第二類曲線積分的計(jì)算

1、 料推薦第二類曲線積分的計(jì)算定義設(shè) P( x, y) , Q ( x, y) 為定義在光滑或分段光滑平面有向曲線LAB 上的函數(shù) ,對LAB 任一 分割 T , 它把 L AB 分 成 n 個(gè) 小弧 段 M i 1M i (i 1, 2, n) ；其中 A =M 0 , BM n . 記各個(gè)小弧段 M i 1M i 弧長為si,分割 T 的細(xì)度為 TmaxSi ,又1 i n設(shè) T 的 分 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 為 M i ( xi , yi ) , 并 記 xixixi 1,yiyiyi 1 ,(i 1, 2, n) .在每個(gè)小弧段 M i 1 M i 上任取一點(diǎn)i ,i,若極限nnlimP( i

2、 ,i )xilimQ(i , i) yiT0 i 1T0i 1存在且與分割 T 與點(diǎn)i , i的取法無關(guān) ,則稱此極限為函數(shù) P( x, y) , Q ( x, y) 在有向線段 L AB 上的第二類曲線積分 ,記為P( x, y)dx Q( x, y)dy 或P(x, y) dxQ( x, y)dyLAB也可記作P( x, y)dxQ(x, y)dy 或P( x, y)dxQ( x, y)dyLLABAB注： (1)若記 Fx, y = P( x, y), Q( x, y) , dsdx, dy 則上述記號可寫成向量形式 :F d s .L(2) 倘若 L 為光滑或分段光滑的空間有向連續(xù)曲

3、線 ,P( x, y, z) , Q( x, y, z) , R(x, y, z) 為定義在 L 上的函數(shù) ,則可按上述辦法定義沿空間有向曲線 L 的第二類曲線積分 , 并記為P( x, y, z)dxQ (x, y, z)dyR( x, y, z) dzL按照這一定義, 有力場 F ( x, y)P(x, y) , Q( x, y) 沿平面曲線 L 從點(diǎn) A 到點(diǎn) B所作的功為 WAB Pdx Qdy .第二類曲線積分的鮮明特征是曲線的方向性.1 料推薦對二類曲線積分有,定積分是第二類曲線積分中當(dāng)曲線為x 軸上的ABBA線段時(shí)的特例.可類似地考慮空間力場F ( x, y, z)P( x, y

4、, z) , Q( x, y, z) , R(x, y, z) 沿空間曲線 L AB 所作的功 . 為空間曲線 L AB 上的第二類曲線積分P( x, y, z) dxQ( x, y, z)dyR( x, y, z) dz .AB與第一類曲線積分的區(qū)別首先要弄清楚兩類積分的定義，簡單地說，第一類曲線積分就是nlf (x, y)ds lim( i , i ) 2 si0 i1第二類曲線積分就是nP( x, y)dx Q( x, y)dylimP( i , i ) xiQ( i , i )yil0i 1（1 ）這兩種曲線積分的主要區(qū)別就在于，第一型曲線積分的積分中是乘的，是一小段弧的弧長，總是正值

5、；而第二類曲線積分和積分和中是乘的一段弧的坐標(biāo)的增量，與是可正可負(fù)的。當(dāng)積分的路徑反向時(shí)，不變，而與反號，因此第一類曲線積分不變而第二類曲線積分反號， 在這一性質(zhì)上， 第二類曲線積分與定積分是一樣的。計(jì)算曲線積分的基本方法是利用的參數(shù)方程將其轉(zhuǎn)化成定積分，但兩類曲線積分有些不同。設(shè)曲線的參數(shù)方程為則第一類曲線積分的計(jì)算公式為2 料推薦ds dx2dy222x (t )dty (t) dtx2 (t )dt2 (t) dt dt這里要注意，即對 t 的定積分中，下限比上限小時(shí)才有，也就有，這樣才有上述計(jì)算公式。這個(gè)問題在計(jì)算中也要特別注意。沿曲線上的點(diǎn)由 A 變到 B，即 t 的下限對應(yīng)曲線積分

6、的起點(diǎn)A，他的上限對應(yīng)曲線積分的起點(diǎn) A， t 的上限對應(yīng)終點(diǎn) B。歷年真題1、設(shè)曲線，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，過第二象限內(nèi)的點(diǎn)M 和第四象限內(nèi)的點(diǎn)N， 為 L 上從點(diǎn) M 到點(diǎn) N 的一段弧，則下列小于零的選項(xiàng)是(A)(B)(C)(D)(2007 ，數(shù)一， 4 分)【解析】設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，則有題設(shè)可知答案為 B。3 料推薦2、計(jì)算曲線積分，其中 是曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段。(2008 ，數(shù)一， 9 分)【解析】3、設(shè) 是柱面與平面的交線，從軸正方向往軸負(fù)方向看去為逆時(shí)針方向，則曲線積分(2011 ，數(shù)一， 4 分)【解析】采用斯托克斯公式直接計(jì)算4 、已知是第 一象限 中從點(diǎn)沿圓周到點(diǎn), 再沿圓周