多元正態(tài)分布均值向量和協(xié)差陣的檢驗.ppt

1、多元統(tǒng)計分析,黨耀國 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 I,第三章 多元正態(tài)分布均值向量和 協(xié)差陣的檢驗,一、均值向量的檢驗 二、協(xié)差陣的檢驗,1、霍特林（Hotelling） 分布,由于這一統(tǒng)計量的分布首先由霍特林提出來的，故稱為霍特林T2分布。值得指出的是，我國著名的統(tǒng)計學(xué)家許寶騄先生在1938年用不同的方法也導(dǎo)出T2分布的密度函數(shù),在一元統(tǒng)計中，若 來自總體 的樣本，則統(tǒng)計量,其中,顯然,與上面給出的T2統(tǒng)計量形式類似，且 ，可見T2分布是t分布的推廣,在一元統(tǒng)計中，若 分布，則 分布，即把t分布轉(zhuǎn)化為F分布來處理，在多元統(tǒng)計分析中統(tǒng)計量也有類似的性質(zhì),這個公式在后面檢驗中經(jīng)常用到,2、一個正態(tài)總體均值向

2、量的假設(shè)檢驗,這里需要對統(tǒng)計量的選取做一些解釋，說明為什么統(tǒng)計量服從 分布。根據(jù)二次型分布定理，若,則,顯然,而,故,在處理實際問題時，單一變量的檢驗和多變量的檢驗可以聯(lián)合使用，多元的檢驗具有概括和全面的特點，而一元的檢驗容易發(fā)現(xiàn)各變量之間的關(guān)系和差異，能給人們提供更多的統(tǒng)計分析的信息,例1：對某地區(qū)農(nóng)村的6名2周歲男嬰的身高、胸圍、上半臂圍進(jìn)行測量，得樣本數(shù)據(jù)如表所示,根據(jù)以往資料，該地區(qū)城市2周歲男嬰的三個指標(biāo)的均值為（90，58，16），假定總體服從正態(tài)分布，問該地區(qū)農(nóng)村男嬰與城市男嬰在上述三個指標(biāo)的均值有無顯著性差異？顯著性水平取0.01,這是一個假設(shè)檢驗問題,3、兩個正態(tài)總體均值向量

3、的假設(shè)檢驗,當(dāng)兩個總體的協(xié)方差陣未知時，自然會想到用每個總體的樣本協(xié)方差陣 和 去代替，而,又由于,所以有,以后假設(shè)統(tǒng)計量的選取和前面統(tǒng)計量的選取思路是一樣的，只提出待檢驗的假設(shè)，然后給出統(tǒng)計量及其分布，為節(jié)省篇幅，就不再重復(fù)解釋,例3.2 為了研究日美兩國在華投資企業(yè)對中國經(jīng)營環(huán)境的評價是否存在差異，今從兩國在華投資企業(yè)中各抽取10家，讓其對中國的政治、經(jīng)濟(jì)、法律、文化等環(huán)境進(jìn)行打分，其結(jié)果如表3.2和表3.3。（數(shù)據(jù)來源于國務(wù)院發(fā)展研究中心APEC在華投資企業(yè)情況調(diào)查,表3.2 美國在華投資企業(yè)的打分,表3.3 日本在華投資企業(yè)的打分,解： 比較日美兩國在華投資企業(yè)對中國多方面經(jīng)營環(huán)境的評

4、價是否存在差異問題，就是兩總體均值向量是否相等的檢驗問題。記日美兩國在華投資企業(yè)對中國4個方面經(jīng)營環(huán)境的評價可以看成是2個4元總體，因此可設(shè)兩組樣本分別來自于正態(tài)總體，分別記為,且兩組樣本相互獨立，有共同未知協(xié)方差陣,假設(shè)檢驗,構(gòu)造統(tǒng)計量,經(jīng)計算得,進(jìn)一步計算得,對于給定的顯著性水平 ，查F分布表，臨界值,由于 ，則拒絕H0，即認(rèn)為日美兩國在華投資企業(yè)對中國經(jīng)營環(huán)境的評價存在顯著性差異,1) 單因素方差分析（復(fù)習(xí),Wilks（威爾克斯分布） 在一元統(tǒng)計分析中，方差是刻畫隨機(jī)變量分散程度的一個重要特征，而方差的概念在多變量情況下變?yōu)閰f(xié)差陣。如何用一個數(shù)量指標(biāo)來反映協(xié)差陣所體現(xiàn)的分散程度呢？有的用

5、行列式，有的用跡等方法，目前用的最多的是行列式,這里需要說明的是，在實際應(yīng)用中經(jīng)常把統(tǒng)計量化為T2統(tǒng)計量，進(jìn)而再化為F統(tǒng)計量，利用F統(tǒng)計量來解決多元統(tǒng)計分析中有關(guān)檢驗問題,3）多元方差分析,類似一元方差分析辦法，將諸平方和變成離差陣有,例3.3 為了研究某種疾病，對一批人同時測量了4個指標(biāo)： 脂蛋白（X1），甘油三酯（X2）， 脂蛋白（X3），前脂蛋白（X4）， 按不同年齡、不同性別分為三組（20至35歲女性、20至25歲男性和35至50歲男性），數(shù)據(jù)見表3.4表3.6，試問這三組的4項指標(biāo)間有無顯著性差異？（=0.01,表3.4 20至35歲女性身體指標(biāo)化驗數(shù)據(jù),表3.5 20至25歲男性身

6、體指標(biāo)化驗數(shù)據(jù),表3.6 35至50歲男性身體指標(biāo)化驗數(shù)據(jù),解： 比較3個組（k=3）的4項指標(biāo)（p=4）間是否有顯著性差異問題，就是多總體均值向量是否相等的檢驗問題。設(shè)第i組為4維總體 ，來自3個總體的樣本容量,檢驗： ： 至少有一對不相等,因統(tǒng)計量 ，可利用 統(tǒng)計量與F統(tǒng)計量的關(guān)系，取檢驗統(tǒng)計量為F統(tǒng)計量,其中,由樣本計算得,進(jìn)一步計算可得,計算F統(tǒng)計量的2個自由度為8和108,對于給定的檢驗水平 ，查F分布表，得臨界值 。由于樣本值 ，則拒絕H0。 說明三個組的指標(biāo)間有顯著性的差異。 進(jìn)一步若還想了解三個組間指標(biāo)的差異究竟由哪幾項指標(biāo)引起的，可以對4項指標(biāo)逐項用一元方差分析方法進(jìn)行檢驗，

7、我們將發(fā)現(xiàn)三個組指標(biāo)間只有第一項指標(biāo)（X1）有顯著性差異,事實上，用一元方差分析檢驗第一項指標(biāo)（X1）在三個組中是否有顯著性差異時，因,對于給定的檢驗水平 ，查F分布表，得臨界值 。由于樣本值 ，說明第一項指標(biāo)（X1）有顯著性的差異,例4 ：對例3中給出的3組身體指標(biāo)化驗數(shù)據(jù)，試判斷這3個組的協(xié)方差陣是否相等？（,解： 這是3個4維正態(tài)總體的協(xié)方差陣是否相等的檢驗問題。設(shè)第i組為4維總體 ，來自3個總體的樣本容量,檢驗,至少有一對不相等,在 成立時，取近似檢驗統(tǒng)計量為,統(tǒng)計量,由樣本值計算3個總體的樣本協(xié)方差陣,進(jìn)一步可以計算出,則得,對于給定的檢驗水平 ，查,分布表，得臨界值,由于樣本值,則

8、接受H0。 說明這3個組的協(xié)方差陣之間沒有顯著性的差異,3、多個正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣同時檢驗 設(shè)有k個p維正態(tài)總體分別為,每個,且未知,從k個正態(tài)總體中分別取ni,個獨立樣本如下,第2個總體,第k個總體,我們考慮假設(shè)檢驗,且,第1個總體,或,至少有一對不相等,構(gòu)造統(tǒng)計量,其中,記,在實際應(yīng)用中，將統(tǒng)計量中的,改為,n-k改為n,得到修正的統(tǒng)計量，記為,則統(tǒng)計量,在n很大，H0成立時,統(tǒng)計量近似服從,其中,給定檢驗水平 ，由樣本值計算出 值,若,或,否則拒絕H0，否則接受H0,例3.5 對例3.3中給出的3組身體指標(biāo)化驗數(shù)據(jù)，試判斷這3個組的均值向量和協(xié)方差陣是否相等？（,解： 這是3個4維正態(tài)總體的均值向量和協(xié)方差陣是否同時相等的檢驗問題。設(shè)第i組為4維總體 ，來自3個總體的