信號與系統(tǒng)第6章連續(xù)信號的復(fù)頻域分析.ppt

1、1,第6章 連續(xù)信號的復(fù)頻域分析,在信號和系統(tǒng)的時域和頻域分析方法中，采用的基本信號為單位沖激信號或復(fù)簡諧信號。由于頻域分析方法是基于信號的頻譜特性和系統(tǒng)的頻率特性對系統(tǒng)進(jìn)行分析，因此，這種方法是信號處理和系統(tǒng)分析與設(shè)計的重要基礎(chǔ)。但是，頻域分析方法有很多局限性。例如，有些信號不存在傅里葉變換和頻譜密度，不穩(wěn)定的系統(tǒng)不存在頻率特性，信號的頻譜和系統(tǒng)的頻率特性計算較復(fù)雜，等等,2,6.1 拉普拉斯變換,6.1.1 拉普拉斯變換的定義 拉普拉斯變換的定義可以從傅里葉變換的定義推導(dǎo)得到。如果信號 f（t）不滿足絕對可積條件，則不能用定義求出其傅里葉變換。為此，將 f（t）與一指數(shù)函數(shù) e-t相乘，得

2、到一個新的信號 f（t）e-t，稱為對信號 f（t）進(jìn)行指數(shù)加權(quán),3,6.1.2 拉普拉斯變換的零極點及收斂域 首先考慮如下例子。 例 6.1.1 求單邊指數(shù)信號 f（t）= e-atu（t）（實數(shù) a 0）的拉普拉斯變換 F（s,4,圖 6.1.1 s平面、零極點圖與收斂域,5,例 6.1.2 求反因果信號 f（t）= - e-atu（ - t）（實數(shù) a 0）的拉普拉斯變換 F（s）。解 根據(jù)拉普拉斯變換的定義得到 為得到以上結(jié)果，必須滿足 -a，此即為該反因果信號拉普拉斯變換的收斂域，在 s平面為穿過極點 p1= -a左邊的區(qū)域。如圖 6.1.2所示,6,圖 6.1.2 反因果信號拉普拉

3、斯變換的收斂域,7,根據(jù)拉普拉斯變換的收斂域及其極點的定義，顯然，拉普拉斯變換的收斂域與其極點之間存在密切關(guān)系。這一關(guān)系可以總結(jié)為： 因果信號拉普拉斯變換的收斂域都為實部最大的極點右邊的區(qū)域。 反因果信號拉普拉斯變換的收斂域都為實部最小的極點左邊的區(qū)域。 雙邊信號拉普拉斯變換的收斂域都為實部相鄰的兩個極點之間平行于虛軸的帶狀區(qū)域。 所有時限信號拉普拉斯變換的收斂域為除去 = - 或 + 以外的整個 s平面,8,例 6.1.3 求雙邊指數(shù)信號 f（t）= e-a|t|，a 0的拉普拉斯變換 F（s），并確定其收斂域。解 根據(jù)定義求得,9,圖 6.1.3 雙邊信號拉普拉斯變換的收斂域,由式（6.1

4、.5）求得 F（s）的極點為 p1= - a，p2= a，則其收斂域為 p1 p2，即 -a a，如圖 6.1.3所示,10,例 6.1.4 求門信號 f（t）=g（t）的拉普拉斯變換 F（s）。 解 門信號是典型的時限信號，由定義求得其拉普拉斯變換為 為得到上式結(jié)果，只需滿足 - ，因此收斂域為 - 的整個 s平面,11,6.1.3 單邊拉普拉斯變換 在式（6.1.1）中，積分區(qū)間從 t= - 開始，同時包括了 t0和 t0的部分。另外考慮到信號中可能包括在 t=0時的單位沖激信號及其各階導(dǎo)數(shù)，則可將積分區(qū)間取為從 t=0-開始，從而得,12,例 6.1.5 求單邊指數(shù)信號 f（t）= e-

5、atu（t）（實數(shù) a 0）的單邊拉普拉斯變換 F（s）。 解 由定義求得,13,例 6.1.6 求雙邊指數(shù)信號 f（t）= e-a|t|（實數(shù) a 0）的單邊拉普拉斯變換 F（s）。解 由定義求得,14,6.1.4 常用信號的拉普拉斯變換表 6.1.1給出了常用信號的單邊拉普拉斯變換,15,與傅里葉變換類似，拉普拉斯變換也有一系列重要性質(zhì)。利用這些性質(zhì)，再結(jié)合基本信號的拉普拉斯變換，是求解復(fù)雜信號拉普拉斯變換的重要方法。此外，這些性質(zhì)也是線性系統(tǒng)復(fù)頻域分析的重要基礎(chǔ),6.2 拉普拉斯變換的性質(zhì),16,6.2.1 線性性質(zhì) 線性性質(zhì)說明，信號的拉普拉斯變換滿足齊次性和疊加性。根據(jù)該性質(zhì)，如果某

6、信號能分解為一些基本信號的線性組合，則可由這些基本的拉普拉斯變換通過簡單的代數(shù)運算求出該信號的拉普拉斯變換,17,例 6.2.1 求 f（t）= sin0tu（t）的拉普拉斯變換 F（s）。 解 根據(jù)歐拉公式有,18,6.2.2 時移性質(zhì) 需要注意的是，單邊拉普拉斯變換的時移性質(zhì)只適用于因果信號向右平移后得到的信號。如果 f（t）為雙邊信號，則根據(jù)此性質(zhì)，由 f（t）的單邊拉普拉斯變換 F（s）求 f（t-t0）的單邊拉普拉斯變換將得到錯誤的結(jié)果,19,例 6.2.2 求如圖 6.2.1（a）和圖 6.2.1（b）所示信號的拉普拉斯變換。 解 根據(jù)定義得到 f1（t）和 f2（t）的拉普拉斯變

7、換分別為 顯然結(jié)果是錯誤的。其主要原因在于 f1（t）為雙邊信號,20,圖 6.2.1 例 6.2.2圖,21,6.2.3 尺度變換性質(zhì) 與傅里葉變換的尺度變換性質(zhì)不同，這里要求 a 0。如果 a 0，并且 f（t）為因果信號，則f（at）為反因果信號，其單邊拉普拉斯變換恒為零,22,6.2.4 復(fù)頻移性質(zhì) 6.2.5 時域微積分性質(zhì),23,6.2.6 復(fù)頻域微積分性質(zhì) 式（6.2.8）稱為復(fù)頻域微分性質(zhì)，式（6.2.9）稱為復(fù)頻域積分性質(zhì),24,6.2.7 時域卷積性質(zhì) 時域卷積性質(zhì)說明，在時域中兩個信號的卷積運算，等價于在復(fù)頻域中將兩個信號的拉普拉斯變換直接相乘，從而將時域中的卷積運算化簡

8、為復(fù)頻域中的代數(shù)運算。時域卷積性質(zhì)是系統(tǒng)復(fù)頻域分析方法的理論基礎(chǔ)之一,25,6.2.8 初值和終值定理 因果信號 f（t）的初值和終值分別定義為 設(shè)信號 f（t）的拉普拉斯變換為 F（s），則初值和終值定理分別描述為,26,27,28,拉普拉斯反變換是根據(jù)已知的拉普拉斯變換 F（s），由式（6.1.2）或式（6.1.8）求得信號的時域表達(dá)式 f（t）。前者稱為雙邊拉普拉斯反變換，后者稱為單邊拉普拉斯反變換。這里主要介紹由式（6.1.8）定義的單邊拉普拉斯反變換，其反變換結(jié)果都為因果信號。 由于拉普拉斯變換中的自變量 s是一個復(fù)數(shù)變量，因此 F（s）是一個復(fù)變函數(shù)，根據(jù)定義求反變換，需要涉及復(fù)變

9、函數(shù)的積分,6.3 拉普拉斯反變換,29,6.3.1 部分分式展開法 大多數(shù)信號的拉普拉斯變換都是關(guān)于 s的有理分式，分子分母都為 s的多項式。如果分母多項式的階次低于分子多項式的階次，這樣的分式稱為假分式，否則稱為真分式。先看一個簡單的例子，已知因果信號 f（t）的拉普拉斯變換為,30,如果 F（s）為有理假分式，先通過長除法變?yōu)?F（s）=F1（s）+F2（s），其中 F1（s）和F2（s）分別為 s的多項式和有理真分式。 多項式 F1（s）中每一項都為 Kisi（i=0，1，2，Ki為系數(shù)）的形式，根據(jù)單位沖激信號的拉普拉斯變換和時域微分性質(zhì)求得各項對應(yīng)的反變換為 Ki（i）（t），再由

10、線性性質(zhì)將它們疊加得到 F1（s）對應(yīng)的反變換 f1（t）。 對有理真分式 F2（s），按其極點進(jìn)行部分分式展開,31,將第步和第步求得的反變換疊加得到 F（s）的反變換為,32,對 F2（s）中所有的極點都根據(jù)以上兩種情況展開為若干項部分分式的疊加，每項部分分式都具有如下標(biāo)準(zhǔn)形式，即 根據(jù)基本信號的拉普拉斯變換，容易求得相應(yīng)的反變換為,33,6.3.2 留數(shù)法 拉普拉斯反變換也可以根據(jù)其定義直接進(jìn)行，此過程主要是基于復(fù)變函數(shù)理論中的留數(shù)定理進(jìn)行，故稱為留數(shù)法或者反演積分法。與部分分式展開法相同，如果已知的拉普拉斯變換 F（ s）為假分式，則先通過長除法分解為一個多項式和一個真分式的疊加。對多

11、項式部分，直接根據(jù)拉普拉斯變換的時域微分性質(zhì)求出各項對應(yīng)的反變換。而對真分式項，按如下步驟取反變換,34,求出真分式項 F（s）的所有極點。 對每一個各不相同的極點 p，分別按下式求出其留數(shù)，即 所有極點的留數(shù)相加后乘以 u（t）即得到真分式項對應(yīng)的反變換，再與多項式項對應(yīng)的反變換相加得到最后拉普拉斯反變換結(jié)果 f（t,35,到現(xiàn)在為止，對連續(xù)信號，在頻域分析中有傅里葉變換，而在復(fù)頻域分析中有拉普拉斯變換。那么，對同一個連續(xù)信號，其傅里葉變換和拉普拉斯變換有何關(guān)系呢？根據(jù)拉普拉斯變換的定義，連續(xù)信號 f（t）的拉普拉斯變換實際上是將其進(jìn)行指數(shù)加權(quán)后得到的信號的傅里葉變換，即,6.4 拉普拉斯變

12、換與傅里葉變換的關(guān)系,36,上式說明，令 s=j，即可由連續(xù)信號的拉普拉斯變換得到其傅里葉變換。反之，令 j =s，即可由傅里葉變換得到信號的拉普拉斯變換。即拉普拉斯變換和傅里葉變換之間有如下關(guān)系,37,這里主要考慮單邊拉普拉斯變換。已知對所有信號的單邊拉普拉斯變換，其收斂域都具有如下形式，即 Res= 0。顯然，要保證收斂域包括虛軸，其中的實數(shù) 0 必須滿足 此時可直接利用式（6.4.1），由已知的 F（s）求得 F（j,38,由于這種情況下拉普拉斯變換的收斂域為 0，因此，拉普拉斯變換在s平面的左半平面和虛軸上都有極點。假設(shè)在虛軸上有 N 個單極點 ji（i=1，2，N），則可將拉普拉斯變換表示為,39,式中，F(xiàn)0（s）是與所有位于左半平面極點相對應(yīng)的部分分式。對上式取拉