第3章幾種常見(jiàn)的概率分布律

1、31.01.2021,1,第三章 幾種常見(jiàn)的概率分布律,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,2,學(xué)習(xí)目標(biāo),1、了解離散型隨機(jī)變量的概率分布 2、了解連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布 3、學(xué)會(huì)用統(tǒng)計(jì)表和excel計(jì)算分布的概率,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,3,生物學(xué)中常見(jiàn)的離散性概率分布,二項(xiàng)分布 、泊松分布,生物學(xué)中常見(jiàn)的連續(xù)性概率分布 3、正態(tài)分布,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,4,3.1 二項(xiàng)分布,3.1.1 二項(xiàng)分布的概率函數(shù) 3.1.2 服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的特征數(shù) 3.1.3 二項(xiàng)分布應(yīng)用實(shí)例,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)

2、院 彭宇,5,3.1.1 二項(xiàng)分布的概率函數(shù),在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，總體的某個(gè)性狀每一次試驗(yàn)只有非此即彼兩個(gè)可能結(jié)果(生男、生女；藥物有效或者無(wú)效)，這種非此即彼事件所構(gòu)成的總體叫二項(xiàng)總體，也叫0，1總體。 當(dāng)每次獨(dú)立的從二項(xiàng)總體抽取n個(gè)個(gè)體，這n個(gè)個(gè)體：“此”事件出現(xiàn)的次數(shù)x可能有0、1、2、.n,共有n+1種,這n+1種可能性有它各自的概率，組成一個(gè)分布,此分布叫二項(xiàng)概率分布或簡(jiǎn)稱二項(xiàng)分布。二項(xiàng)分布是一種離散型分布,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,6,3.1.1 二項(xiàng)分布的概率函數(shù),二項(xiàng)分布滿足下列條件: 一次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果，即“成功”和“失敗” “成功”是指我們感興趣

3、的某種特征 一次試驗(yàn)“成功”的概率為 ，失敗的概率為1 ，且概率對(duì)每次試驗(yàn)都是相同的 試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，并可以重復(fù)進(jìn)行n次 在n次試驗(yàn)中，“成功”的次數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)離散型隨機(jī)變量x,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,7,3.1.1 二項(xiàng)分布的概率函數(shù),例3.1：從雌雄各半的100只動(dòng)物中抽樣，抽樣共進(jìn)行10次，問(wèn)其中包括3只雄性動(dòng)物的概率是多少？包括3只及3只以下的概率是多少？即求p（x3）和p（x3）=f(x)。 該例符合二項(xiàng)分布的條件,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,8,3.1.1 二項(xiàng)分布的概率函數(shù),先了解以下一組符號(hào)： n 試驗(yàn)次數(shù) x 在n次試驗(yàn)中事件a

4、出現(xiàn)的次數(shù) 事件a發(fā)生的概率(每次試驗(yàn)都是恒定的) 1 事件 發(fā)生的概率 p(x) = “x的概率函數(shù)”p(xx) f(x) = p(xx),31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,9,3.1.1 二項(xiàng)分布的概率函數(shù),上例中：n = 10，x = 3， = 0.5，求p(3) 和f(3)。在一次抽樣中抽到的結(jié)果為：mmmfffffff，它的概率為 p(mmmfffffff ) = 3(1 )7抽到3雄7雌的數(shù)目相當(dāng)于從10個(gè)元素中抽出3個(gè)元素的組合數(shù) ，因此抽到3只雄性動(dòng)物的概率為,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,10,3.1.1 二項(xiàng)分布的概率函數(shù),對(duì)于任意n和x

5、有以下通式： 其中,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,11,3.1.1 二項(xiàng)分布的概率函數(shù),上式稱為二項(xiàng)分布的概率函數(shù)。該式是牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)后的第x + 1項(xiàng)，因而產(chǎn)生“二項(xiàng)分布”這一名稱。因?yàn)?+(1 )1，所以,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,12,3.1.1 二項(xiàng)分布的概率函數(shù),將x0,1,2,3，代入二項(xiàng)分布概率函數(shù)，可以得出：出現(xiàn)0、1、2和3只雄性動(dòng)物的概率（ n = 10; x =0,1,2, 3; = 0.5） p（0） 0.0009766 p（1） 0.0097656 p（2） 0.0439453 p（3） 0.1171876 抽到3只和3只

6、以下雄性動(dòng)物的概率為： f（3）=p(x3)p（0）p（1）p（2）p（3）0.1718751,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,13,3.1.2 服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的特征數(shù),總體平均數(shù)：n 以比率表示時(shí): 總體方差：2n （1 ） 以比率表示時(shí),31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,14,二項(xiàng)分布 (用excel計(jì)算概率,第1步：進(jìn)入excel表格界面，將鼠標(biāo)停留在某一空白單元格 第2步：在excel表格界面中，直接點(diǎn)擊“f(x)”(插入函數(shù))命令 第3步：在復(fù)選框“函數(shù)分類”中點(diǎn)擊“統(tǒng)計(jì)”選項(xiàng)，在“函數(shù)名” 中點(diǎn)擊“binomdist”選項(xiàng)，然后確定 第4步

7、：在number_s后填入試驗(yàn)成功次數(shù)(本例為3) 在trials后填入總試驗(yàn)次數(shù)(本例為10) 在probability_s后填入試驗(yàn)的成功概率(本例為0.5) 在cumulative后填入0(或false)，表示計(jì)算成功次 數(shù)恰好等于指定數(shù)值的概率；填入1（或true）表 示計(jì)算成功次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累積概率值,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,15,3.1.3 二項(xiàng)分布應(yīng)用實(shí)例,例1 以雜合基因型wvwv的小鼠為父本，隱性純合子小鼠wvwv為母本雜交（wv波浪毛，wv直毛），后代兩種基因型的數(shù)目應(yīng)各占一半。實(shí)驗(yàn)只選8只的，多于8只和少于8只的都淘汰。利用下面的公式或

8、者excel 可以計(jì)算直毛后代出現(xiàn)的概率： 結(jié)果列在下表中,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,16,3.1.3 二項(xiàng)分布應(yīng)用實(shí)例,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,17,3.1.3 二項(xiàng)分布應(yīng)用實(shí)例,樣本平均數(shù)、總體平均數(shù)；樣本方差、總體方差如下,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,18,3.1.3 二項(xiàng)分布應(yīng)用實(shí)例,例2 遺傳學(xué)中單因子雜交rrrr，f1代為rr，f1自交，f2基因型比符合二項(xiàng)分布。在f2中p（r） 1/2，p（r）1 1/2，n2。展開(kāi)二項(xiàng)式,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,19,3.1.3 二項(xiàng)分布應(yīng)用實(shí)例,

9、對(duì)于兩對(duì)獨(dú)立因子，n4,r, y,r, y,4顯,顯,隱,顯,隱,隱,隱,顯,rryy與rryy雜交后，f2代基因型rryy。 f2自交,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,20,3.2 泊松分布,3.2.1 泊松分布的概率函數(shù) 3.2.2 服從泊松分布的隨機(jī)變量的特征數(shù) 3.2.3 泊松分布應(yīng)用實(shí)例,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,21,3.2.1 泊松分布的概率函數(shù),泊松分布于1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松(d.poisson，1781-1840)首次提出，用于描述在一指定時(shí)間范圍內(nèi)或在一定的長(zhǎng)度、面積、體積之內(nèi)每一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布。 這個(gè)分布常與稀有事件相聯(lián)

10、系,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,22,3.2.1 泊松分布的概率函數(shù),泊松分布的例子： 一段時(shí)間（比如1年）內(nèi)，傷寒發(fā)燒的死亡人數(shù) 一定面積的培養(yǎng)基上，某種稀有細(xì)菌出現(xiàn)的個(gè)數(shù) 顯微鏡視野內(nèi)染色體有變異的細(xì)胞計(jì)數(shù) 由突變而引起的遺傳病患者的分布 田間小區(qū)內(nèi)出現(xiàn)變異植株的計(jì)數(shù) 作物種子內(nèi)雜草的計(jì)數(shù) 單位容積的水或牛奶中細(xì)菌數(shù)目的分布,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,23,3.2.1 泊松分布的概率函數(shù),在二項(xiàng)分布中，當(dāng)某事件出現(xiàn)的概率特別?。?0），而樣本含量又很大（n）時(shí)，二項(xiàng)分布就變成泊松分布了。 泊松分布的概率函數(shù)由二項(xiàng)分布推導(dǎo)獲得，其概率函數(shù)公式為,

11、31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,24,3.2.2 服從泊松分布的隨機(jī)變量的特征數(shù),泊松分布的總體平均數(shù)： 可見(jiàn)，泊松分布的平均數(shù)就是泊松分布概率函數(shù)中的。 泊松分布的總體方差：2 概率函數(shù)中的不但是它的平均數(shù)，而且是它的方差,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,25,3.2.3 泊松分布應(yīng)用實(shí)例,例1 在麥田中，平均每10m2有一株雜草，問(wèn)每100m2麥田中，有0株、1株、2株、雜草的概率是多少？ 解： 先求出每100m2麥田中，平均雜草數(shù) 100/10 10株 將代入泊松分布的概率分布函數(shù)中， p(x) = 10 x/x!e10, 即可求出x 0，1，2， 時(shí)

12、所相應(yīng)的概率,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,26,泊松分布 (用excel計(jì)算概率,第1步：進(jìn)入excel表格界面，將鼠標(biāo)停留在某一空白單元格 第2步：在excel表格界面中，直接點(diǎn)擊“f(x)”(插入函數(shù))命令 第3步：在復(fù)選框“函數(shù)分類”中點(diǎn)擊“統(tǒng)計(jì)”選項(xiàng)，并在“函數(shù)名”中點(diǎn)擊“poisson ”選項(xiàng)，然后確定 第4步：在x后填入事件出現(xiàn)的次數(shù)(本例為5) 在means后填入泊松分布的均值(本例為10) 在cumulative后填入0(或false)，表示計(jì)算成功次 數(shù)恰好等于指定數(shù)值的概率(填入1或true表示計(jì)算 成功次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累積概率值,31.01.

13、2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,27,3.2.3 泊松分布應(yīng)用實(shí)例,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,28,3.2.3 泊松分布應(yīng)用實(shí)例,泊松分布在生物學(xué)研究中有廣泛的應(yīng)用： 在生物學(xué)研究中，有許多小概率事件，其發(fā)生概率 往往小于0.1，甚至小于0.01，例如，兩對(duì)交換率為0.1的連鎖基因在f2代出現(xiàn)純合新個(gè)體的概率只有20.0520.0050；自花授粉植物出現(xiàn)天然異交或突變的概率往往小于0.01；等等，對(duì)于這些小概率事件，都可以用泊松分布描述其概率分布，從而作出需要的頻率預(yù)期。 由于泊松分布是描述小概率事件的，因而二項(xiàng)分布當(dāng) 0.1和n 5時(shí)，可用泊松分布來(lái)近似表達(dá),3

14、1.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,29,3.4 正態(tài)分布,3.4.1 正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù) 3.4.2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 3.4.3 利用正態(tài)分布表求正態(tài)分布的概率 3.4.4 正態(tài)分布的單側(cè)分位數(shù),31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,30,3.4 正態(tài)分布,由高斯c.f. (gauss carl friedrich, 1777-1855)作為描述誤差相對(duì)頻數(shù)分布的模型而提出 描述連續(xù)型隨機(jī)變量最重要的分布 許多現(xiàn)象都可以由正態(tài)分布來(lái)描述 可用于近似離散型隨機(jī)變量的分布 例如： 二項(xiàng)分布 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ),31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,31

15、,3.4.1 正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù),= 正態(tài)隨機(jī)變量x的平均值 = 正態(tài)隨機(jī)變量x的方差 = 3.1415926; e = 2.71828 x = 隨機(jī)變量的取值 (- x ) 以符號(hào)n（,2）表示平均數(shù)為，方差為2的正態(tài)分布。如：n (1,32,概率密度函數(shù),31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,32,3.4.1 正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù),正態(tài)分布密度函數(shù)的圖象稱為正態(tài)曲線,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,33,正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì),圖形是關(guān)于x=對(duì)稱的鐘形曲線，且峰值在x= 處 均值和標(biāo)準(zhǔn)差一旦確定，分布的具體形式也惟一確定，不同參數(shù)正態(tài)分布構(gòu)成一個(gè)

16、完整的“正態(tài)分布族” 均值可取實(shí)數(shù)軸上的任意數(shù)值，決定正態(tài)曲線的具體位置；標(biāo)準(zhǔn)差決定曲線的“陡峭”或“扁平”程度。越大，正態(tài)曲線扁平；越小，正態(tài)曲線越高陡峭 當(dāng)x的取值向橫軸左右兩個(gè)方向無(wú)限延伸時(shí)，曲線的兩個(gè)尾端也無(wú)限漸近橫軸，理論上永遠(yuǎn)不會(huì)與之相交 正態(tài)隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的取值概率由正態(tài)曲線下的面積給出，而且其曲線下的總面積等于1,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,34,和 對(duì)正態(tài)曲線的影響,1,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,35,3.4.1 正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù),隨機(jī)變量的值落在任意區(qū)間（a，b）內(nèi)的概率 累積分布函數(shù),31.01.2021,湖

17、北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,36,正態(tài)分布的概率,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,37,x=1.21,累積分布函數(shù),31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,38,3.4.2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,1、均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 記為n(0, 1)。 2、任何一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可通過(guò)下面的公式（線性變換）轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,39,3.4.2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,3、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù),4、 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù),31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,40,3.4.2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正

18、態(tài)分布的分布曲線如下圖,=1 =0,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,41,3.4.3 正態(tài)分布概率的計(jì)算及正態(tài)分布表的查法,為了簡(jiǎn)化計(jì)算，隨機(jī)變量(u)的值(u)落在區(qū)間(a, b)內(nèi)的概率，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)，已經(jīng)把不同u值的(u)值列成表(附表2)，稱為正態(tài)分布表,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,42,3.4.3 計(jì)算正態(tài)分布的概率值,例1: 求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布n(0,1), u0.82及u1.15時(shí)的(u)值 解：(-0.82)0.20611 (1.15)0.87493,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,43,3.4.3 計(jì)算正態(tài)分布

19、的概率值,例2 隨機(jī)變量u服從正態(tài)分布n(0，1)，問(wèn)隨機(jī)變量的值落在0，1.21間的概率是多少？落在1.96，1.96間的概率是多少,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,44,3.4.3 計(jì)算正態(tài)分布的概率值,1) p(0uu) = (1.21) (0) （與課本有差別） = 0.88686 0.5000 =0.38686,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,45,3.4.3 計(jì)算正態(tài)分布的概率值,2) p(-1.96u1.96) = 0.975-0.025 =0.95,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,46,3.4.3 計(jì)算正態(tài)分布的概率值,例3 已知高粱品種“三尺三”的株高x服從正態(tài)分布n(156.2, 4.822)，求： 1) x164厘米的概率； 3) x在156162厘米間的概率,非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率值如何計(jì)算呢,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,47,3.4.3 計(jì)算正態(tài)分布的概率值,解：先將正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化,31.01.2021,湖北大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院 彭宇,48,3.4.4 正態(tài)分布的臨界值,根據(jù)附表2，可以求出不同u值下的概率值。 附表3（與附表2相反