自動(dòng)控制原理第七章線性離散系統(tǒng)ppt課件

1、第七章 線性離散系統(tǒng),7.1 離散系統(tǒng)的基本概念 7.2 采樣過程及采用定理 7.3 信號(hào)恢復(fù)與信號(hào)保持 7.4 Z變換理論 7.5 線性離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 7.6 線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差 7.7 動(dòng)態(tài)響應(yīng)與閉環(huán)零、極點(diǎn)分布的關(guān)系 7.8 線性離散系統(tǒng)的數(shù)字校正 7.9 最少拍離散系統(tǒng)的分析與校正,連續(xù)系統(tǒng):r(t)、c(t)和e(t)等是時(shí)間t的連 續(xù)函數(shù)，這樣的系統(tǒng)稱為連續(xù)系統(tǒng)。 計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用于控制系統(tǒng)，微機(jī)是以數(shù)字 方式傳遞和處理信息，控制系統(tǒng)中的信號(hào)定 義在離散時(shí)間上的系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)。 離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)既有差別，又有相似 性。連續(xù)系統(tǒng)通過Z變換，可以將連續(xù)系統(tǒng)中 的概

2、念應(yīng)用到離散系統(tǒng),7.1 離散系統(tǒng)的基本概念,一、信號(hào)分類,1、模擬信號(hào) 信號(hào)是時(shí)間的連續(xù)函數(shù),2、離散信號(hào) 信號(hào)是時(shí)間上的離散序列,3、數(shù)字信號(hào),離散量化信號(hào)，是時(shí)間上、幅值上的離散序列,7.1.1 離散系統(tǒng)的特點(diǎn),二、控制系統(tǒng)分類,1、連續(xù)系統(tǒng),2、采樣系統(tǒng),3、計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng),采樣周期：一個(gè)非常重要、特殊的參數(shù)，會(huì)影響系統(tǒng)的 穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差、信號(hào)恢復(fù)精度,三、連續(xù)系統(tǒng)與采樣控制系統(tǒng)的區(qū)別,相同點(diǎn): 1、采用反饋控制結(jié)構(gòu); 2、由被控對(duì)象、測(cè)量元件和控制器組成; 3、控制系統(tǒng)的目的相同; 4、系統(tǒng)分析的內(nèi)容相同,不同點(diǎn)：信號(hào)的形式（采樣器、保持器,采樣控制的優(yōu)點(diǎn)： 精度高、可靠、有效抑制

3、干擾、通用性好,采樣開關(guān)的工作方式，指采樣速度和采樣開關(guān)的周期性采樣之間的相位問題； 采樣誤差信號(hào) 是通過采樣開關(guān)對(duì)連續(xù)信號(hào) 采樣后得到的； 采樣開關(guān)經(jīng)過一定的時(shí)間T閉合一次，采樣時(shí)間為，T。T為采樣周期，s=1/T及s=2s分別為采樣頻率和采樣角頻率,7.1.2 采樣開關(guān)的工作方式,采樣的方式 周期采樣：采樣時(shí)刻為nT(n=0、1、2),T 為常量； 多階采樣：采樣時(shí)間是周期性重復(fù)的； 多速采樣：用兩個(gè)具有不同采樣周期的采樣器對(duì)信號(hào)同時(shí)采樣； 隨機(jī)采樣：采樣時(shí)間是隨機(jī)變量。 本章討論等周期采樣,數(shù)字計(jì)算機(jī)作為控制器的控制系統(tǒng) 多點(diǎn)巡回檢測(cè)與控制系統(tǒng),常見的采樣系統(tǒng),采樣器（采樣開關(guān)）：將連續(xù)

4、信號(hào)變?yōu)槊}沖序列的裝置,采樣過程：對(duì)連續(xù)信號(hào)采樣后變?yōu)闀r(shí)間上離散的脈沖序列的過程,T采樣周期,-采樣時(shí)間 T n整數(shù),7.2.1采樣過程,7.2 采樣過程及采用定理,時(shí)間內(nèi),e(t)變化甚微，可近似為寬度為 ,高度為e(nT)的矩形脈沖序列,信號(hào)采樣,理想采樣序列,采樣過程是脈沖調(diào)制過程,對(duì)采樣器的輸出拉氏變換,由拉氏變換實(shí)位移定理,采樣過程相當(dāng)脈沖調(diào)制過程,采樣輸出是兩個(gè)信號(hào)的乘積,決定采樣信號(hào)幅值,決定采樣時(shí)間,為了從采樣信號(hào)中不失真地復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號(hào),離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)者必須遵循采樣定理,7.2.1 采樣定理,如果 (采樣角頻率)，就不能準(zhǔn)確恢復(fù)原來的連續(xù)信號(hào),s 2m,e(t)就可以從e*(t

5、)中恢復(fù)過來,也可表示為,若采樣器輸入信號(hào)e(t)帶寬有限，且有直到m (rad/s)的頻率分量，當(dāng)采樣周期T滿足下列條件,采樣定理(香農(nóng)定理,單位脈沖理想響應(yīng)序列,e*(t)對(duì)應(yīng)的離散信號(hào),e （t)連續(xù)信號(hào),以T為周期的復(fù)式函數(shù)，可展開成傅立葉級(jí)數(shù)(或指數(shù)形式,表示為,采樣信號(hào)的頻譜（證明,T(t),s=2/T為采樣角頻率,Cn是傅氏系數(shù),其值為,連續(xù)信號(hào)的頻譜為,采樣信號(hào)的頻譜為,s,2s,3s,3s,2s,s,s滿足什么條件時(shí),才能從,恢復(fù)出,s 2m,或,T/m,s = 2m,7.2.3 采樣周期的選擇,采樣周期T選得越小，即采樣角頻率s選得越高，信息獲得的越多，控制效果越好; T過

6、短，控制規(guī)律復(fù)雜， T過長，控制誤差大，動(dòng)態(tài)性能降低，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定; 采樣周期T參考選擇,T的選取，主要取決于系統(tǒng)的性能指標(biāo),頻域閉環(huán):閉環(huán)頻率響應(yīng)有低通濾波特性輸入頻率高于r時(shí)，信號(hào)快速衰減，可認(rèn)為通過系統(tǒng)的控制信號(hào)最高頻率分量為r 。 頻域開環(huán)：近似有cr，頻率分量超過c的分量通過系統(tǒng)后被大幅度衰減。 隨動(dòng)系統(tǒng)的采樣角頻率近似為s=10c T=2/s ,采樣周期公式可表示為 時(shí)域指標(biāo):T可以通過tr，ts選取，按經(jīng)驗(yàn)公式確定,采樣 定理,信號(hào)復(fù)現(xiàn),理想濾波器,采樣開關(guān),7.3 信號(hào)恢復(fù)與信號(hào)保持,T選擇得當(dāng)，e(t) 從e*(t)中完全復(fù)現(xiàn)。但理想濾波器不存在，只能用保持器代替,保持

7、器將離散信號(hào) 連續(xù)信號(hào)的元件,采樣時(shí)，連續(xù)信號(hào)值與脈沖序列強(qiáng)度相等，nT時(shí)刻，有,n+1)T時(shí)刻，有,保持器要解決nT與(n+1)T之間(即0tT)，連續(xù)信號(hào)e(nT+ t) 有多大？它與e(nt)的關(guān)系,保持器有外推功能，外推作用即現(xiàn)在時(shí)刻的輸出取決于過去時(shí)刻離散信號(hào)的外推,用公式描述,該式說明現(xiàn)在時(shí)刻的輸出e(nT+t)，由過去 (m+1)個(gè)離散信號(hào)e*(nT)、e*(n-1)T、e*(n-2)T、e*(n-m)T確定。 i（i=0,1,m）為待定系數(shù)，由過去(m+1)個(gè)e*(n-i)T 確定，i 有唯一解; t0、T、2T、mT為過去時(shí)刻,m=0，為零階保持器； m=1，為一階保持器；

8、m=m，為m階保持器。 一般采用零階保持器,t是以nT為坐標(biāo)原點(diǎn),主要特點(diǎn),1、輸出信號(hào)是階梯波，含有高次諧波,2、相位滯后,零階保持器,7.3.1 零階保持器,最簡單、使用最廣泛；采用恒值外推規(guī)律，即將前一采樣時(shí)刻nT的采樣值e(nT)不增不減地保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻(n+1)T,零階保持器,零階保持器的單位脈沖響應(yīng),由拉氏變換的相似性,零階保持器的幅頻特性,注意,2、除了主頻譜外，還有高頻分量,3、零階保持器將產(chǎn)生相角滯后，滯后角,1、幅值隨角頻率的增大而衰減，有低通濾波特性,零階保持器的近似實(shí)現(xiàn),取前兩項(xiàng),取前三項(xiàng),取前三項(xiàng)時(shí)無源網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)形式如圖,更高階的近似，使無源網(wǎng)絡(luò)變得非常復(fù)雜,一般

9、不使用,解,例7.7已知微分方程,時(shí)域數(shù)學(xué)模型 差分方程,將其離散化，用采樣控制方式(T=1)，求相應(yīng)的前向差分方程，并解之,解,差分方程解法一：迭代法,解,差分方程解法二：z變換法,Z變換是采樣函數(shù)拉氏變換的變形，又稱為采樣拉氏變換，是研究線性離散系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具,7.4 Z變換理論,線性連續(xù)系統(tǒng)的性能，用拉氏變換分析,線性離散系統(tǒng)的性能，用Z變換分析,7.4.1 Z變換的定義,被定義為采樣函數(shù)*(t)的Z變換,對(duì)Z變換強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn),2.Z變換中，僅采樣時(shí)刻上的采樣值,信息，不反映采樣時(shí)刻之間的信息，f(t)與* (t) 有相同的Z變換，即Zf(t)Z* (t) =F(z,該式僅表達(dá)采樣時(shí)刻的

10、,已知,當(dāng),1. 級(jí)數(shù)求和法,7.4.2 Z變換的求法,f(t）的離散函數(shù)為*(t) , 將*(t)展開,逐項(xiàng)拉氏變換，得,上式為* (t) 的Z變換的級(jí)數(shù)表達(dá)式。顯然，知道f(t) 采樣時(shí)刻nT（n=0,1,2,）的值f(nT），則可求得Z變換的級(jí)數(shù)展開式,例7.2求 的F(Z,例7.1求1*（t）的Z變換,z-1 | 1 ，級(jí)數(shù)收斂，利用求和公式，得1（t）的Z變換,例7.3求 f(t)=t的Z變換,兩邊求導(dǎo),求出 Pi 及 Ai ，可求出F(s)對(duì)應(yīng)的Z變換F(z,f(t) 的拉氏變換為F(s)，其部分分式之和為,2、部分分式法,Ai常系數(shù),Pi 是極點(diǎn),n為極點(diǎn)數(shù),已知f(t），求F(

11、z) ，可以按圖示虛線箭頭的步驟，也可以按實(shí)線箭頭的步驟,可以根據(jù)F(s)查Z變換表得F(z,解,例7.4,求f(t)= t1(t)的Z變換,查Z變換表得,例7.6求,解,例7.5求,的Z變換,解,所以,3、留數(shù)計(jì)算法,F(s)的全部極點(diǎn)已知, 留數(shù)計(jì)算法公式為,F(s)有一階極點(diǎn),s=P1,留數(shù)為,F(s)在有q階重復(fù)極點(diǎn),留數(shù)為,為 在 時(shí)的留數(shù),Z變換表見P.219表(72,例7.8求,的Z變換,解,例7.9求,的Z變換,解,為兩階重極點(diǎn),例7.10已知,用留數(shù)法求F(z,解,1、線性定理 2、滯后定理 3、初值定理 4、終值定理 5、復(fù)數(shù)偏移定理 6、卷積和定理,7.4.3 Z變換的性

12、質(zhì),Z變換常用的定理,設(shè),則,函數(shù)線性組合的Z變換，等于各函數(shù)Z變換的線性組合,2、平移定理,t0時(shí)，f(t)的值為零， f(t)的Z變換為F（z）則,原函數(shù)延遲的采樣周期數(shù)為k，象函數(shù)則乘z-k。算子z-k的含義表示時(shí)域中時(shí)滯環(huán)節(jié)，把脈沖延遲k個(gè)周期,1、線性定理,平移定理,3、初值定理,f(t)的Z變換為F（z），并且,存在,4、終值定理,經(jīng)常用于分析計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,則,6、卷積和定理,設(shè),式中,為正整數(shù)，當(dāng)n為負(fù)數(shù)時(shí),則有,式中,5、復(fù)數(shù)偏移定理,f(t)的Z變換為F（Z），則,7.4.4 Z反變換,Z反變換是已知F（Z），求f(nT)的過程，即,只能求出序列的表達(dá)式，而不能求出它

13、的連續(xù)函數(shù),求解方法:長除法(冪級(jí)數(shù)法)、 部分分式法、 留數(shù)法,1、長除法（冪級(jí)數(shù)法,要點(diǎn)：將F（Z）用長除法變?yōu)榻祪缗帕械男问?F(z) 展開成 的無窮冪級(jí)數(shù)，即,如果冪級(jí)數(shù)收斂，按Z變換定義，式中系數(shù) 即采樣脈沖序列 的脈沖強(qiáng)度f(nT)?？梢灾苯訉懗?的脈沖序列表達(dá)式,即,例7.11求,的Z反變換,解,為方便求取，將分母首項(xiàng)變成1。為此，用分母首項(xiàng)（Z2） 去除全式,例7.12已知 ，求Z反變換 解:展開成有理分式 將分母首項(xiàng)變成1, 用分母首項(xiàng)（Z2）去除全式得,按長除法，用分母多項(xiàng)式去除分子多項(xiàng)式，得,查Z變換表,兩端乘以Z,1.部分分式法（因式分解法，查表法,例7.13求,的Z反

14、變換,解,3.留數(shù)法（反演積分法,函數(shù)F(z)zn-1在極點(diǎn)pi處的留數(shù),曲線C是包含F(xiàn)(z)zn-1全部極點(diǎn)的任意封閉曲線,若Zi為一重極點(diǎn),若Zi為q重極點(diǎn),由Z變換的定義,兩端同乘,由復(fù)變函數(shù)理論,例7.14求,的Z反變換,解,有一個(gè)兩重極點(diǎn),例7.15求,的Z反變換,解,有兩個(gè)一重極點(diǎn),例7.16已知 ，求Z反變換,解,有兩個(gè)二重極點(diǎn),Z變換是為了求出線性離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù),零初始條件下，線性系統(tǒng)輸出的Z變換與輸入的Z變換之比為系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（或z傳遞函數(shù)）。即,7.5.1 脈沖傳遞函數(shù)的定義,系統(tǒng)的離散輸出信號(hào),7.5 線性離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù),局限性: (1) 原則上不反

15、映非零初條件下系統(tǒng)響應(yīng)的全部信息; (2) 只適合描述單輸入單輸出系統(tǒng); (3) 只適線性定常離散系統(tǒng),本次課程作業(yè),7 - 1(1,2,自動(dòng)控制原理,7 - 2 (1,4,7 - 4 (1,2,多數(shù)系統(tǒng)的輸出是連續(xù)信號(hào)c(t)，而非采樣信號(hào)c*(t)，在輸出端虛設(shè)一個(gè)采樣開關(guān)，如圖虛線，該開關(guān)與輸入采樣開關(guān)同步，有相同的采樣周期； 若實(shí)際輸出c(t)較平滑，且采樣頻率較高，則可用c*(t)近似描述c(t)； 虛設(shè)的采樣開關(guān)不存在，它只表明輸出連續(xù)函數(shù)c(t)在采樣時(shí)刻上的離散值c*(t),線性定常離散系統(tǒng)的位移不變性,推導(dǎo)脈沖傳遞函數(shù)，理解其物理意義,推導(dǎo)脈沖傳遞函數(shù)，理解其物理意義(續(xù),系

16、統(tǒng)響應(yīng)速度越快，即g(t)衰減越快, G(z) 展開式中包含的項(xiàng)數(shù)越少,根據(jù)離散卷積定義得知,下式右邊的Z變換為R(z)G(z,C(z)=R(z)G(z,開環(huán)離散系統(tǒng)由幾個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時(shí)，脈沖G(z)的求法與連續(xù)系統(tǒng)的G(s)情況不完全相同。 兩個(gè)開環(huán)離散系統(tǒng)的組成相同，但采樣開關(guān)的數(shù)目和位置不同，求出的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)也會(huì)不同。 對(duì)開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，應(yīng)注意以下兩種不同的情況,7.5.2 開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù),串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間有采樣器,串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間無采樣器,由于求和與符號(hào)無關(guān),再令m=n,證得,采樣拉氏變換的兩個(gè)重要性質(zhì),1）采樣函數(shù)的拉氏變換具有周期性,G*(s)=G*(s+jks,

17、由Pg211公式(7-11)得,E*(s)G1(s) G2(s)*=E*(s)G1(s) G2(s,2）離散信號(hào)可從離散符號(hào)中提出來,設(shè)G1(s)G2(s)=G (s,則有,E*(s)G(s)*,E*(s)與無關(guān),E*(s)G(s,所以有,E*(s)G*(s,1、串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間有采樣器,脈沖傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)的脈沖傳函之積,如圖，G1 (s) 和G2 (s)之間有理想采樣開關(guān)隔開。根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)定義，得,2、串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間無采樣器,兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān)，脈沖傳遞函數(shù)為這兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)積的Z變換,開環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換1,C*(s,d(s,d*(s,開環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換2

18、,R(z,R(z,z-1R(z,1-z-1)R(z,開關(guān)位置的等效變換,1(t)+t,1(t,t,1(t,t,1(t)+t,例7.17 設(shè),兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)，求出中間有采樣開關(guān)和無采樣開關(guān)時(shí)系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù),解,兩個(gè)環(huán)節(jié)中間有采樣開關(guān)時(shí),兩個(gè)環(huán)節(jié)中間無采樣開關(guān)時(shí),連續(xù)系統(tǒng):閉環(huán)與開環(huán)傳遞函數(shù)之間有確定的關(guān)系，可以用典型的結(jié)構(gòu)圖來描述閉環(huán)系統(tǒng)。 離散系統(tǒng):采樣開關(guān)的位置不同，結(jié)構(gòu)形式就不一樣，沒有唯一的典型結(jié)構(gòu)圖，因而閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)沒有一般的計(jì)算公式，只能根據(jù)具體結(jié)構(gòu)而具體求取。 閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)是閉環(huán)離散系統(tǒng)輸出信號(hào)的Z變換與輸入信號(hào)的Z變換之比，即,7.5.3 閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù),P

19、.228表7-3列出了典型的閉環(huán)離散系統(tǒng)及其輸出的Z變換函數(shù),閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換1,C*(s,R*(s,B*(s,E(z)=R(z)-B(z,B(z)=E(z)G1G2(z,C(z)=E(z)G1(z,閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換2,R(s)G1(s,B(s,RG1,B*(s,E(z)=RG1(z)-B(z,B(z)=E(z)G1G2G3(z,C(z)=E(z)G2(z,z,不存在,閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換3,C*(s,C(s,閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換4,C*(s,A*(s,C (s,閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),誤差脈沖傳遞函數(shù),對(duì)于單位反饋系統(tǒng),閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),誤差脈沖傳遞函數(shù),閉環(huán)采樣系

20、統(tǒng)的特征方程,有干擾信號(hào)的采樣系統(tǒng)，令R(s)=0,例7.18如圖(T=1),試確定 （1）系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)； （2）在 z平面繪出系統(tǒng)零極點(diǎn)圖； （3）系統(tǒng)的差分方程,解. (1,3,2)系統(tǒng)z平面零極點(diǎn)圖,開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù),1) 環(huán)節(jié)之間有開關(guān)時(shí),2) 環(huán)節(jié)之間無開關(guān)時(shí),3) 有ZOH 時(shí),注：加ZOH不改變系統(tǒng)的階數(shù)，不改變開環(huán)極點(diǎn)，只改變開環(huán)零點(diǎn),解,例7.19求采樣系統(tǒng)的輸出C(z,本節(jié)討論離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時(shí)指出計(jì)算離散系統(tǒng)在采樣瞬時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差的方法,7.6.1離散系統(tǒng)的穩(wěn)定條件,一）S平面和Z平面的映射關(guān)系,設(shè)復(fù)變量,則,因?yàn)?由于,S平面,Z平面,變化一周,變化一周,Z平

21、面以原點(diǎn)為圓心的單位圓上的點(diǎn)（顯然有|z|= et=1,S平面是虛軸上的點(diǎn),z平面的單位圓映射到s平面為虛軸； z平面單位圓內(nèi)的點(diǎn)（|z|= et1 ）映射到s平面則位于右半平面的點(diǎn)（0),S平面,Z平面,7.6 線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,二）線性采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件,閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),閉環(huán)系統(tǒng)特征方程,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件,勞斯判據(jù)用到離散系統(tǒng)，必須引入Z域到 w域的線性變換，使Z平面上的單位圓，映射成w平面上的左半平面，這種新的坐標(biāo)變換，稱為雙線性變換，或稱為w變換,7.6.2 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù),雙線性變換法,Z和W均為復(fù)變量,將Z帶入,2）W平面的左半平面,對(duì)應(yīng)Z平面單位圓

22、內(nèi),3）W平面的右半平面,對(duì)應(yīng)Z平面單位圓外,討論,1）W平面的虛軸,對(duì)應(yīng)Z平面單位圓,例7.20 如圖,求系統(tǒng)穩(wěn)定的K1,解,整理得,勞斯表,例7.21如圖示，T=1s，求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K1 值范圍,解,閉環(huán)特征方程,勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是,即,所以使系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍是,T、k對(duì)離散系統(tǒng)性能的影響,T=0 k=0.2,k=0.8,k=1.2,k=10,k=100,T為采樣周期,本次課程作業(yè),7 - 5(1,3,自動(dòng)控制原理,7 - 6 (1,2,4,7 - 9,7 - 11,朱利判據(jù),朱利判據(jù)是直接在z域應(yīng)用的穩(wěn)定性判據(jù),類似連續(xù)系統(tǒng)中的赫爾維茨判據(jù),朱利判據(jù)是根據(jù)特征方程D(z)=0的

23、系數(shù)，判斷其根是否位于z平面的單位圓內(nèi),閉環(huán)特征方程,利用閉環(huán)特征方程系數(shù)，構(gòu)造（2n-3）行、（n+1）列朱利陣列,朱利陣列的2k+2行各元，是2k+行各元的反序排列，從第三行起，陣列中各元的定義如下頁,從第三行起，陣列中各元的定義,朱利穩(wěn)定判據(jù)：(z)=的根全部位于單位圓內(nèi)的充分必要條件是,以及下列(n-1)個(gè)約束條件成立,當(dāng)上述條件滿足時(shí)，離散系統(tǒng)才穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定,朱利判據(jù),D(z)=z4-1.368z3+0.4z2+0.08z+0.002=0,z0 z1 z2 z3 z4,1 2 3 4 5,1,1 -1.368 0.4 0.08 0.002,0.002 0.08 0.4 -1.36

24、8 1,1.368,0.399,0.082,0.082,0.399,1.368,1,0.993,1.401,0.511,0.511,1.401,0.993,穩(wěn)定的必要條件,n為偶數(shù)時(shí) D(1)0,D(-1)0,n為奇數(shù)時(shí) D(1)0,D(-1)0,2(n-1)行,2n-行,兩種計(jì)算方法,一種用Z變換終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差,7.6.3 線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,另一種方法用誤差脈沖傳遞函數(shù)求穩(wěn)態(tài)誤差,如圖,系統(tǒng)穩(wěn)定，1/1+G(z) 的全部極點(diǎn)都在Z平面的單位圓內(nèi)。應(yīng)用Z變換終值定理，得穩(wěn)態(tài)誤差,個(gè)z=1的極點(diǎn)的系統(tǒng)稱為型系統(tǒng)，= 012時(shí)，對(duì)應(yīng)0型型型系統(tǒng),稱為無差度,采樣系統(tǒng)為型系統(tǒng)時(shí),采樣系統(tǒng)為

25、型系統(tǒng)時(shí),1.單位階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差,靜態(tài)位置誤差系數(shù),采樣系統(tǒng)為型系統(tǒng)時(shí),采樣系統(tǒng)為0型系統(tǒng)時(shí),2.單位斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差,靜態(tài)速度誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差,3.單位加速度輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差,靜態(tài)加速度誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差,例7.22如圖示，T=1s, r(t)=2t,n(t)=t， （1）無零階保持器時(shí)，求穩(wěn)態(tài)誤差。 （2）有零階保持器，穩(wěn)態(tài)誤差如何變化,無零階保持器，設(shè),解 (1,n(t)=0, 考慮r(t)=2t的作用，則,穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號(hào)、系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和采樣周期有關(guān)，T小會(huì)減小穩(wěn)態(tài)誤差,輸入信號(hào)2t,r(t)=0，考慮n(t)=1(t)的作用，誤差信號(hào)的Z變換表達(dá)式為,得,將,代入上式

26、得,由Z變換的終值定理,r(t)和n(t)同時(shí)作用，總的穩(wěn)態(tài)誤差為,注意：線性離散系統(tǒng)中，可應(yīng)用疊加原理求多個(gè)輸入信號(hào)作用的穩(wěn)態(tài)誤差,2) 有零階保持器，則,Z變換為,n(t)=0誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差,設(shè)r(t)=0時(shí)，系統(tǒng)誤差信號(hào)的Z變換表達(dá)式為,穩(wěn)態(tài)誤差為,總的穩(wěn)態(tài)誤差為,零階保持器的引入使穩(wěn)態(tài)誤差不受采樣周期的影響。實(shí)際上，有零階保持器的離散系統(tǒng)和相同傳遞函數(shù)的連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差相同,a,b為實(shí)常數(shù)，試在參數(shù)a,b的平面上畫出使閉環(huán)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍,由朱利判據(jù)的必要條件得,1+a+b0，1-a+b0，1-b+a0,由朱利判據(jù)的充分條件得,陰影部分即為所求,n為偶數(shù)時(shí) D(1)0,D(-1

27、)0,n為奇數(shù)時(shí) D(1)0,D(-1)0,例7.23下圖所示離散系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù),1.判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性； 2.求r(t)=1(t)時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出c(,提示,解：特征方程：z2+0.038z+0.05=0，系統(tǒng)穩(wěn)定,線性離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為,zi 為零點(diǎn), pk為極點(diǎn),r(t)=1(t) ，輸出的Z變換為,將C(z)展開成部分分式，得,第一項(xiàng)是c*(t) 的穩(wěn)態(tài)分量,第二項(xiàng)為c*(t) 的瞬態(tài)分量,7.7 動(dòng)態(tài)響應(yīng)與閉環(huán)零、極點(diǎn)分布的關(guān)系,分析pk 0,對(duì)應(yīng)暫態(tài)分量 指數(shù)函數(shù)的情況,pk 在單位圓內(nèi)的位置確定c*(t) 的動(dòng)態(tài)形式，分三種情況,1.正實(shí)軸上的閉環(huán)單極點(diǎn),1) p

28、k1，閉環(huán)極點(diǎn)在單位圓外的正實(shí)軸上，指數(shù)函數(shù)發(fā)散型。Ck(nT) 是按指數(shù)規(guī)律發(fā)散的脈沖序列,2) pk =1，閉環(huán)極點(diǎn)在單位圓上，指數(shù)函數(shù)為恒值函數(shù)。Ck(nT) 為等幅脈沖序列; (3) 0 pk 1時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的正實(shí)軸上，指數(shù)函數(shù)為衰減型函數(shù)。 Ck(nT) 按指數(shù)規(guī)律衰減的脈沖序列， pk 越接近原點(diǎn)，衰減越快,pk -1，極點(diǎn) pk 在單位圓外的負(fù)實(shí)軸上，指數(shù)函數(shù)振蕩發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。Ck(nT)是振蕩發(fā)散的脈沖序列； (2) -1 pk 0，極點(diǎn)pk在單位圓內(nèi)的負(fù)實(shí)軸上，指數(shù)函數(shù)振蕩收斂， Ck(nT)是振蕩收斂的脈沖序列，系統(tǒng)穩(wěn)定,3)pk =-1，極點(diǎn) pk 左半Z平

29、面的單位圓周上，指數(shù)函數(shù)等幅振蕩。Ck(nT) 是等幅振蕩的脈沖序列,Ak 與Ak+1 必為共軛復(fù)數(shù)，即,3.Z平面上的閉環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn),pk 為復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)，如圖, pk |為共軛復(fù)數(shù)的模,k為共軛復(fù)數(shù)的幅角,暫態(tài)分量,以余弦規(guī)律振蕩,Pk| 1 ，系統(tǒng)發(fā)散振蕩，不穩(wěn)定； |Pk| 1 ，系統(tǒng)衰減振蕩，Pk，Pk+1越靠近原點(diǎn)（即|Pk|越?。┧p越快,振蕩周期Tk與k 有關(guān)，k 越大Tk越??； 用采樣周期T的倍數(shù)來表示Tk ， Tk 的值可通過下式獲得,pk 對(duì)應(yīng)幅角k=/4 ，對(duì)應(yīng)Ck(nT)的Tk為,閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)分布與相應(yīng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)形式,Z平面,Im,Re,0,1,1,pk0,Pk0,I

30、m,Re,1,1,閉環(huán)復(fù)極點(diǎn)分布與相應(yīng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)形式,Pk| 1 ,發(fā)散振蕩，不穩(wěn)定,Pk| 1 ,衰減振蕩,穩(wěn)定,例7.24如圖， , T=0.5s，用根軌跡法確定K值的穩(wěn)定范圍,解,根軌跡始點(diǎn)為1和0.6065，終止點(diǎn)為-0.8469。特征方程為,特征根,06.37時(shí)，Z12為實(shí)根，0.211K6.37時(shí)， Z12為共軛復(fù)根。特別是 K=0， Z1=1 ，z2=0.6065 K=0.211， Z12 =0.7915（重根） K=6.73， Z12 =2.475（重根） 為求共軛復(fù)根軌跡，取Z=+j 代入特征方程，實(shí)部與虛部為,圓方程,共軛復(fù)根位于所描述的圓上。做出圖示根軌跡,從單位圓看出，

31、04.36 ,系統(tǒng)不穩(wěn)定,注：離散系統(tǒng)的根軌跡與連續(xù)系統(tǒng)相似,離散系統(tǒng)的校正也是設(shè)計(jì)滿足系統(tǒng)性能的校正裝置。 離散系統(tǒng)可以用串聯(lián)并聯(lián)局部反饋和復(fù)合校正,根據(jù)傳遞信號(hào)的特點(diǎn)，校正分為連續(xù)校正和脈沖或數(shù)字校正，如圖示。 但大多采用數(shù)字裝置實(shí)現(xiàn)校正,7.8 線性離散系統(tǒng)的數(shù)字校正,閉環(huán)特征方程表示為,Z域中的根軌跡作圖方法與S域中的根軌跡作圖規(guī)則一致,7.8.1 用根軌跡法綜合數(shù)字校正裝置,連續(xù)系統(tǒng)中穩(wěn)定邊界是根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，離散系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界是根軌跡與單位圓的交點(diǎn),當(dāng)系統(tǒng)有一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，且指標(biāo)是誤差系數(shù)或阻尼比等形式給出時(shí)，可以應(yīng)用根軌跡法,抵消不希望的極點(diǎn)，使系統(tǒng)達(dá)到要求,如圖，先繪出校

32、正前系統(tǒng)的根軌跡圖。如果不滿足給定的要求，利用校正裝置引入新零點(diǎn),7.8.2數(shù)字校正裝置的實(shí)現(xiàn),數(shù)字校正裝置可以用簡單低廉的RC網(wǎng)絡(luò),數(shù)字計(jì)算機(jī)控制時(shí)，脈沖傳遞函數(shù)D(z)可以用數(shù)字程序來實(shí)現(xiàn)，又稱為數(shù)字濾波器方式,RC網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn) Gc(s)時(shí)，Gc(s)的極點(diǎn)通常為負(fù)的實(shí)數(shù)，所以Gc(s) /s 可以展開成,1. 用RC網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)D(z,如圖示，Gc(s)表示RC校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù),有,于是有,常系數(shù),由上兩式可以直接求出RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù),數(shù)字控制系統(tǒng)中，數(shù)字控制器D(z)又稱為數(shù)字補(bǔ)償器或數(shù)字濾波器，可以直接用計(jì)算機(jī)程序來實(shí)現(xiàn)D（z）。 常用的編程方法: 直接程序法， 串聯(lián)程序法 并聯(lián)程序法

33、,2.用計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)D（z,采樣時(shí)刻的輸入e1和計(jì)算結(jié)果e2要送入存儲(chǔ)單元，以備下一采樣時(shí)刻的計(jì)算。程序編制框圖如圖示,D(z)為,可寫成,求Z反變換，并整理得,表示現(xiàn)在采樣時(shí)刻,過去采樣時(shí)刻與現(xiàn)在采樣時(shí)刻距i個(gè)采樣周期,由圖可知,例:已知,用直接程序法編求脈沖傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)程序的表達(dá)式,解:已知,求Z反變換，得,其中（k=0,1,2），e2(kT)就是要編制的程序表達(dá)式，用直接程序法容易很實(shí)現(xiàn),最少拍離散控制系統(tǒng)，是在指定輸入下快速響應(yīng)，且無穩(wěn)態(tài)誤差的離散控制系統(tǒng)， 典型輸入信號(hào)（如單位階躍信號(hào)單位斜坡信號(hào)或單位加速度信號(hào)）作用下，系統(tǒng)的過渡過程最短，能在極少的幾個(gè)采樣周期（通常一個(gè)采樣周

34、期時(shí)間為一拍）內(nèi)結(jié)束過渡過程，并且穩(wěn)態(tài)誤差為零，實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信號(hào)的完全跟蹤， 最少拍離散系統(tǒng)又稱為最快響應(yīng)系統(tǒng),7.9 最少拍離散系統(tǒng)的分析與校正,如圖示,7.9.1 最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),誤差的Z變換為,冪級(jí)數(shù)展開得,則,則,最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)，是針對(duì)典型輸入（單位階躍函數(shù)單位速度函數(shù)單位加速度函數(shù)）的作用下進(jìn)行的。它們的Z變換分別為,7.9.2 最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì),上述典型輸入信號(hào)的一般表達(dá)式,A(z)是不含(1-z-1)因子的 z-1 多項(xiàng)式,要使穩(wěn)態(tài)誤差為零,e(z)中應(yīng)包含有(1-z-1)m的因子,由最少拍定義，需求穩(wěn)態(tài)誤差的表達(dá)式e() ,e(t)的Z變換,Z變換的終值定理，離散系

35、統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,為使D(z)簡單，階數(shù)最低，取F(s)=1。目的是使(z) 的全部極點(diǎn)位于Z平面的原點(diǎn)。因此得到,即,不含(1-z-1) 因子的多項(xiàng)式,上兩式即無穩(wěn)態(tài)誤差的最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),若廣義被控對(duì)象G(z)無遲延,且在Z平面單位圓上及單位圓外無零極點(diǎn)，要求選擇閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) (z)，使系統(tǒng)在典型輸入作用下，經(jīng)歷最少采樣周期后能使輸出序列在各采樣時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)誤差為零，從而達(dá)到完全跟蹤的目的，最后確定出所需要的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z,最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)原則,1) 輸入信號(hào)是r(t)=1(t,幾種典型輸入信號(hào)作用時(shí)的情況,m=1，所以,2）輸入信號(hào)是 m=2，所以,3)輸入信

36、號(hào)是,m=3，所以,最少拍系統(tǒng)在前述輸入信號(hào)作用下的暫態(tài)響應(yīng) c*(t) 如圖所示,不同的輸入，相應(yīng)最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)與過渡時(shí)間列于P243表75所示,最少拍單位階躍響應(yīng) 最少拍單位斜波響應(yīng),最少拍單位加速度響應(yīng),例7.25如圖示，已知為單位階躍函數(shù)，c(0)=0。設(shè)計(jì)D(z)，使系統(tǒng)為無穩(wěn)態(tài)誤差的最少拍系統(tǒng)。（e-1 =0.368, e-2 =o.136,為實(shí)現(xiàn)階躍輸入是無穩(wěn)態(tài)誤差的最少拍系統(tǒng)，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為,解,t=1秒時(shí)，z變換為,所以,D(z)是可實(shí)現(xiàn)的,校正后系統(tǒng)輸出Z變換為,如圖所示,系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下，瞬態(tài)過程將在一個(gè)采樣周期內(nèi)結(jié)束，且在采樣時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)誤差為零

37、,按某種典型輸入信號(hào)設(shè)計(jì)的最少拍系統(tǒng)，對(duì)其它形式的輸入信號(hào)，響應(yīng)不一定理想。 如前述校正后系統(tǒng)改用加速度輸入，系統(tǒng)誤差的Z變換為,注意,穩(wěn)態(tài)誤差為,以上討論的最少拍系統(tǒng)的校正方法，及P243表7-5中的基本結(jié)論，是G(z)在Z平面以原點(diǎn)為圓心的單位圓上和圓外無零、極點(diǎn)，且系統(tǒng)不包含遲后環(huán)節(jié)的情況下得到的。如果不滿足這些條件，就不能直接應(yīng)用相關(guān)的結(jié)論,z)和e(z) 都不含Z平面單位圓上或圓外極點(diǎn)。 G(z)中所包含的單位圓上或圓外的零、極點(diǎn)也不希望用D(z)來補(bǔ)償，以免參數(shù)漂移會(huì)對(duì)這種補(bǔ)償帶來不利的影響。這樣一來，G(z)中所包含的單位圓上或圓外的極點(diǎn)便只能靠 e(z) 的零點(diǎn)來抵消，而G(z)所含單位圓上或圓外的零點(diǎn)