之和為70，四邊形的面積為 【解析】 利用圖形中的包含關(guān)系可以先求出三角形、和四邊形的面積之和，以及三角形和的面積之和，進(jìn)而求出四邊形的面積由于長(zhǎng)方形的面積為，所以三角形的面積為

7、，所以三角形和的面積之和為；又三角形、和四邊形的面積之和為，所以四邊形的面積為另解：從整體上來(lái)看，四邊形的面積三角形面積三角形面積白色部分的面積，而三角形面積三角形面積為長(zhǎng)方形面積的一半，即60，白色部分的面積等于長(zhǎng)方形面積減去陰影部分的面積，即，所以四邊形的面積為【鞏固】如圖，長(zhǎng)方形的面積是36，是的三等分點(diǎn)，則陰影部分的面積為 【解析】 如圖，連接根據(jù)蝴蝶定理，所以；，所以又，所以陰影部分面積為：【例 4】 已知為等邊三角形，面積為400，、分別為三邊的中點(diǎn)，已知甲、乙、丙面積和為143，求陰影五邊形的面積(丙是三角形)【解析】 因?yàn)?、分別為三邊的中點(diǎn)，所以、是三角形的中位線，也就與對(duì)應(yīng)的

8、邊平行，根據(jù)面積比例模型，三角形和三角形的面積都等于三角形的一半，即為200根據(jù)圖形的容斥關(guān)系，有，即，所以又，所以【例 5】 如圖，已知，線段將圖形分成兩部分，左邊部分面積是38，右邊部分面積是65，那么三角形的面積是 【解析】 連接，根據(jù)題意可知，；所以，于是：；可得故三角形的面積是40【例 6】 如圖在中，分別是上的點(diǎn)，且，平方厘米，求的面積 【解析】 連接，所以，設(shè)份，則份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米由此我們得到一個(gè)重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比 【鞏固】如圖，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角

9、形的面積等于1，那么三角形的面積是多少？ 【解析】 連接 又，【鞏固】如圖，三角形ABC被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，乙部分面積是甲部分面積的幾倍？ 【解析】 連接，又，【例 7】 如圖在中，在的延長(zhǎng)線上，在上，且，平方厘米，求的面積 【解析】 連接， ，所以，設(shè)份，則份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米由此我們得到一個(gè)重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比【例 8】 如圖，平行四邊形，平行四邊形的面積是， 求平行四邊形與四邊形的面積比 【解析】 連接、根據(jù)共角定理 在和中，與互補(bǔ)，又，所以同理可得，所以所以【例 9

10、】 如圖所示的四邊形的面積等于多少？【解析】 題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長(zhǎng)方形，難以運(yùn)用公式直接求面積.我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法對(duì)圖形實(shí)施變換：把三角形繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使長(zhǎng)為的兩條邊重合，此時(shí)三角形將旋轉(zhuǎn)到三角形 的位置.這樣，通過(guò)旋轉(zhuǎn)后所得到的新圖形是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，且這個(gè)正方形的面積就是原來(lái)四邊形的面積.因此，原來(lái)四邊形的面積為.(也可以用勾股定理)【例 10】 如圖所示，中，以為一邊向外作正方形，中心為，求的面積 【解析】 如圖，將沿著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到達(dá)的位置由于，所以而，所以，那么、三點(diǎn)在一條直線上由于，所以是等腰直角三角形，且斜邊為，所以它的面積為根據(jù)面積比例模型，的面

11、積為【例 11】 如圖，以正方形的邊為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形，、交于已知、的長(zhǎng)分別為、，求三角形的面積 【解析】 如圖，連接，以點(diǎn)為中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置那么，而也是，所以四邊形是直角梯形，且，所以梯形的面積為：()又因?yàn)槭侵苯侨切?，根?jù)勾股定理，所以()那么()，所以()【例 12】 如下圖，六邊形中，且有平行于，平行于，平行于，對(duì)角線垂直于，已知厘米，厘米，請(qǐng)問(wèn)六邊形的面積是多少平方厘米？ 【解析】 如圖，我們將平移使得與重合，將平移使得與重合，這樣、都重合到圖中的了這樣就組成了一個(gè)長(zhǎng)方形，它的面積與原六邊形的面積相等，顯然長(zhǎng)方形的面積為平方厘米，所以六邊形的面積為平方厘米【例

12、13】 如圖，三角形的面積是，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，與交于點(diǎn)則四邊形的面積等于 【解析】 方法一：連接，根據(jù)燕尾定理，, 設(shè)份，則份，份，份，如圖所標(biāo)所以方法二：連接，由題目條件可得到，所以，而所以則四邊形的面積等于【鞏固】如圖，長(zhǎng)方形的面積是平方厘米，是的中點(diǎn)陰影部分的面積是多少平方厘米?【解析】 設(shè)份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示平方厘米.【例 14】 四邊形的對(duì)角線與交于點(diǎn)(如圖所示)如果三角形的面積等于三角形的面積的，且，那么的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的_倍 【解析】 在本題中，四邊形為任意四邊形，對(duì)于這種”不良四邊形”，無(wú)外乎兩種處理方法：利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；通過(guò)畫(huà)輔助

13、線來(lái)改造不良四邊形看到題目中給出條件，這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法又觀察題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個(gè)中介來(lái)改造這個(gè)”不良四邊形”，于是可以作垂直于，垂直于，面積比轉(zhuǎn)化為高之比再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果請(qǐng)老師注意比較兩種解法，使學(xué)生體會(huì)到蝴蝶定理的優(yōu)勢(shì)，從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問(wèn)題解法一：，解法二：作于，于，【鞏固】如圖，四邊形被兩條對(duì)角線分成4個(gè)三角形，其中三個(gè)三角形的面積已知，求：三角形的面積；？【解析】 根據(jù)蝴蝶定理，那么；根據(jù)蝴蝶定理，【例 15】 如圖，平行四邊形

14、的對(duì)角線交于點(diǎn)，、的面積依次是2、4、4和6求：求的面積；求的面積【解析】 根據(jù)題意可知，的面積為，那么和的面積都是，所以的面積為；由于的面積為8，的面積為6，所以的面積為，根據(jù)蝴蝶定理，所以，那么【例 16】 如圖，長(zhǎng)方形中，三角形的面積為平方厘米，求長(zhǎng)方形的面積 【解析】 連接，因?yàn)?，所以因?yàn)椋云椒嚼迕?，所以平方厘米因?yàn)?，所以長(zhǎng)方形的面積是平方厘米【例 17】 如圖，正方形面積為平方厘米，是邊上的中點(diǎn)求圖中陰影部分的面積【解析】 因?yàn)槭沁吷系闹悬c(diǎn)，所以，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道，設(shè)份，則 份，所以正方形的面積為份，份，所以，所以平方厘米【鞏固】在下圖的正方形中，是邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，

15、三角形的面積為1平方厘米，那么正方形面積是 平方厘米【解析】 連接，根據(jù)題意可知，根據(jù)蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米) 【例 18】 已知是平行四邊形，三角形的面積為6平方厘米則陰影部分的面積是 平方厘米【解析】 連接由于是平行四邊形，所以，根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以(平方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，陰影部分面積為(平方厘米)【鞏固】右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米 【分析】 連接由于與是平行的，所以也是梯形，那么根據(jù)蝴蝶定理，故，所以(平方厘米)【鞏固】右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所

16、示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米【解析】 連接由于與是平行的，所以也是梯形，那么根據(jù)蝴蝶定理，故，所以(平方厘米)另解：在平行四邊形中，(平方厘米)，所以(平方厘米)，根據(jù)蝴蝶定理，陰影部分的面積為(平方厘米)【例 19】 如圖，長(zhǎng)方形被、分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形的面積為_(kāi)平方厘米 【解析】 連接、四邊形為梯形，所以，又根據(jù)蝴蝶定理，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)那么長(zhǎng)方形的面積為平方厘米，四邊形的面積為(平方厘米)【例 20】 如圖，是等腰直角三角形，是正方形，線段與相交于點(diǎn)已知正方形的面積48，則的面積是多少？【解析】 由

17、于是正方形，所以與平行，那么四邊形是梯形在梯形中，和的面積是相等的而，所以的面積是面積的，那么的面積也是面積的由于是等腰直角三角形，如果過(guò)作的垂線，為垂足，那么是的中點(diǎn)，而且，可見(jiàn)和的面積都等于正方形面積的一半，所以的面積與正方形的面積相等，為48那么的面積為【例 21】 下圖中，四邊形都是邊長(zhǎng)為1的正方形，、分別是，的中點(diǎn)，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，那么，的值等于 【解析】 左、右兩個(gè)圖中的陰影部分都是不規(guī)則圖形，不方便直接求面積，觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖中的空白部分面積都比較好求，所以可以先求出空白部分的面積，再求陰影部分的面積如下圖所示，在左圖中連接設(shè)與的交點(diǎn)為左圖中

18、為長(zhǎng)方形，可知的面積為長(zhǎng)方形面積的，所以三角形的面積為又左圖中四個(gè)空白三角形的面積是相等的，所以左圖中陰影部分的面積為如上圖所示，在右圖中連接、設(shè)、的交點(diǎn)為可知且那么三角形的面積為三角形面積的，所以三角形 的面積為，梯形的面積為在梯形中，由于，根據(jù)梯形蝴蝶定理，其四部分的面積比為：，所以三角形的面積為，那么四邊形的面積為而右圖中四個(gè)空白四邊形的面積是相等的，所以右圖中陰影部分的面積為那么左圖中陰影部分面積與右圖中陰影部分面積之比為，即，那么【例 22】 如圖， 中，互相平行，則 【解析】 設(shè)份，根據(jù)面積比等于相似比的平方，所以，因此份，份，進(jìn)而有份，份，所以【鞏固】如圖，平行，且，求的長(zhǎng)【解析

19、】 由金字塔模型得，所以【鞏固】如圖， 中，互相平行，則 【解析】 設(shè)份，因此份，進(jìn)而有份，同理有份，份，份所以有【例 23】 如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，是邊的中點(diǎn)，是邊上的點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)，求【解析】 方法一：連接，延長(zhǎng)，兩條線交于點(diǎn)，構(gòu)造出兩個(gè)沙漏，所以有，因此，根據(jù)題意有，再根據(jù)另一個(gè)沙漏有，所以方法二：連接，分別求，根據(jù)蝴蝶定理，所以【例 24】 如圖所示，已知平行四邊形的面積是1，、是、的中點(diǎn)， 交于，求的面積 【解析】 解法一：由題意可得，、是、的中點(diǎn)，得，而，所以，并得、是的三等分點(diǎn)，所以，所以，所以，；又因?yàn)?，所?解法二：延長(zhǎng)交于，如右圖， 可得，從而可以確定的點(diǎn)的位置，

20、，(鳥(niǎo)頭定理)， 可得【例 25】 如圖，為正方形，且，請(qǐng)問(wèn)四邊形的面積為多少？ 【解析】 (法)由，有，所以，又，所以，所以，所以占的，所以(法)如圖，連結(jié)，則(，而，所以，()而()，因?yàn)?，所以，則()，陰影部分面積等于()【例 26】 如右圖，三角形中，求【解析】 根據(jù)燕尾定理得 （都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是把的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見(jiàn)不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！【鞏固】如右圖，三角形中，求.【解析】 根據(jù)燕尾定理得 （都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以【鞏固】如右圖，三角形

21、中，求.【解析】 根據(jù)燕尾定理得 （都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是把的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見(jiàn)不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！【例 27】 如右圖，三角形中，且三角形的面積是，則三角形的面積為_(kāi)，三角形的面積為_(kāi)，三角形的面積為_(kāi) 【分析】 連接、由于，所以，故；根據(jù)燕尾定理，所以，則，；那么；同樣分析可得，則，所以，同樣分析可得，所以，【鞏固】 如右圖，三角形中，且三角形的面積是，求三角形的面積【解析】 連接BG，份根據(jù)燕尾定理，得(份)，(份)，則(份)，因此,同理連接AI、CH得,所以三角

22、形GHI的面積是1，所以三角形ABC的面積是19【鞏固】如圖，中，那么的面積是陰影三角形面積的 倍 【分析】 如圖，連接根據(jù)燕尾定理，所以，那么，同理可知和的面積也都等于面積的，所以陰影三角形的面積等于面積的，所以的面積是陰影三角形面積的7倍【鞏固】如圖在中，,求的值【解析】 連接BG,設(shè)1份，根據(jù)燕尾定理,得(份)，(份),則(份)，因此,同理連接AI、CH得,所以【點(diǎn)評(píng)】如果任意一個(gè)三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上的圖形，雖然形狀千變?nèi)f化，但面積是相等的，這在這講里面很多題目都是用“同理得到”的，即再重復(fù)一次解題思路，因此我們有對(duì)稱(chēng)法作輔助線.【例 28】 如圖，三角形的面

23、積是，三角形被分成部分，請(qǐng)寫(xiě)出這部分的面積各是多少? 【解析】 設(shè)BG與AD交于點(diǎn)P，BG與AE交于點(diǎn)Q，BF與AD交于點(diǎn)M，BF與AE交于點(diǎn)N連接CP，CQ，CM，CN根據(jù)燕尾定理，設(shè)(份)，則(份)，所以同理可得，,而，所以，同理，,所以，,【鞏固】如圖，的面積為1，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，那么四邊形的面積是多少？ 【解析】 連接、根據(jù)燕尾定理，所以，那么，類(lèi)似分析可得又，可得那么，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可知四邊形的面積也為，那么四邊形周?chē)膱D形的面積之和為，所以四邊形的面積為【例 29】 右圖，中，是的中點(diǎn)，、是邊上的四等分點(diǎn)，與交于，與交于，已知的面積比四邊形的面積大平方厘米，則

24、的面積是多少平方厘米？【解析】 連接、根據(jù)燕尾定理，所以；再根據(jù)燕尾定理，所以，所以，那么，所以根據(jù)題意，有，可得(平方厘米)【例 30】 如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA 的三等分點(diǎn),求陰影部分面積. 【解析】 三角形在開(kāi)會(huì)，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI與CD的交點(diǎn)為M，AF與CD的交點(diǎn)為N，BI與AF的交點(diǎn)為P,BI與CE的交點(diǎn)為Q,連接AM、BN、CP求：在中，根據(jù)燕尾定理，設(shè)(份)，則(份),(份),(份),所以，所以,所以,同理可得另外兩個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積也分別是面積的求：在中，根據(jù)燕尾定理,所以,同理在中，根據(jù)燕

25、尾定理,所以，所以同理另外兩個(gè)五邊形面積是面積的，所以【例 31】 如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA 的三等分點(diǎn),求中心六邊形面積.【解析】 設(shè)深黑色六個(gè)三角形的頂點(diǎn)分別為N、R、P、S、M、Q，連接CR在中根據(jù)燕尾定理，,所以,同理,所以，同理根據(jù)容斥原理，和上題結(jié)果課后練習(xí)：練習(xí)1. 已知的面積為平方厘米，求的面積【解析】 ，設(shè)份，則份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米練習(xí)2. 如圖，四邊形的面積是平方米，求四邊形的面積 【解析】 連接由共角定理得，即同理，即所以連接，同理可以得到所以平方米練習(xí)3. 正方形的面積是120平方厘米，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，四邊形的面積是 平方厘米 【解析】 欲求四邊形的面積須求出和的面積由題意可得到：，所以可得：將、延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可得：，而，得，而，所以 本題也可以用蝴蝶定理來(lái)做，連接，確定的位置(也就是)，同樣也能解出練習(xí)4. 如圖，已知，則 【解析】 將三角形繞點(diǎn)和點(diǎn)分別順時(shí)針和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，構(gòu)成三角形和，再連接，顯然，所以是正方形三角形和三角形關(guān)于正方形的中心中心對(duì)稱(chēng)，在中心對(duì)稱(chēng)圖形中有如下等量關(guān)系：；所以練習(xí)5. 如圖，正方形的面積是平方厘米，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，四邊形 的面