（江蘇專用）202x版高考數學大一輪復習 第四章 4 第四節(jié) 函數y= Asin（ωx+φ）的圖象及三角函數模型的簡單應用

1、第四節(jié)函數y= Asin(x+)的圖象及三角函數模型的簡單應用,1.“五點法”作圖,2.函數y=Asin(x+)(A0,0)的性質,教材研讀,考點一 函數y=Asin(x+)的圖象和性質,考點二 三角函數模型的簡單應用,考點突破,1.“五點法”作圖 在確定正弦函數y=sin x在0,2上的圖象形狀時,起關鍵作用的五個點的坐標分別是(0,0)、(,0)、(2,0,教材研讀,2.函數y=Asin(x+)(A0,0)的性質 若函數y=Asin(x+)(A0,0)表示一個振動量,則A叫做振幅,T=叫做周期, f=叫做頻率,x+叫做相位,x=0時 的相位稱為初相,3.函數y=sin x的圖象經變換得到y(tǒng)

2、=Asin(x+)(A0,0)的圖象的步驟如下,1.(教材習題改編)要得到函數y=3sin的圖象,只需將函數y=3sin 2x的圖象向平移個單位長度,答案左,2.(2018江蘇南通高考數學沖刺小練(36)將函數f(x)=cos x圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再將所得到的圖象向右平移 個單位長度得到函數g(x)的圖象,則g(x),答案cos,解析將函數f(x)=cos x圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)得到y(tǒng)=cos x的圖象,再將其向右平移個單位長度得到函數 g(x)=cos=cos的圖象,3.(教材習題改編)若函數f(x)=Asin(x+)(A0,0

3、,0,2)的部分圖象如圖,則該函數的振幅、頻率和初相分別是,答案3,解析由圖象可得振幅A=3,最小正周期T=8,則頻率f=,=,函 數f(x)=3sin的圖象過點(1,3),則f(1)=3sin=3,+=+2k,k Z,則=+2k,kZ,又0,2),則初相,4.(2018江蘇如皋高三調研)將函數y=sin的圖象向右平移個單 位長度,得到函數y=f(x)的圖象,則f的值為,答案,解析將y=sin的圖象向右平移個單位長度得到y(tǒng)=sin =sin 2x的圖象,所以f(x)=sin 2x, f=sin,5.(2019江蘇三校高三模擬)將函數y=2cos的圖象向右平移 個單位長度后,所得函數為奇函數,則

4、,答案,解析將函數y=2cos的圖象向右平移個單位長度后 得到函數y=2cos的圖象,所得函數為奇函數,則-2=+k,k Z,=-k,kZ,又0,則k=-1,考點一 函數y=Asin(x+)的圖象和性質 角度一三角函數的圖象變換 典例1已知函數y=2sin. (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五點法”畫出它在一個周期內的圖象; (3)y=2sin的圖象可由y=sin x的圖象經過怎樣的變換得到,考點突破,解析(1)y=2sin的振幅A=2,周期T=, 初相=. (2)令X=2x+,則y=2sin=2sin X. 列表,描點并畫出該函數在一個周期內的圖象: (3)把y=sin x的圖象上

5、所有的點向左平移個單位,得到y(tǒng)=sin的圖,象,再把y=sin的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的(縱坐 標不變),得到y(tǒng)=sin的圖象,最后把y=sin的圖象上所有點 的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變),即可得到y(tǒng)=2sin的圖 象,解析y=2cos 2x=2sin的圖象y=2sin 2x的圖象 y=2sin的圖象, 故將y=2cos 2x的圖象向右平移個單位長度即可得到y(tǒng)=2sin的 圖象,探究若將本例(3)中“y=sin x”改為“y=2cos 2x”,則如何變換,1)五點法:用“五點法”作y=Asin(x+)的簡圖,主要是通過變量代換,令z=x+,由z取0,2來求出相應的x的值,通

6、過列表得出五點坐 標,描點,連線后得出圖象. (2)圖象變換法:由函數y=sin x的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象有兩種途徑:“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移,方法技巧 函數y=Asin(x+)(A0,0)的圖象的作法,易錯警示 三角函數圖象左、右平移時應注意的問題 (1)注意平移前后兩個函數的名稱一致,若不一致,則應先利用誘導公式 化為同名函數. (2)由y=Asin x的圖象得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象時,需平移的單位數應為,而不是,典例2(1)(2018江蘇南京多校高三上學期第一次段考)函數f(x)=Asin(x+ )的部分圖象如圖所示,則f(0),角度二由圖象確定y=A

7、sin(x+)的解析式,2)(2019江蘇南通高三模擬)函數f(x)=Asin(x+)的 部分圖象如圖所示,現將函數y=f(x)的圖象向右平移個單位長度后,得 到函數y=g(x)的圖象,則函數g(x)的解析式為,答案(1)(2)g(x)=sin,解析(1)由圖象可得A=,T=-=,則T=,=2,易知sin=- 1,則=+2k,kZ,又0,則=,則f(x)=sin,則f(0)=sin,2)由題圖得A=1,T=-=,所以T=,故=2.所以sin= 1,結合|,得=,所以f(x)=sin,將函數f(x)的圖象向右平移 個單位長度后得函數g(x)=sin2+=sin的圖象,故g(x),sin,方法技巧

8、 根據函數y=Asin(x+)+b(A0,0)的圖象求其解析式時,主要從以下四個方面入手: (1)A的確定:根據圖象的最高點和最低點,即A=. (2)b的確定:根據圖象的最高點和最低點,即b=. (3)的確定:利用圖象先求出周期T,然后由T=(0)來確定,4)的確定:由函數圖象的特殊點(如最高點、最低點)得到關于的方程,結合的范圍確定,典例3(2018江蘇淮安摸底)函數f(x)=Asin(x+)的部分圖象如圖所示. (1)求函數y=f(x)的解析式; (2)當x時,求f(x)的取值范圍,角度三函數y=Asin(x+)的圖象與性質的綜合應用,解析(1)由題圖知,A=2,=-=, 解得T=2, 所

9、以=1,所以f(x)=2sin(x+). 將代入,得2sin=2, 所以sin=1, 所以+=+2k(kZ,即=+2k(kZ),又-,所以=, 所以f(x)=2sin. (2)當x時,x+, 所以sin,2sin-,2, 即f(x)-,2,方法技巧 解決該類問題一般是先由條件確定函數的解析式,再根據解析式的特點,結合三角函數的圖象與性質求解,1-1(2018江蘇揚州中學高三模擬)函數y=cos(2x+)(-)的圖象向右平移個單位后,與函數y=sin的圖象重合,則,答案,解析函數y=cos(2x+)(-)的圖象向右平移個單位后,得到y(tǒng)= cos=cos(2x-+)的圖象,該圖象與函數y=sin=

10、cos 的圖象重合,則-+=-,1-2(2017江蘇常州高三第一學期調研測試)已知函數f(x)=Asin(x+)+b(A0,0)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式為,答案f(x)=2sin+3,解析由題圖可得所以A=2,b=3. 易知=3,故T=12, 所以=. 所以f(x)=2sin+3. 由f(1)=5,得2sin+3=5,即sin=1,可得+=2k+(kZ), 所以=2k+(kZ). 從而f(x)=2sin+3=2sin+3,1-3函數f(x)=sin(x+)的部分圖象如圖所示,則函數 f(x)的單調減區(qū)間為,答案(kZ,解析由圖象可知f(x)的最小正周期T=4=,則=2.又f =s

11、in=1,0,則=,所以 f(x)=sin,由+2k2x+ +2k(kZ),解得+kx+k(kZ),即f(x)的單調減區(qū)間為 (kZ,典例4如圖,某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數y= 3sin+k,據此可知,這段時間水深(單位:m)的最大值為m,考點二 三角函數模型的簡單應用,答案8,解析因為函數y=3sin+k的最小值為2, 所以-3+k=2,得k=5, 故這段時間水深的最大值為3+5=8(m,方法技巧 解決三角函數模型實際應用問題的方法 (1)當函數模型已知時,審清題意,根據條件,確定相應的參數和自變量的取值范圍. (2)當函數模型不清楚時,按下列步驟進行:審題,理出條件和結論,找到,合適的角作為自變量;建立函數模型,設出三角函數表達式,特別注意自變量的取值范圍;用數學知識求出問題的解;