運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體平面運(yùn)動(dòng)

1、第13章剛體的平面運(yùn)動(dòng),目 錄,13.1 基本概念與運(yùn)動(dòng)分解 13.2 平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度計(jì)算 13.3 平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度計(jì)算,運(yùn)動(dòng)學(xué),剛體的平面運(yùn)動(dòng)是工程上常見的一種運(yùn)動(dòng)，這是一種較為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。對(duì)它的研究可以在研究剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，通過運(yùn)動(dòng)合成和分解的方法，將平面運(yùn)動(dòng)分解為上述兩種基本運(yùn)動(dòng)然后應(yīng)用合成運(yùn)動(dòng)的理論，推導(dǎo)出平面運(yùn)動(dòng)剛體上一點(diǎn)的速度和加速度的計(jì)算公式,運(yùn)動(dòng)學(xué),13.1 剛體平面運(yùn)動(dòng)的概述和運(yùn)動(dòng)分解,一平面運(yùn)動(dòng)的定義 在運(yùn)動(dòng)過程中，剛體上任一點(diǎn)到某一固定平面的距離始終保持不變。也就是說，剛體上任一點(diǎn)都在與該固定平面平行的某一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，具有這種特點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)稱為剛體

2、的平面運(yùn)動(dòng),例如： 曲柄連桿機(jī)構(gòu)中連桿AB的運(yùn)動(dòng)， A點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，B點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，因此，AB 桿的運(yùn)動(dòng)既不是平動(dòng)也不是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，而是平面運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)學(xué),運(yùn)動(dòng)學(xué),請(qǐng)看動(dòng)畫,運(yùn)動(dòng)學(xué),二平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化 剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為平面圖形S在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。 即在研究平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，不需考慮剛體的形狀和尺寸，只需研究平面圖形的運(yùn)動(dòng)，確定平面圖形上各點(diǎn)的速度和加速度,運(yùn)動(dòng)學(xué),三平面運(yùn)動(dòng)方程 為了確定代表平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面圖形的位置，我們只需確定平面圖形內(nèi)任意一條線段的位置,任意線段AB的位置可用A點(diǎn)的坐標(biāo)和AB與x軸夾角表示，因此圖形S 的位置決定于三個(gè)獨(dú)立的參變量。所以,四平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 當(dāng)圖

3、形上點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，則剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)； 當(dāng)圖形上 角不變時(shí)，則剛體作平動(dòng)； 故剛體平面運(yùn)動(dòng)可以看成是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)學(xué),運(yùn)動(dòng)學(xué),例如車輪的運(yùn)動(dòng),車輪的平面運(yùn)動(dòng)可以看成是車輪隨同車廂的平動(dòng)和相對(duì)車廂的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成,車輪對(duì)于靜系的平面運(yùn)動(dòng) （絕對(duì)運(yùn)動(dòng)） 車廂（動(dòng)系A(chǔ)x y ) 相對(duì)靜系的平動(dòng) （牽連運(yùn)動(dòng)） 車輪相對(duì)車廂（動(dòng)系A(chǔ)x y）的轉(zhuǎn)動(dòng) （相對(duì)運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)學(xué),我們稱動(dòng)系上的原點(diǎn)為基點(diǎn)，于是,車輪的平面運(yùn)動(dòng),隨基點(diǎn)A的平動(dòng),繞基點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動(dòng),剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)學(xué),再例如：平面圖形在時(shí)間內(nèi)從位置I運(yùn)動(dòng)到位置II,1.以A為基點(diǎn): 隨基點(diǎn)A平動(dòng)到AB 后,繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)

4、 角到AB 2.以B為基點(diǎn): 隨基點(diǎn)B平動(dòng)到AB 后, 繞基點(diǎn)轉(zhuǎn) 角到AB 圖中看出：AB AB AB ，。于是有,運(yùn)動(dòng)學(xué),所以，平面運(yùn)動(dòng)隨基點(diǎn)平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律與基點(diǎn)選取無關(guān)。(即在同一瞬間，圖形繞任一基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的 、 都是相同的）基點(diǎn)的選取是任意的。(通常選取運(yùn)動(dòng)情況已知的點(diǎn)作為基點(diǎn),運(yùn)動(dòng)學(xué),曲柄連桿機(jī)構(gòu),AB桿作平面運(yùn)動(dòng) 平面運(yùn)動(dòng)的分解,請(qǐng)看動(dòng)畫,13.2 平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度計(jì)算,運(yùn)動(dòng)學(xué),一、基點(diǎn)法，又稱為合成法,取B為動(dòng)點(diǎn), 則B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可視為牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)的合成,已知：圖形S內(nèi)一點(diǎn)A的速度， 圖形角速度求,指向與 轉(zhuǎn)向一致,取A為基

5、點(diǎn), 將動(dòng)系固結(jié)于A點(diǎn), 動(dòng)系作平動(dòng),由于A、 B點(diǎn)是任意的，因此 表示了圖形上任意兩點(diǎn)速度間的關(guān)系。由于恒有 ，因此將上式在AB上投影，有,速度投影定理,即平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在該兩點(diǎn)連線上的投影彼此相等。這種求解速度的方法稱為 速度投影法,運(yùn)動(dòng)學(xué),即平面圖形上任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度的矢量和。這種求解速度的方法稱為基點(diǎn)法，也稱為合成法。它是求解平面圖形內(nèi)一點(diǎn)速度的基本方法,速度投影法,1. 問題的提出 若選取速度為零的點(diǎn)作為基點(diǎn)，求解速度問題的計(jì)算會(huì)大大簡(jiǎn)化于是，自然會(huì)提出，在某一瞬時(shí)圖形是否有一點(diǎn)速度等于零？如果存在的話，該點(diǎn)如何確定,運(yùn)動(dòng)學(xué),速度瞬心的

6、概念 平面圖形S，某瞬時(shí)其上一點(diǎn)A速度 ， 圖形角速度，沿 方向取半直線AL， 然后 順 的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90o至AL的位置，在AL上取長(zhǎng) 度 則,二、瞬心法,即在某一瞬時(shí)必唯一存在一點(diǎn)速度等于零，該點(diǎn)稱為平面圖形在該瞬時(shí)的瞬時(shí)速度中心，簡(jiǎn)稱速度瞬心,運(yùn)動(dòng)學(xué),幾種確定速度瞬心位置的方法,已知圖形上一點(diǎn)的速度 和圖形角速度， 可以確定速度瞬心的位置。（P點(diǎn)） 且在 順轉(zhuǎn)向繞A點(diǎn) 轉(zhuǎn)90的方向一側(cè),已知一平面圖形在固定面上作無滑動(dòng)的滾 動(dòng)， 則圖形與固定面的接觸點(diǎn)P為速度瞬 心,運(yùn)動(dòng)學(xué),已知某瞬間平面圖形上A,B兩點(diǎn)速度 的方向，且 。過 A 、 B兩點(diǎn)分別作速度 的垂線， 交點(diǎn) P即為該瞬間的速度瞬心,

7、運(yùn)動(dòng)學(xué),另：對(duì)種(a)的情況，若vAvB， 則是瞬時(shí)平動(dòng),已知某瞬時(shí)圖形上A,B兩點(diǎn)的速度方向相同，且不與AB連線 垂直。此時(shí)， 圖形的瞬心在無窮遠(yuǎn)處,圖形的角速度 =0， 圖形上各點(diǎn)速度相等，這種情況稱為瞬時(shí)平動(dòng)。 (此時(shí)各點(diǎn) 的加速度不相等,例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，連桿BC作瞬時(shí)平動(dòng),此時(shí)連桿BC的圖形角速度 ，BC桿上各點(diǎn)的速度都相等，但各點(diǎn)的加速度并不相等。 設(shè)勻角速度，則,而的方向沿AC的， 瞬時(shí)平動(dòng)與平動(dòng)不同,運(yùn)動(dòng)學(xué),速度瞬心法 利用速度瞬心求解平面圖形上點(diǎn)的速度的方法，稱為速度瞬心法。 平面圖形在任一瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)可以視為繞速度瞬心的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)

8、中心。 若P點(diǎn)為速度瞬心，則任意一點(diǎn)A的速度大小為 ，方向AP，指向與 一致,運(yùn)動(dòng)學(xué),注意的問題 速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的，而是隨時(shí)間不斷變化的。在任一瞬時(shí)是唯一存在的。 速度瞬心處的速度為零, 加速度不一定為零。不同于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 剛體作瞬時(shí)平動(dòng)時(shí)，雖然各點(diǎn)的速度相同，但各點(diǎn)的加速度是不一定相同的。不同于剛體作平動(dòng),解：機(jī)構(gòu)中，OA作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，AB作平面運(yùn)動(dòng)，滑塊B作平動(dòng),基點(diǎn)法（合成法） 研究 AB，以 A為基點(diǎn)，且方向如圖示,運(yùn)動(dòng)學(xué),例1 已知：曲柄連桿機(jī)構(gòu)OA=AB=l，取柄OA以勻 轉(zhuǎn)動(dòng)。 求：當(dāng) =45時(shí)， 滑塊B的速度及AB桿的角速度,試比較上述三種方法的特點(diǎn),運(yùn)動(dòng)學(xué),

9、根據(jù)速度投影定理,不能求出,速度投影法 研究AB, , 方向OA, 方向沿BO直線,速度瞬心法 研究AB，已知的方向，因此 可確定出P點(diǎn)為速度瞬心,13.3 平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度計(jì)算,取A為基點(diǎn)，將平動(dòng)坐標(biāo)系固結(jié)于A點(diǎn)取B動(dòng)點(diǎn)，則B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分解為相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng),于是由牽連平動(dòng)時(shí)加速度合成定理可得如下公式,運(yùn)動(dòng)學(xué),已知：圖形S 內(nèi)一點(diǎn)A 的加速度 和圖形 的 、 （某一瞬時(shí)）。 求：該瞬時(shí)圖形上任一點(diǎn)B的加速度,其中：，方向AB，指向與 一致； ，方向沿AB，指向A點(diǎn),運(yùn)動(dòng)學(xué),即平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和。

10、 這種求解加速度的方法稱為基點(diǎn)法，也稱為合成法。是求解平面圖形內(nèi)一點(diǎn)加速度的基本方法,上述公式是一平面矢量方程。需知其中六個(gè)要素，方能求 出其余兩個(gè)。由于 方位總是已知，所以在使用該公式中，只要再知道四個(gè)要素，即可解出問題的待求量,分析： 大小 ？ w 2 方向 ？ 故應(yīng)先求出,運(yùn)動(dòng)學(xué),例2 半徑為R的車輪沿直線作純滾動(dòng),已知輪心O點(diǎn)的速度 及加速度 ，求車輪與軌道接觸點(diǎn)P的加速度,解：輪O作平面運(yùn)動(dòng)，P為速度瞬心,由于此式在任何瞬時(shí)都成立，且O點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，故而,由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心。當(dāng)車輪沿固定的直線軌道作純滾動(dòng)時(shí)，其速度瞬心P的加速度指向輪心,運(yùn)動(dòng)學(xué)

11、,以O(shè)為基點(diǎn)，有 其中： 做出加速度矢量圖，由圖中看出： （ 與 等值反向） 即,解：(a) AB作平動(dòng),運(yùn)動(dòng)學(xué),例3 已知O1A=O2B, 圖示瞬時(shí) O1A/O2B。 試問(a)、(b)兩種情況下1和 2，1和2是否相等,a,b,b) AB作平面運(yùn)動(dòng), 圖示瞬時(shí)作瞬時(shí)平動(dòng), 此時(shí),運(yùn)動(dòng)學(xué),運(yùn)動(dòng)學(xué),例4 曲柄滾輪機(jī)構(gòu)，滾子半徑R=15cm， n =60 rpm。求：當(dāng) =60時(shí) (OAAB)，滾輪的,翻頁(yè)請(qǐng)看動(dòng)畫,請(qǐng)看動(dòng)畫,運(yùn)動(dòng)學(xué),例4 曲柄滾輪機(jī)構(gòu),解：OA定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，AB桿和輪B作平面運(yùn)動(dòng) 研究AB,P為其速度瞬心,運(yùn)動(dòng)學(xué),分析： 要想求出滾輪的、 先要求出 vB, aB,P1,P2為輪速度

12、瞬心,運(yùn)動(dòng)學(xué),取A為基點(diǎn),指向O點(diǎn),大?。?？ 方向,作加速度矢量圖，將上式向BA線上投影,例5 曲柄肘桿壓床機(jī)構(gòu)。已知：OA=0.15m ， n=300 rpm ，AB=0.76m， BC=BD=0.53m。圖示位置時(shí)，AB水平 求該位置時(shí)的、 及,運(yùn)動(dòng)學(xué),翻頁(yè)請(qǐng)看動(dòng)畫,請(qǐng)看動(dòng)畫,運(yùn)動(dòng)學(xué),例5 曲柄肘桿壓床機(jī)構(gòu),解：OA，BC作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)， AB，BD均作平面運(yùn)動(dòng) 根據(jù)題意： 研究AB， P為其速度瞬心,運(yùn)動(dòng)學(xué),研究BD，P2為其速度瞬心，BDP2為等邊三角形DP2=BP2=BD,例6 平面機(jī)構(gòu)中，楔塊M： =30，v=12cm/s ；盤： r = 4cm ，與 楔塊間無滑動(dòng)。求圓盤的及軸O的速度和B點(diǎn)速度,運(yùn)動(dòng)學(xué),請(qǐng)看動(dòng)畫,解：軸O， 桿OC， 楔塊M均作平動(dòng)， 圓盤作平面運(yùn)動(dòng)，P為速度瞬心,運(yùn)動(dòng)學(xué),例6 平面機(jī)構(gòu)中， 楔塊M： =30，v=12cm/s ；盤： r = 4cm ，與 楔塊間無滑動(dòng)。求圓盤的及軸O的速度和B點(diǎn)速度,解：OA定軸轉(zhuǎn)動(dòng) ； AB、 BC均作平面運(yùn)動(dòng)，滑塊B和C均作平動(dòng),求,對(duì)AB桿應(yīng)用速度投影定理,對(duì)BC桿應(yīng)用速度投影定理,運(yùn)動(dòng)學(xué),例7 已知：配氣機(jī)構(gòu)中，OA= r , 以等 o轉(zhuǎn)動(dòng),