任意四邊形梯形與相似模型題庫(kù)學(xué)生版

1、任意四邊形、梯形與相似模型例題精講板塊一 任意四邊形模型任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)：或者蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系【例 1】 (小數(shù)報(bào)競(jìng)賽活動(dòng)試題)如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD，被對(duì)角線AC、BD分成四個(gè)部分，AOB面積為1平方千米，BOC面積為2平方千米，COD的面積為3平方千米，公園由陸地面積是692平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？【鞏固】如圖，四邊形被兩條對(duì)角線分成4個(gè)三角形，其中三個(gè)三角形的面積已

2、知，求：三角形的面積；？【例 2】 四邊形的對(duì)角線與交于點(diǎn)(如圖所示)如果三角形的面積等于三角形的面積的，且，那么的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的_倍 【例 3】 如圖，平行四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)，、的面積依次是2、4、4和6求：求的面積；求的面積【例 4】 圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對(duì)角線把它分成了4個(gè)小三角形，其中2個(gè)小三角形的面積分別是6公頃和7公頃那么最大的一個(gè)三角形的面積是多少公頃？【例 5】 (2008年清華附中入學(xué)測(cè)試題)如圖相鄰兩個(gè)格點(diǎn)間的距離是1，則圖中陰影三角形的面積為 【鞏固】如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都是1，求三角形的面積【例 6】 (2007年人大附中考題)如圖，邊長(zhǎng)為1的正

3、方形中，求三角形的面積【例 7】 如圖，長(zhǎng)方形中，三角形的面積為平方厘米，求長(zhǎng)方形的面積【例 8】 如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為10厘米，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，求三角形的面積 【例 9】 如圖，在中，已知、分別在邊、上，與相交于,若、和的面積分別是3、2、1，則的面積是 【例 10】 (2009年迎春杯初賽六年級(jí))正六邊形的面積是2009平方厘米，分別是正六邊形各邊的中點(diǎn)；那么圖中陰影六邊形的面積是 平方厘米板塊二 梯形模型的應(yīng)用梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)：；的對(duì)應(yīng)份數(shù)為梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道，通過構(gòu)造模型，直接應(yīng)用結(jié)論，往往在題目中有事半功

4、倍的效果(具體的推理過程我們可以用將在第九講所要講的相似模型進(jìn)行說明)【例 11】 如圖，求梯形的面積【鞏固】(2006年南京智力數(shù)學(xué)冬令營(yíng))如下圖，梯形的平行于，對(duì)角線，交于，已知與的面積分別為 平方厘米與平方厘米，那么梯形的面積是_平方厘米 【例 12】 梯形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，已知梯形上底為2，且三角形的面積等于三角形面積的，求三角形與三角形的面積之比 【例 13】 (第十屆華杯賽)如下圖，四邊形中，對(duì)角線和交于點(diǎn)，已知，并且，那么的長(zhǎng)是多少？【例 14】 梯形的下底是上底的倍，三角形的面積是，問三角形的面積是多少？【鞏固】如圖，梯形中，、的面積分別為和，求梯形的面積【例 15】 如下圖，

5、一個(gè)長(zhǎng)方形被一些直線分成了若干個(gè)小塊，已知三角形的面積是，三角形的面積是，求四邊形的面積【鞏固】(人大附中入學(xué)測(cè)試題)如圖，長(zhǎng)方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5，四邊形2的面積為36，則三角形1的面積為_【例 16】 如圖，正方形面積為平方厘米，是邊上的中點(diǎn)求圖中陰影部分的面積【鞏固】在下圖的正方形中，是邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，三角形的面積為1平方厘米，那么正方形面積是 平方厘米【例 17】 如圖面積為平方厘米的正方形中，是邊上的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積【例 18】 如圖，在長(zhǎng)方形中，厘米，厘米，求陰影部分的面積【例 19】 (2008年”奧數(shù)網(wǎng)杯”六年級(jí)試題)已知是平行四邊形

6、，三角形的面積為6平方厘米則陰影部分的面積是 平方厘米【鞏固】右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米【鞏固】(2008年三帆中學(xué)考題)右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米【例 20】 如圖所示，、將長(zhǎng)方形分成4塊，的面積是5平方厘米，的面積是10平方厘米問：四邊形的面積是多少平方厘米？【鞏固】如圖所示，、將長(zhǎng)方形分成4塊，的面積是4平方厘米，的面積是6平方厘米問：四邊形的面積是多少平方厘米？【鞏固】(98迎春杯初賽)如圖，長(zhǎng)方形中，陰影部分是直角三角形且面積為，的長(zhǎng)是， 的長(zhǎng)是

7、.那么四邊形的面積是多少？【例 21】 (2007年”迎春杯”高年級(jí)初賽)如圖，長(zhǎng)方形被、分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形的面積為_平方厘米【例 22】 (98迎春杯初賽)如圖，長(zhǎng)方形中，是直角三角形且面積為54，的長(zhǎng)是16，的長(zhǎng)是9那么四邊形的面積是 【例 23】 如圖，是等腰直角三角形，是正方形，線段與相交于點(diǎn)已知正方形的面積48，則的面積是多少？【例 24】 如圖所示，是梯形，面積是，的面積是9，的面積是27那么陰影面積是多少？【例 25】 如圖，正六邊形面積為，那么陰影部分面積為多少？【例 26】 如圖，已知是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)三角形由這6部

8、分組成，其中比多6平方厘米那么三角形的面積是多少平方厘米？【例 27】 如圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形中，放入一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，保持與原正方形的邊平行，現(xiàn)在分別連接大正方形的一個(gè)頂點(diǎn)與小正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分的面積為 【例 28】 如圖，在正方形中，、分別在與上，且，連接、，相交于點(diǎn)，過作、得到兩個(gè)正方形和，設(shè)正方形的面積為，正方形的面積為，則_ 【例 29】 如下圖，在梯形中，與平行，且，點(diǎn)、分別是和的中點(diǎn)，已知陰影四邊形的面積是54平方厘米，則梯形的面積是 平方厘米【例 30】 (2006年“迎春杯”高年級(jí)組決賽)下圖中，四邊形都是邊長(zhǎng)為1的正方形，、分別是

9、，的中點(diǎn)，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，那么，的值等于 板塊三 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ；所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線長(zhǎng)等于它所對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)的一半相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線

10、而出現(xiàn)的相似三角形【例 31】 如圖，已知在平行四邊形中，那么的長(zhǎng)度是多少？【例 32】 如圖，測(cè)量小玻璃管口徑的量具，的長(zhǎng)為厘米，被分為等份如果小玻璃管口正好對(duì)著量具上等份處(平行)，那么小玻璃管口徑是多大？ 【例 33】 如圖，平行，若，那么_【例 34】 如圖， 中，互相平行，則 【鞏固】如圖，平行，且，求的長(zhǎng)【鞏固】如圖， 中，互相平行，則 【例 35】 已知中，平行，若，且比大，求【例 36】 如圖：平行， ，求的長(zhǎng)度【鞏固】如圖，已知平行，那么_【例 37】 如圖，中，與平行，的面積是1平方厘米那么的面積是 平方厘米【例 38】 在圖中的正方形中，分別是所在邊的中點(diǎn)，的面積是面積的

11、幾倍？【例 39】 如圖，線段與垂直，已知，那么圖中陰影部分面積是多少？【例 40】 (年第二屆兩岸四地”華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請(qǐng)賽)如圖，四邊形和都是平行四邊形，四邊形的面積是，則四邊形的面積_【例 41】 已知三角形的面積為，是的中點(diǎn)，且，交于，求陰影部分的面積 【例 42】 已知正方形，過的直線分別交、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、，且，求正方形的邊長(zhǎng)【例 43】 如圖，三角形是一塊銳角三角形余料，邊毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在、上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？ 【鞏固】如圖，在中，有長(zhǎng)方形，、在上，、分別在、上，是 邊的高，交于，厘米，厘米，求長(zhǎng)方形

12、的長(zhǎng)和寬【例 44】 圖中是邊長(zhǎng)為的正方形，從到正方形頂點(diǎn)、連成一個(gè)三角形，已知這個(gè)三角形在上截得的長(zhǎng)度為，那么三角形的面積是多少？【例 45】 如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形兩邊長(zhǎng)分別延長(zhǎng)和，割出圖中的陰影部分，求陰影部分的面積是多少？【例 46】 (2008年101中學(xué)考題)圖中的大小正方形的邊長(zhǎng)均為整數(shù)(厘米)，它們的面積之和等于52平方厘米，則陰影部分的面積是 【例 47】 如圖，是矩形一條對(duì)角線的中點(diǎn)，圖中已經(jīng)標(biāo)出兩個(gè)三角形的面積為和，那么陰影部分的一塊直角三角形的面積是多少？【例 48】 已知長(zhǎng)方形的面積為厘米，是的中點(diǎn)，、是邊上的三等分點(diǎn)，求陰影的面積是多少厘米？【例 49】 是平行

13、四邊形，面積為72平方厘米，、分別為、的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為 平方厘米 【例 50】 如圖，三角形的面積是8平方厘米，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是6厘米，寬是4厘米，是的中點(diǎn)，則三角形的面積是 平方厘米【例 51】 如圖，長(zhǎng)方形中，為的中點(diǎn)，與、分別交于、，垂直于，交于，已知，求【例 52】 右圖中正方形的面積為1， 、分別為、的中點(diǎn)，求陰影部分的面積 【例 53】 梯形的面積為12，為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于，四邊形 的面積是 【例 54】 如圖，三角形的面積為60平方厘米，、分別為各邊的中點(diǎn)，那么陰影部分的面積是 平方厘米【例 55】 如圖,是直角梯形，那么梯形的面積是多少?【例 56】 邊長(zhǎng)為厘米和厘米的兩個(gè)正方形并放在一起，那么圖中陰影三角形的面積是多少平方厘米？【例 57】 如右圖，長(zhǎng)方形中，求的長(zhǎng)【例 58】 (第屆迎春杯試題)如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，是邊的中點(diǎn)，是邊上的點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)，求【例 59】 如圖所示，已知平行四邊形的面積是1，、是、的中點(diǎn)， 交于，求的面積 【例 60】