穩(wěn)定裕度和校正

1、第14講程向紅,奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)和穩(wěn)定裕度 控制系統(tǒng)的校正,5.3.5 極坐標(biāo)圖的一般形狀,0型系統(tǒng)：極坐標(biāo)圖的起點(diǎn),是一個(gè)位于正實(shí)軸的有限值,極坐標(biāo)圖曲線的終點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，并且這一點(diǎn)上的曲線與一個(gè)坐標(biāo)軸相切,1型系統(tǒng),的相角是,極坐標(biāo)是一條漸近于平行與虛軸的直線的線段,幅值為零，且曲線收斂于原點(diǎn)，且曲線與一個(gè)坐標(biāo)軸相切,在總的相角中,項(xiàng)產(chǎn)生的,在總相角中,的相角是由,項(xiàng)產(chǎn)生的,2型系統(tǒng),圖5-34b高頻區(qū)域內(nèi)的極坐標(biāo)圖,如果,的分母多項(xiàng)式階次,的軌跡將沿者順時(shí)針?lè)较蚴諗坑谠c(diǎn),時(shí),軌跡將與實(shí)軸或虛軸相切,高于分子多項(xiàng)式階次，那么,當(dāng),5.5奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(Nyquist S

2、tability Criterion,圖3-35 閉環(huán)系統(tǒng),閉環(huán)傳遞函數(shù)為,為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，特征方程,的全部根，都必須位于左半s平面,的極點(diǎn)和零點(diǎn)可能位于右半s平面，但如果閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于左半s平面，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的,雖然開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),充要條件,5.5.2影射定理,設(shè),為兩個(gè)s的多項(xiàng)式之比，并設(shè)P為,的極點(diǎn)數(shù)，Z為,的零點(diǎn)數(shù)，它們位于s平面上的某一封閉曲線內(nèi),的任何極點(diǎn)和零點(diǎn)。于是，s平面上的這一封閉曲線影射到,平面上，也是一條封閉曲線。當(dāng)變量s順時(shí)針通過(guò)封閉曲線時(shí),平面上，相應(yīng)的軌跡順時(shí)針包圍,原點(diǎn)的總次數(shù)R等于Z-P,且有多重極點(diǎn)和多重零點(diǎn)的情況。設(shè)上述封閉曲線不通過(guò),在,若R

3、為正數(shù)，表示,的零點(diǎn)數(shù)超過(guò)了極點(diǎn)數(shù),的極點(diǎn)數(shù)超過(guò)了零點(diǎn)數(shù),很容易確定,的P數(shù)。因此，如果,的軌跡圖中確定了R，則s平面上封閉曲線內(nèi)的零點(diǎn)數(shù),若R為負(fù)數(shù)，表示,在控制系統(tǒng)應(yīng)用中，由,很容易確定,兩者的極點(diǎn)數(shù)相同,5.5.3影射定理在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用,為了分析線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，令s平面上的封閉曲線包圍整個(gè)右半s平面。這時(shí)的封閉曲線由整個(gè),軸(從,到,該封閉曲線為奈奎斯特軌跡(軌跡的方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?。因?yàn)槟慰固剀壽E包圍了整個(gè)右半s平面，所以它包圍了,和右半s平面上半徑為無(wú)窮大的半圓軌跡構(gòu)成,的所有正實(shí)部的極點(diǎn)和零點(diǎn),則不存在閉環(huán)極點(diǎn)，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的,如果,在右半s平面不存在零點(diǎn),

4、圖5-37 s平面內(nèi)的封閉曲線,曲線對(duì)原點(diǎn)的包圍，恰等于,軌跡對(duì)-1+j0點(diǎn)的包圍,這一判據(jù)可表示為,函數(shù),在右半s平面內(nèi)的零點(diǎn)數(shù),對(duì)-1+j0點(diǎn)順時(shí)針包圍的次數(shù),函數(shù),如果P不等于零，對(duì)于穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，必須,或,這意味著必須反時(shí)針?lè)较虬鼑?1+j0點(diǎn)P次,5.5.5關(guān)于奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的幾點(diǎn)說(shuō)明,式中,在右半s平面內(nèi)的極點(diǎn)數(shù),如果函數(shù),在右半s平面內(nèi)無(wú)任何極點(diǎn)，則,因此，為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定,的軌跡必須不包圍-1+j0點(diǎn),5.5.6,含有位于,上極點(diǎn)和/或零點(diǎn)的特殊情況,變量,沿著,軸從,運(yùn)動(dòng)到,從,到,變量,沿著半徑為,的半圓運(yùn)動(dòng)，再沿著正,軸從,運(yùn)動(dòng)到,對(duì)于包含因子,的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),當(dāng)變量

5、s沿半徑為,的半圓運(yùn)動(dòng)時(shí),的圖形中將有,個(gè)半徑為無(wú)窮大的順時(shí)針?lè)较虻陌雸A環(huán)繞原點(diǎn)。例如，考慮開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),當(dāng)s平面上的,時(shí),的相角,在右半s平面內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)，并且對(duì)所有的正K值，軌跡包圍,點(diǎn)兩次。所以函數(shù),在右半s平面內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn)。因此，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,如果在s平面內(nèi)，奈奎斯特軌跡包含,和P個(gè)極點(diǎn)，并且當(dāng)s變量順時(shí)針沿奈奎斯特軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，不,通過(guò)的任何極點(diǎn)或零點(diǎn)，則在,平面上相對(duì)應(yīng)的曲線將沿順時(shí)針?lè)较虬鼑?點(diǎn),次（負(fù)R值表示反時(shí)針包圍,點(diǎn),5.6穩(wěn)定性分析,的Z個(gè)零點(diǎn),a)不包圍-1+j0,如果這時(shí),在右半s平面內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)，說(shuō)明系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,點(diǎn)。如果反時(shí)針?lè)较虬鼑拇螖?shù)，

6、等于,在右半s平面內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)數(shù)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,點(diǎn)。系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,c)順時(shí)針包圍-1+j0,b)反時(shí)針包圍-1+j0,例5-3 設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,的軌跡如圖5-41所示,在右半s平面內(nèi)沒(méi)有任何極點(diǎn)，并且,的軌跡不包圍,所以對(duì)于任何的值，該系統(tǒng)都是穩(wěn)定的,圖5-41 例5-3中的,極坐標(biāo)圖,例5-4 設(shè)系統(tǒng)具有下列開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),試確定以下兩種情況下，系統(tǒng)的穩(wěn)定性：增益K較小增益K較大,小K值時(shí)是穩(wěn)定的,大K值時(shí)是不穩(wěn)定的,例5-5 設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,該系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性取決于,和,相對(duì)大小。試畫出該系統(tǒng)的奈奎斯特圖，并確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性,的軌跡不包圍,系統(tǒng)是穩(wěn)定的,的

7、軌跡通過(guò),點(diǎn)，這表明閉環(huán)極點(diǎn)位于軸上,的軌跡順時(shí)針?lè)较虬鼑?點(diǎn)兩次，因此系統(tǒng)有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)位于右半s平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,始,開(kāi),例5-6 設(shè)一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)具有下列,試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),極坐標(biāo)圖,圖5-44,解,在右半s平面內(nèi)有一個(gè)極點(diǎn),圖5-44中的奈奎斯特圖表明,軌跡順時(shí)針?lè)较虬鼑?1+0點(diǎn)一次,這表明閉環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)在右半s平面，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,1,2,3,極坐標(biāo)圖,圖5-44,例5-7 設(shè)一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)具有下列開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,圖5-45,極坐標(biāo)圖,解,漸近線,漸近線,漸近線,圖5-45,極坐標(biāo)圖,在右半s平面內(nèi)有一個(gè)極點(diǎn),因此開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定

8、的,軌跡逆時(shí)針?lè)较虬鼑?1+j0一次,說(shuō)明,沒(méi)有零點(diǎn)位于右半s平面內(nèi)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這是一個(gè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，但是回路閉合后，變成穩(wěn)定系統(tǒng)的例子,圖5-45表明,1,2,3,繼續(xù)例5-7,例5-8,一單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,式中,均為正值。為使系統(tǒng)穩(wěn)定，開(kāi)環(huán)增益,與時(shí)間常數(shù),之間滿足什么關(guān)系,解,頻率特性,令虛部為零即可,與負(fù)實(shí)軸相交于,展開(kāi),與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn),5.7.1相位裕度和增益裕度,圖5-46,的極坐標(biāo)圖,對(duì)于大的K值，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)增益減小到一定值時(shí),的軌跡通過(guò)-1+j0點(diǎn),對(duì)于小的K值，系統(tǒng)是穩(wěn)定的,的軌跡對(duì)-1+j0點(diǎn),點(diǎn)的靠近程度，可以用來(lái)度量穩(wěn)定裕量(對(duì)條件穩(wěn)定

9、系統(tǒng)不適用)。在實(shí)際系統(tǒng)中常用相位裕量和增益裕量表示,5.7相對(duì)穩(wěn)定性,相位裕度、相角裕度(Phase Margin,設(shè)系統(tǒng)的截止頻率(Gain cross-over frequency)為,定義相角裕度為,相角裕度的含義是,度，則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定,對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果開(kāi)環(huán)相頻特性再滯后,當(dāng),時(shí)，相位裕量為正值,為了使最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定，相位裕度必須為正。在極坐標(biāo)圖上的臨界點(diǎn)為0分貝和,時(shí)，相位裕度為負(fù)值,當(dāng),Positive Gain Margin,Positive Phase Margin,Negative Gain Margin,Negative Phase Margin,Stable

10、 System,Unstable System,0,dB,0,dB,增益裕度、幅值裕度(Gain Margin,設(shè)系統(tǒng)的相位穿越頻率(Phase cross-over frequency,定義幅值裕度為,幅值裕度,對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅頻特性再增大,倍，則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定狀態(tài),的含義是,若以分貝表示，則有,當(dāng)增益裕度以分貝表示時(shí)，如果,增益裕度為正值,則,正增益裕度(以分貝表示)表示系統(tǒng)是穩(wěn)定的；負(fù)增益裕度(以分貝表示)表示系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,如果,增益裕度為負(fù)值,Positive Gain Margin,Positive Phase Margin,Negative Gain Marg

11、in,Negative Phase Margin,Stable System,Unstable System,0,dB,0,dB,Positive Gain Margin,Positive Phase Margin,1,1,Negative Gain Margin,Negative Phase Margin,1,1,Stable System,Unstable System,判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的又一方法,一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為無(wú)窮大，因?yàn)檫@類系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖與負(fù)實(shí)軸不相交。因此，理論上一階或二階系統(tǒng)不可能是不穩(wěn)定的。當(dāng)然，一階或二階系統(tǒng)在一定意義上說(shuō)只能是近似的，因?yàn)樵谕茖?dǎo)系統(tǒng)方程時(shí)，忽略了一些小

12、的時(shí)間滯后，因此它們不是真正的一階或二階系統(tǒng)。如果計(jì)及這些小的滯后，則所謂的一階或二階系統(tǒng)可能是不穩(wěn)定的,對(duì)于穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，增益裕度指出了系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，增益能夠增大多少。對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)，增益裕度指出了為使系統(tǒng)穩(wěn)定，增益應(yīng)當(dāng)減少多少,一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為多少,只用增益裕度和相位裕度，都不足以說(shuō)明系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。為了確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，必須同時(shí)給出這兩個(gè)量,增益裕度應(yīng)當(dāng)大于6分貝,5.7.2關(guān)于相位裕度和增益裕度的幾點(diǎn)說(shuō)明,控制系統(tǒng)的相位裕度和增益裕度是系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖對(duì)-1+j0點(diǎn) 靠近程度的度量。這兩個(gè)裕度可以作為設(shè)計(jì)準(zhǔn)則,對(duì)于最小相位系統(tǒng)，只有當(dāng)相位裕度和增益裕度都是正值時(shí)

13、，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。負(fù)的裕度表示系統(tǒng)不穩(wěn)定。適當(dāng)?shù)南辔辉６群驮鲆嬖６瓤梢苑乐瓜到y(tǒng)中元件變化造成的影響，并且指明了頻率值,為了得到滿意的性能，相位裕度應(yīng)當(dāng)在,之間,例5-9 一單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,K=1時(shí)系統(tǒng)的相位裕度和增益裕度。要求通過(guò)增益K的調(diào)整，使系統(tǒng)的增益裕度20logh=20dB，相位裕度,解,即,相位穿越頻率,增益裕度,在,處的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅值為,根據(jù)K=1時(shí)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),相位裕度,增益穿越頻率,截止頻率,由題意知,驗(yàn)證是否滿足相位裕度的要求。 根據(jù),的要求，則得,不難看出,就能同時(shí)滿足相位裕度和增益裕度的要求,例5-11 設(shè)一單位反饋系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5-50所示(最小相位

14、系統(tǒng))。寫出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則求,時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差,解：由圖得,看對(duì)數(shù)幅頻特性,20dB/dec,20dB/dec,40dB/dec,40dB/dec,0.01,0.1,1,5,rad/s,dB,由于是最小相位系統(tǒng)，因而可通過(guò)計(jì)算相位裕度,是否大于零來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由圖可知,在,處,則得,單位斜坡輸入時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,0 系統(tǒng)穩(wěn)定,5.7.3 標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)中階躍瞬態(tài)響應(yīng)與頻率響應(yīng)之間的關(guān)系,在圖3-8所示的標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)中，單位階躍響應(yīng)中的最大超調(diào)量可以精確地與頻率響應(yīng)中的諧振峰值聯(lián)系在一起。因此，從本質(zhì)上看，在頻率響應(yīng)中包含的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性信息與在瞬態(tài)響應(yīng)

15、中包含的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性信息是相同的,書上例5-13p203,設(shè)截止頻率,則有,根據(jù)相位裕度的定義,上式說(shuō)明相位裕度僅僅與阻尼比有關(guān),圖5-51標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的相位裕度與阻尼比之間的關(guān)系,相位裕度與阻尼比直接相關(guān)。圖5-51表示了相位裕度與阻尼比的函數(shù)關(guān)系。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)，當(dāng)時(shí)，相位裕度與阻尼比之間的關(guān)系近似地用直線表示如下,因此，相位裕度相當(dāng)于阻尼比。對(duì)于具有一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)的高階系統(tǒng)，當(dāng)根據(jù)頻率響應(yīng)估計(jì)瞬態(tài)響應(yīng)中的相對(duì)穩(wěn)定性（即阻尼比）時(shí)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，可以應(yīng)用這個(gè)公式,對(duì)于小的阻尼比，諧振頻率與阻尼自然頻率的值幾乎是相同的。因此，對(duì)于小的阻尼比，諧振頻率的值表征了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的速度,的值越小,和,

16、的值越大,和,與,之間的函數(shù)關(guān)系如圖5-52所示。可以看出，當(dāng),時(shí),和,之間存在相近的關(guān)系。對(duì)于很小的,值,將變得很大，而,卻不會(huì)超過(guò)1,5.7.4截止頻率與帶寬(Cutoff frequency and bandwidth,圖5-53 截止頻率與系統(tǒng)帶寬,參看圖5-53，當(dāng)閉環(huán)頻率響應(yīng)的幅值下降到零頻率值以下3分貝時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率稱為截止頻率,對(duì)于的,系統(tǒng),閉環(huán)系統(tǒng)濾掉頻率大于截止頻率的信號(hào)分量，但是可以使頻率低于截止頻率的信號(hào)分量通過(guò)。 閉環(huán)系統(tǒng)的幅值不低于-3分貝時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率范圍稱為系統(tǒng)的帶寬。帶寬表示了這樣一個(gè)頻率，從此頻率開(kāi)始，增益將從其低頻時(shí)的幅值開(kāi)始下降,因此，帶寬表示了系統(tǒng)跟蹤

17、正弦輸入信號(hào)的能力。對(duì)于給定的,上升時(shí)間隨著阻尼比,的增加而增大。另一方面，帶寬隨著,的增加而減小。因此，上升時(shí)間與帶寬之間成反比關(guān)系,帶寬指標(biāo)取決于下列因素： 1、對(duì)輸入信號(hào)的再現(xiàn)能力。大的帶寬相應(yīng)于小的上升時(shí)間，即相應(yīng)于快速特性。粗略地說(shuō)，帶寬與響應(yīng)速度成反比。 2、對(duì)高頻噪聲必要的濾波特性。 為了使系統(tǒng)能夠精確地跟蹤任意輸入信號(hào)，系統(tǒng)必須具有大的帶寬。但是，從噪聲的觀點(diǎn)來(lái)看，帶寬不應(yīng)當(dāng)太大。因此，對(duì)帶寬的要求是矛盾的，好的設(shè)計(jì)通常需要折衷考慮。具有大帶寬的系統(tǒng)需要高性能的元件，因此，元件的成本通常隨著帶寬的增加而增大,一階系統(tǒng)的帶寬為其時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)。 二階系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為,因?yàn)?由帶寬的定義得,于是,第六章 控制系統(tǒng)的校正 在前面幾章中。討論了控制系統(tǒng)幾種基本方法。掌握了這些基本方