1.3跡線和流線

1、.1.3跡線和流線跡線的定義：就是流點(diǎn)在各時(shí)刻所行路經(jīng)的軌跡線。（或流點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)所描繪出來(lái)的曲線）。如：噴氣式飛機(jī)飛過(guò)后留下的尾跡；臺(tái)風(fēng)的路經(jīng)、紙船在小河中行走的路經(jīng)等。本質(zhì)：跡線就是拉格朗日變量所對(duì)應(yīng)的圖形。流線的定義：所謂流線就是這樣一種曲線，在某時(shí)刻曲線上的任意一點(diǎn)的切線方向，正好跟那一時(shí)刻該處的流速方向相重合?？梢?jiàn)，流線是由同一時(shí)刻不同流點(diǎn)組成的曲線，它給出了該時(shí)刻不同流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向，是速度場(chǎng)的幾何表示。本質(zhì)：流線就是歐拉變量所對(duì)應(yīng)的圖形。流線的性質(zhì)：(1 ) 同一時(shí)刻的不同流線，不能相交（2）流線不能是折線，而是一條光滑的曲線（3）流線族的疏密反映了速度的大小跡線微分方程：（

2、1.32）其中t是自變量，x,y,z是t的隱含數(shù)，t是單個(gè)獨(dú)立變量，積分后消去t就得到跡線方程流線微分方程：（1.30）當(dāng)u,v,w的具體函數(shù)形式已知下，（）是關(guān)于變量(x,y,z)的兩個(gè)常微分方程組，積分（）就得到流線。注意（）中的時(shí)間t作為已知的參數(shù)，代表同一時(shí)刻，在積分時(shí)可以作為常數(shù)對(duì)待，（1.30）中的x,y,z,t是四個(gè)獨(dú)立變量。注意：（a）（1.30流線微分方程）與（1.32跡線微分方程）“形像”而“神不像”，（1.30）是反映某一瞬間流動(dòng)狀況的空間曲線；而（1.32）是反映某一流點(diǎn)在不同時(shí)刻所走的路經(jīng)。兩者不同，在一般情況下不重合。（b）定常流動(dòng)時(shí)，流線與跡線完全重合。（1.30

3、）=（1.32），不含時(shí)間t。 (c )見(jiàn)流體力學(xué)P16圖1-7，流線和跡線的做法。做一下了解流線與跡線的異同同：兩者都是反映流點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向的變化規(guī)律的幾何圖形。異：（1）跡線方程中，t是唯一的自變量。流線方程中，x,y,z是變量，積分時(shí)常把t當(dāng)作已知參量對(duì)待。（2）兩者是具有不同內(nèi)容和意義的曲線，不定常時(shí)，一般不重合。定常時(shí)必重合。補(bǔ)充說(shuō)明：1、定常流動(dòng)推得跡線流線重合，但跡線流線重合不能推得定常流動(dòng)。2、穩(wěn)定流場(chǎng)推得流線不隨時(shí)間變化，但流線不隨時(shí)間變化不能推得穩(wěn)定流場(chǎng)。例題：例1：設(shè)流體運(yùn)動(dòng)由下列歐拉變量表示的速度函數(shù)：u=x+t, v=-y+t, w=0（不定常）給出，求t=0時(shí)，過(guò)M(-1,-1)點(diǎn)的流線和跡線。解：（1）流線方程：由（1.30）的流線微分方程積分得因?yàn)闀r(shí)間t作為已知的參數(shù)，代表同一時(shí)刻，在積分時(shí)可以作為常數(shù)對(duì)待，則上面方程變?yōu)椋旱茫?x+t)(-y+t)=c，c為積分常數(shù)。當(dāng)t=0時(shí)，x=-1,y=-1. 帶入得：c=1。則當(dāng)t=0時(shí)的流線為：xy=1。（2）跡線方程：換元法，令z=x+t， 同理，由t=0時(shí)，x=-1,y=-1的條件，確定x=-t-1,y=t-1消去參數(shù)t，得t=0時(shí)刻，過(guò)點(diǎn)M（-1，-1）的跡線方程為：x+y+2=0例2：考慮定常運(yùn)動(dòng)（與時(shí)間t無(wú)關(guān)），速度函數(shù)為：u=x, v=-y, w=0，求