數(shù)學建?！珕栴}前期分析

1、數(shù)學建模 -問題前期分析,數(shù)學模型(E.A.Bendar 定義)： 關(guān)于部分現(xiàn)實世界為一定目的而做的抽象、簡化的數(shù)學結(jié)構(gòu),數(shù)學模型是現(xiàn)實世界與數(shù)學世界的理想橋梁,怎樣構(gòu)架這座橋梁,現(xiàn) 實 世 界,數(shù) 學 世 界,建立數(shù)學模型,推理演繹求解,翻譯為實際解答,實際解答：如對現(xiàn)實對象的分析、預報、 決策、控制等結(jié)果,始于現(xiàn)實世界并終于現(xiàn)實世界,求解數(shù)學模型,實際問題分析,建立數(shù)學模型,提交論文與報告,模型與模型解的分析及檢驗,數(shù)學建模的各階段工作,問題的前期分析 包括： 明確問題、分析條件、分析數(shù)據(jù)等,為什么問題前期分析至關(guān)重要,數(shù)學建模問題往往含混不清,可能的原因有,提出問題的人未能清楚地表述問題

2、,不同領(lǐng)域的人交流出現(xiàn)故障,各領(lǐng)域的應用者提出問題時,未給出恰當 的條件,對問題進行充分的前期分析以前,過早著手解決問題,往往會陷入一些意想不到的陷阱,或者偏離解決問題的方向,未能準確理解問題,不應過早進入細節(jié),掌握問題分析方法,數(shù)學建模過程是一種創(chuàng)新過程，在思考方法和思維方式有自身特點,數(shù)學創(chuàng)新思維,等等,類比思維,歸納思維,逆向思維,發(fā)散思維,猜測思維,一、問題分析的方法,掌握幾類方法：問題解決法、思想表達法、創(chuàng)造發(fā)明法,方法的共同特點： 不輕易否定別人的意見， 懷疑一般常識， 努力發(fā)現(xiàn)別人尚未察覺的事物等,幾種（個體和集體的）創(chuàng)造性思維方法,對于創(chuàng)造能力的培養(yǎng)不可或缺,一、打開思路的方法

3、,面對新問題，應盡量打開自己的思路,發(fā)散性思維和猜測思維是創(chuàng)造性思維方式的重要組成部分,1. 不要輕易沿一條思路深入，不要輕易做出結(jié)論,2. 盡量多一些想法，多一些猜測,思考、思考、再思考,幫助展開思路的方法,關(guān)鍵詞聯(lián)想法,提問題法,1.提問題法 借助于一系列問題來展開思路,面臨難題, 束手無策時通過提出一系列問題來導出一些想法或一個好的方案,如,l) 這個問題和什么問題相類似,2) 假如變動問題的某些條件將會怎樣,4) 重新組合又會怎樣,3) 將問題分解成若干部分再考慮會怎樣,為進一步打開思路可提以下問題,5) 我們還可以做什么工作,6)有無需要進一步完善的內(nèi)容,7) 可否換一種數(shù)學工具來解

4、決此問題,針對問題和初始方案可以先設計出類似的 問題清單，然后反復展開,例1 穿越公路問題,在一個由交通燈控制車輛通行的十字路口，問綠燈亮的15秒期間有多少輛車通過交通燈下,這個問題太籠統(tǒng)含混，因為紅綠燈控制交通 的方式可能非常復雜，有哪些問題值得我們 去思考的呢,1. 交通燈左轉(zhuǎn)彎，右轉(zhuǎn)彎如何執(zhí)行,當車輛較少時可能沒有多少要通過路口 的車輛,3. 車輛較多時可能等在后排的司機在下一 一次紅燈亮起的時候仍然沒有通過路口,4. 有多少條車道,為了明確問題，這里研究紅燈時有較長車隊等候經(jīng)過口。并作如下假設,1、十字路口沒有阻塞。 2、所有車輛筆直穿越路口。 3、所有車長5米，從禁止狀況啟動。 4、

5、每輛車間距2米,問題分析：城市里大多數(shù)車以15米/秒的速度行駛，假定所有車從禁止勻加速到15米/秒。而大部分汽車廠商宣稱可以在10秒內(nèi)由禁止加速到25米/秒左右，則加速度為2.5米/秒，保守取一班車加速度為2米/秒。則一輛汽車通過路口的關(guān)系式為,2,2,接下來考慮整個車隊：假定前一輛車啟動后，下一輛車延遲1秒啟動。則可以得到各個車輛在各個時間的行駛狀況。例如五輛車行駛4秒,一種新產(chǎn)品剛面世，廠家和商家總是采取各種措施促進銷售，比如不惜血本大做廣告等等.他們都希望對這種新產(chǎn)品的推銷速度做到心中有數(shù),廠家用于組織生產(chǎn)，商家便于安排進貨,例2 電飯煲銷售問題,怎樣建立一個數(shù)學模型描述新產(chǎn)品(電飯煲)

6、推銷速度，并由此分析出一些有用的結(jié)果以指導生產(chǎn),問題分析：產(chǎn)品剛出現(xiàn)時，人們對此一無所知，有部分人使用后感到很方便，向親朋好友宣傳。設 時刻已售出的電飯煲數(shù)量為 ，且每一售出的電飯煲在單位時間內(nèi)平均吸引 個顧客，即滿足微分方程,若已知 時， ，則其解為,若進一步分析 時， 顯然與事實不符,問題分析：設需求量的上界為M，則尚未使用的人數(shù)為 ，銷售速度與 和 的乘積成正比，比例系數(shù)為 ，則有,想一想 此問題與我們遇到的哪一個建模問題 相類似,分析 Logistic人口模型，t 時刻的人口數(shù)為,t0,改寫為,數(shù)學分析,1. 若 r0，則S0，隨著 ,則,2. 若 r0，討論Logistic曲線特征,

7、N(t) 是單調(diào)上升函數(shù),K是使得人口凈增長率 r(K)=0 的人口數(shù)，可理解為該地區(qū)能容納的人口上限,人口不會無限增長，存在一個轉(zhuǎn)折時間點t0 ，過此點以后增長速度會減緩,1) 一般每戶只需用12只電飯煲就足夠,一個地區(qū)的需求量是有限的,電飯煲的銷售情況類似于人口增長情況,可 利用類比方法建立模型,Logistic模型特點：初期高速增長，過一個特 定時間點后增長速度減緩，且有上界控制,對原問題的分析,2) 初期在廣告之類推銷作用下銷售速度較快,商品趨于飽和時銷售速度會減緩,記x(t)為t 時刻已售出的電飯煲總數(shù),市場的飽和量(最大需求量)為M,利用Logistic模型,來描述電飯煲的銷售速度

8、變化情況,實際情況與Logistic銷售曲線十分吻合,思考 請考慮現(xiàn)實中哪些變量的變化可用 Logistic模型進行描述,現(xiàn)代化都市里大樓林立,這些拔地而起的摩天大樓安全性不容忽視,我們經(jīng)常耳聞目睹大樓內(nèi)發(fā)生意外情況,造成令人震驚的人員傷亡和財產(chǎn)損失. 大樓內(nèi)居住人員的安全保障在于無論發(fā)生什么情況,都能使人員有組織,有秩序地進行疏散撤離,一座大樓的管委會想進行一次緊急疏散 人員的演習,例3 “地震”事件的反思,問題分析 演習之前需要考慮許多方面,如大樓內(nèi)的設施、人員的分布情況、撤離路線的設計、撤離的步驟等等，這是一個較龐大的系統(tǒng)工程,應考慮將此問題分解成為若干個子問題，如,一個房間內(nèi)人員的撤離

9、,一個通道的撤離,一層樓人員的撤離,最后，將各個子問題重新組合起來,上面的敘述太籠統(tǒng)，無法建立模型。因為我們不知道大樓面積有多大，樓層數(shù)和出口數(shù)為多少等等。但是一個熟練的建模人員善于簡化那些看起來很復雜的問題，而且通常從較簡單的情況入手所得到的結(jié)果有助于整個問題的解決,我們不如考慮一所學校的教學樓。其中一樓教室如下圖所示,問題分析：先考慮一個房間內(nèi)的疏散情形。人與人之間的距離為 米，人員疏散時的速度為 米/秒，第一個到達門口所用時間為 。則人鏈的長度為 米。整個撤離時間為,兩間房子的疏散情況怎么樣,仔細考慮覺得有些欠缺，即沒有考慮不同房間人員在走廊上的沖突問題，為了避免混亂，規(guī)定走廊只能允許一

10、列隊伍通過，在第一個房間人員疏散過程中第二個房間的人員需要等待，以此類推,第一條人鏈鏈尾到達門口所需時間,第二條人鏈鏈頭到達第一間門口所需時間,所以當 時，第二個房間的人員需要等待,則兩個房間全體人員疏散所需時間為,2.關(guān)鍵詞聯(lián)想法 一種有效的發(fā)散思維方式,主要步驟如下,1) 抓住問題或方案的關(guān)鍵詞,不受任何約束地進行聯(lián)想,2)把聯(lián)想到的內(nèi)容用關(guān)鍵詞的方式登記在卡片上,進一步激發(fā)產(chǎn)生新的想法,進一步想出新的主意,3) 再把積攢的卡片相互搭配,形成解決問題 的初步思路與步驟,在約10,000米高空的某邊長160公里的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有若干架飛機作水平飛行.區(qū)域內(nèi)每架飛機的位置和速度均由計算機記

11、錄其數(shù)據(jù),以便進行飛行管理.當一架欲進入該區(qū)域的飛機到達區(qū)域邊緣,記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計算并判斷是否會與區(qū)域內(nèi)的飛機發(fā)生碰撞.如果會碰撞,則應,例4 飛行管理問題,請你對這個避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù) 學模型,列出計算步驟,對以下數(shù)據(jù)進行計算 (方向角誤差不超過0.01度).要求飛機飛行方 向角調(diào)整的幅度盡量小.記錄數(shù)據(jù)為： 試根據(jù)實際應用背景對你的模型進行評價 與推廣,計算如何調(diào)整各架（包括新進入的）飛機飛行方向角，以避免碰撞.現(xiàn)假定條件如下：,對問題仔細閱讀, 首先抓住題目中的關(guān)鍵詞“管理”進行聯(lián)想,抓住諸如“碰撞”、“調(diào)整”、“避免碰撞”、 “立即”、“判斷”等等詞語,聯(lián)系解決問題的方

12、案,不加約束繼續(xù)聯(lián)想，再將關(guān)鍵詞搭配起來,立即 判斷,碰撞,條件,實時,算法,避免 碰撞,調(diào)整 方向角,實時,幅度盡量小,相對,距離,優(yōu)化問題,優(yōu)化算法,優(yōu)化調(diào)整方案,問題的初步理解和想法,飛行管理問題是優(yōu)化問題,在調(diào)整方向角的幅度盡量小的同時，還必須注意調(diào)整方案及算法的實時性,二、整體把握問題的方法,有兩種把握住問題的全貌的有效方法,1) 層次結(jié)構(gòu)法,2) 問題分解法,有專著介紹,問題分解法是一種簡單而有效的把握問題整體的方法,將問題分解為“三要素”的三個部分,問題分解三要素,初態(tài),目標態(tài),過程,覺察到的現(xiàn)在狀態(tài)(目前“有什么”，如條件、數(shù)據(jù)等,覺察到的希望目標(想要什么、 希望達到什么等,

13、能在“初態(tài)”和“目標態(tài)”之間發(fā)生 作用的行動(能做什么,例5 常見數(shù)學題目模式,已知,求（證,解題,初態(tài),目標態(tài),過程,教師的主要教學目標,解決實際問題時，分析出問題的初態(tài)和 目標態(tài)很困難,未清晰地描述出問題的“初態(tài)”和“目標態(tài)” 之前，過早地進入解決問題的階段，會條件不 清、目標不明,盡量拓展思路的基礎(chǔ)上, 再進行充分分析 得到的問題分解結(jié)果,例6飛行管理問題,初態(tài)：現(xiàn)有飛機的飛行狀態(tài)（數(shù)據(jù)）與碰撞條件,過程：建立碰撞的判別準則，優(yōu)化管理方案及相應算法,目標態(tài)：實時調(diào)整，避免碰撞,氣象觀察站調(diào)整問題,某地區(qū)內(nèi)有12個氣象觀察站（位置如圖), 有10年各觀察站的年降水量數(shù)據(jù).為了節(jié)省 開支，想

14、要適當減少氣象站,問題：減少哪些觀察站可以使得到的降水量的信息量仍然足夠大,如何利用熵的概念解決此問題，給出解決問 題的思路,1. 問題分析,首先找出問題中的關(guān)鍵詞，進行聯(lián)想,減少 站數(shù),刪除 原則,保持 信息量,各站 關(guān)系,降水 數(shù)據(jù),足夠大,衡量 指標,衡量 指標,熵,降水數(shù)據(jù),2. 問題的分解,初態(tài)：12個氣象站的年降水數(shù)據(jù),無日或月的降水數(shù)據(jù)，也無地理、氣候等其 它條件.,目標態(tài)：減少氣象站數(shù)，并保持降水量足夠大的信息量,過程：（將做的事情,1) 信息量的衡量（用熵,2) 給出刪除氣象站的條件及原則,3) 建立保持足夠信息量的判別條件,解決問題的 惟一出發(fā)點,1) 確定各氣象站的年降水

15、量,的概率分布，并計算各個氣象站降水量的熵值,2) 分析判斷各站年降水量(兩兩之間或多個變量間)是否存在相關(guān)關(guān)系(線性的或非線性的)，并據(jù)此保留其中熵值較大的氣象站,隨機變量,另一種方法：用聚類分析法進行聚類,3.解決問題的思路,可由降水數(shù)據(jù)分析各個氣象站的相似性，如同為干旱、濕潤地區(qū)等.,1) 設定一個閾值，保留所有熵值大于閾值 的氣象站,2) 使保留氣象站的信息量總和占原信息量 總和的一定比例,可考慮各種判別條件，如,3) 建立保持足夠信息量的判別條件,注：閾值或比例值均需背景知識和經(jīng)驗來確定,仍保留降水量的信息量較大的站,三、問題前期分析,1. 條件及數(shù)據(jù)分析,設置好問題的目標態(tài), 著手

16、工作還需要做 以下工作,1. 收集必要的資料和數(shù)據(jù),2. 分析現(xiàn)有的數(shù)據(jù)和條件,使問題進一步 明確化,我國淡水資源有限.節(jié)約用水人人有責,洗衣機在家庭用水中占有相當大的份額,目前洗衣機已非常普及,節(jié)約洗衣機用水十分重要.假設在放入衣物和洗滌劑后洗衣機的運行過程為：加水漂洗脫水加水漂洗脫水加水漂洗脫水(稱“加水漂洗脫水”為運行一輪,例7 節(jié)水洗衣機問題,請為洗衣機設計一種程序（包括運行多少輪、每輪加水量等),使得在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少.選用合理的數(shù)據(jù)進行運算，對照目前常用的洗衣機的運行情況，對你的模型和結(jié)果出評價,衣服的洗凈效果指標(包括污物和殘留洗滌劑,不同質(zhì)地衣物的脫水率或

17、衣物的含水量C,洗衣機的最高水位H、最低水位L,各類污物(泥土、油膩等)和洗滌劑在水中的溶解特性,怎樣收集數(shù)據(jù)和資料,分析：題目中沒有一個數(shù)據(jù),但問題卻需要比 較多的數(shù)據(jù)及條件,如,可在各類圖書館、網(wǎng)上查閱、向?qū)＜以儐枴?通過試驗來得到,收集數(shù)據(jù)應列入工作計劃，并注意,1. 向有關(guān)人員調(diào)查情況應事先設計好問題,2. 事先確定所需資料清單、資料來源、收集方式,有條理的收集計劃可以為后期的工作 創(chuàng)造良好的條件,對收集到的或者現(xiàn)有的資料和數(shù)據(jù)要做 仔細分析，使問題進一步明確,為了保護人類賴以生存的自然環(huán)境,可再生資源(如漁業(yè)、林業(yè)資源)的開發(fā)必須適度,一種合理、簡化的策略是，在實現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下

18、，追求最大產(chǎn)量或最佳效益,例3.3.3 最優(yōu)捕魚策略,考慮對某種魚的最優(yōu)捕撈策略：假設這種魚分 4個年齡組，稱1齡魚，4齡魚,各年齡組每 條魚的平均重量（單位：g）分別為5.07、11.55、17.86、22.99，各個年齡組的魚的自然死亡率均為0.8(1/年),這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖,平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為1.109105個,3 齡魚的產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個月,卵孵化并成活為1齡魚,成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n之比）為,1.221011/（1.221011+n,漁業(yè)管理部門規(guī)定,每年只允許在產(chǎn)卵孵化期 前的8個月內(nèi)進行捕撈作業(yè).如果每年投入的捕 撈能力(如漁船數(shù)、下網(wǎng)次數(shù)等)固定不變,這 時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正 比,比例系數(shù)不妨稱捕撈強度系數(shù).通常使用 13mm 網(wǎng)眼的拉網(wǎng),這種網(wǎng)只能捕3齡魚和4齡 魚，其兩個強度系數(shù)之比為0.42 : 1.漁業(yè)上稱 這種方式為固定努力捕撈,建立數(shù)學模型分析如何實現(xiàn)可持續(xù)捕獲(即每 年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數(shù)不變), 并且在此前提下得到最高的年收獲量(捕撈總 重量,漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務5年,合同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大破壞.已知承包時