福建省連城縣第一中學2019_2020學年高二數學下學期期中試題含解析

1、福建省連城縣第一中學2019-2020學年高二數學下學期期中試題（含解析）一、單選題1.函數的導數是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】試題分析：因為，由可得，選a.考點：導數的運算.2.復數，則復數在復平面中對應的點位于（ ）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】b【解析】【分析】化簡復數即得.【詳解】，復數在復平面中對應的點的坐標為，位于第二象限.故選：.【點睛】本題考查復數，屬于基礎題.3.某天的值日工作由4名同學負責，且其中1人負責清理講臺，另1人負責掃地，其余2人負責拖地，則不同的分工共有（ ）a. 6種b. 12種c. 18種d. 24種【答案

2、】b【解析】方法數有種.故選b.4.已知函數的圖象在點處的切線方程為，則的值為a. b. 1c. d. 2【答案】d【解析】由得，因此有，故選d5.的展開式中含項的系數為（ ）a. 160b. 210c. 120d. 252【答案】d【解析】【分析】由二項式定理及其二項展開式通項得：，令，解得的值，進而求得其系數.【詳解】，當時，.故選：d.【點睛】本題考查了二項式定理及其二項式展開式的通項，屬于基礎題.6.如圖，將一個四棱錐的每一個面染上一種顏色，使每兩個具有公共棱的面染成不同顏色，如果只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法總數為（ ） a. 36b. 48c. 72d. 108【答案】c【

3、解析】【分析】對面與面同色和不同色進行分類，結合分步乘法計算原理，即可得出答案.【詳解】當面與面同色時，面有4種方法，面有3種方法，面有2種方法，面有1種方法，面有2種方法，即種當面與面不同色時，面有4種方法，面有3種方法，面有2種方法，面有1種方法，面有1種方法，即種即不同染色方法總數為種故選：c【點睛】本題主要考查了計數原理的應用，屬于中檔題.7.根據歷年氣象統計資料，某地四月份吹東風的概率為，既吹東風又下雨的概率為.則在吹東風的條件下下雨的概率為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用條件概率的計算公式即可得出【詳解】設事件a表示四月份吹東風，事件b表示吹東風又下雨，

4、根據條件概率計算公式可得在吹東風的條件下下雨的概率故選：b【點睛】本題考查條件概率，正確理解條件概率的意義及其計算公式是解題的關鍵8.若函數與圖象上存在關于點對稱的點，則實數的取值范圍是（）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】首先求關于點的函數，轉化為其與有交點，轉化為，這樣的范圍就是的范圍，轉化為利用導數求函數的取值范圍的問題.【詳解】設關于的對稱點是在 上，根據題意可知，與有交點，即，設 ，令， 恒成立， 在是單調遞增函數，且，在，即，時 ，即 ，在單調遞減，在單調遞增，所以當時函數取得最小值1，即 ，的取值范圍是.故選c.【點睛】本題考查了根據函數的零點求參數取值范圍的問題

5、，有2個關鍵點，第一個是求關于對稱的函數，根據函數有交點轉化為，求其取值范圍的問題，第二個關鍵點是在判斷函數單調性時，用到二次求導，需注意這種邏輯推理.二、多選題9.如圖是函數的導函數的圖象，則下面判斷正確的有（ ）a. 在上是增函數b. 在上是減函數c. 在處取得極極小值d. 在處取得極極大值【答案】bc【解析】【分析】根據導函數看正負，原函數看增減，函數在極值點處導數符號改變，即可得到結論【詳解】解：根據導函數的正負，得到原函數的增減性，由圖可得如下數據，極小值極大值極小值故在上是減函數，在處取得極小值正確的有bc；故選：bc【點睛】本題考查導函數的圖象，考查函數的單調性與極值，解題的關鍵

6、是利用導函數看正負，原函數看增減，函數在極值點處導數符號改變，屬于基礎題10.下面四個命題，其中錯誤的命題是（ ）a. 比大b. 兩個復數當且僅當其和為實數時互為共軛復數c. 的充要條件為d. 任何純虛數的平方都是負實數【答案】abc【解析】【分析】根據虛數不能比大小可判斷a選項的正誤；利用特殊值法可判斷b選項的正誤；利用特殊值法可判斷c選項的正誤；利用復數的運算可判斷d選項的正誤.【詳解】對于a選項，由于虛數不能比大小，a選項錯誤；對于b選項，但與不互為共軛復數，b選項錯誤；對于c選項，由于，且、不一定是實數，若取，則，c選項錯誤；對于d選項，任取純虛數，則，d選項正確.故選：abc.【點睛

7、】本題考查復數相關命題真假的判斷，涉及共軛復數的概念、復數相等以及復數的計算，屬于基礎題.11.某城市收集并整理了該市2019年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫(單位：)的數據，繪制了下面的折線圖.（ ）已知該城市各月的最低氣溫與最高氣溫具有較好的線性關系，則根據折線圖，下列結論正確的是a. 最低氣溫與最高氣溫為正相關b. 10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫c. 月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現在1月d. 最低氣溫低于0 的月份有4個【答案】abc【解析】【分析】根據折線圖逐個選項分析即可.【詳解】對a,由圖可知, 最低氣溫與最高氣溫走勢基本相同,故最低氣溫與最高氣溫為正相關.

8、故a正確.對b, 10月的最高氣溫超過, 5月的最高氣溫低于.故b正確.對c,1月的月溫差最大,超過,故c正確.對d,僅1,2,4月的的最低溫低于,故d錯誤.故選：abc【點睛】本題主要考查了折線圖的理解,屬于基礎題.12.已知函數，則下列結論正確的是（）a. 函數存在兩個不同的零點b. 函數既存在極大值又存在極小值c. 當時，方程有且只有兩個實根d. 若時，則的最小值為【答案】abc【解析】【分析】首先求函數的導數，利用導數分析函數的單調性和極值以及函數的圖像，最后直接判斷選項.【詳解】a.,解得，所以a正確；b.，當時，當時，或 是函數的單調遞減區(qū)間，是函數的單調遞增區(qū)間，所以是函數的極小

9、值，是函數的極大值，所以b正確.c.當時，根據b可知，函數的最小值是，再根據單調性可知，當時，方程有且只有兩個實根，所以c正確；d.由圖像可知，的最大值是2，所以不正確.故選a,b,c【點睛】本題考查了導數分析函數的單調性，極值點，以及函數的圖像，首先求函數的導數，令導數為0，判斷零點兩側的正負，得到函數的單調性，本題易錯的地方是是函數的單調遞減區(qū)間，但當時，所以圖像是無限接近軸，如果這里判斷錯了，那選項容易判斷錯了.三、填空題13.若復數，則的共軛復數的虛部為_【答案】7【解析】【分析】利用復數乘法運算化簡為的形式，由此求得共軛復數，進而求得共軛復數的虛部.【詳解】，故虛部為.【點睛】本小題

10、主要考查復數乘法運算，考查共軛復數的概念，考查復數虛部的知識.14.函數在處的切線方程為_【答案】【解析】分析】求導后求出即可得切線的斜率，利用點斜式即可得解.【詳解】求導得，所以，所以函數在處的切線方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查了導數的運算和導數幾何意義的應用，屬于基礎題.15.設，則 _【答案】【解析】【分析】因為,分別令和,即可求得答案.【詳解】令.原式化為.令,得,.故答案為: .【點睛】本題主要考查了多項式展開式系數和,解題關鍵是掌握求多項式系數和的解題方法,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.16.設函數定義域為，滿足，且當時，當時，的最小值為_；若對任意，都有成立，則

11、實數的取值范圍是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）當時，求函數的導數，判斷函數的單調性后得到函數的最小值；（2）根據（1）可先求出時，函數的值域，再根據條件，判斷位于最開始的哪個區(qū)間，并求解時，函數的解析式，和時對應的兩根中較小根，即可得到的取值范圍.【詳解】（1）時，當時，當時，時，函數取得最小值；（2）當時， ，根據可知當時，當時， ，時， 當時， 令 ，可得： ，的取值范圍是.【點睛】本題考查了以分段函數的形式考查了函數的值域，函數解析式的求法，以及利用恒成立求參數取值范圍的問題，屬于中檔題型，本題的關鍵是利用條件可分析函數的圖像，利用數形結合比較好分析.四、解答題1

12、7.設復數，求滿足下列條件的實數的值.（1）為實數；（2）純虛數.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）根據題意得到，解得答案.（2）根據題意得到，解得答案.【詳解】（1）由題得，解得或；（2）由題得，解得.【點睛】本題考查了根據復數的類型求參數，屬于簡單題.18.（請寫出式子再寫計算結果）有4個不同的小球，4個不同的盒子，現在要把球全部放入盒內：（1）共有多少種方法？（2）若每個盒子不空，共有多少種不同的方法？（3）恰有一個盒子不放球，共有多少種放法？【答案】（1）256（2）（3）【解析】【分析】（1）每個球都有4種方法，根據分步計數原理可得答案；（2）由題意每個盒子不空，故每個

13、盒子各一個，可得答案；（3）由題意可從4個小球中選兩個作為一個元素，同另外兩個元素在三個位置全排列，由分步計數原理可得答案.【詳解】解：（1）每個球都有4種方法，故有4444256種，（2）每個盒子不空，共有不同的方法，（3）四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，恰有一個空盒，說明恰有一個盒子中有2個小球，從4個小球中選兩個作為一個元素，同另外兩個元素在三個位置全排列，故共有種不同的放法【點睛】本題主要考查排列、組合及簡單計數問題，相對簡單，注意靈活運用排列、組合的性質求解.19.在的展開式中.（1）若第五項的系數與第三項的系數的比是，求展開式中各項系數的和；（2）若其展開式前三

14、項的二項式系數和等于79，求展開式中含的項.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）由展開式中第五項的系數與第三項的系數的比是，求得再令得各項系數的和（2）依題意可得，即可求出，得到通項，再令，即可得解；【詳解】解：（1）展開式的通項為由題意知，第五項系數為，第三項的系數為，則有，化簡得，解得或（舍去）.令得各項系數的和為.（2），.或（舍去）.通項公式，令，則，故展開式中含的項為.【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，屬于中檔題20.設函數（1）求該函數的單調區(qū)間；（2）若當x2，2時，不等式f（x）m恒成立，求實數m的取值范

15、圍【答案】（1）單調遞增區(qū)間為（，2），（0，+），單調減區(qū)間為（2，0）；（2）m2e2【解析】【分析】（1）求出導函數f（x），令導函數f（x）0，求解即可求得單調增區(qū)間，令f（x）0，求解即可求得單調減區(qū)間，從而求得答案；（2）將恒成立問題轉化成求函數f（x）最大值，利用導數求出函數f（x）的最大值，即可求得實數m的取值范圍【詳解】（1），f（x）xexx2exexx（x+2），令f（x）0，解得x0或x2，令f（x）0，解得2x0，f（x）的單調遞增區(qū)間為（，2），（0，+），單調減區(qū)間為（2，0）；（2）當x2，2時，不等式f（x）m恒成立，mf（x）max，由（1）可知，f（x）x

16、exx2exexx（x+2），令f（x）0，可得x2或x0，f（2），f（0）0，f（2）2e2，f（x）max2e2，m2e2，實數m的取值范圍為m2e2【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性，利用導數研究函數在閉區(qū)間上的最值，,考查了函數的恒成立問題，對于恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法進行求解，本題采用了直接求最值的方法，屬于中檔題21.中國高鐵的快速發(fā)展給群眾出行帶來巨大便利，極大促進了區(qū)域經濟社會發(fā)展.已知某條高鐵線路通車后，發(fā)車時間間隔（單位：分鐘）滿足，經測算，高鐵的載客量與發(fā)車時間間隔相關：當時高鐵為滿載狀態(tài)，載客量為1000人；當時，載客量會在滿載基礎

17、上減少，減少的人數與成正比，且發(fā)車時間間隔為5分鐘時的載客量為100人.記發(fā)車間隔為分鐘時，高鐵載客量為.（1）求的表達式；（2）若該線路發(fā)車時間間隔為分鐘時的凈收益（元），當發(fā)車時間間隔為多少時，單位時間的凈收益最大？【答案】（1），（2）發(fā)車時間間隔為10分鐘時，最大.【解析】【分析】（1）當時，設，代入數據計算，得到解析式.（2）考慮和兩種情況，計算的解析式，求導得到函數單調性，計算最值得到答案.【詳解】（1）當時，不妨設，解得，因此.（2）當時，因此，.因為，當時，單增；當時，單減，所以.當時，因此，.因，此時單減，所以，綜上，發(fā)車時間間隔為10分鐘時，最大.【點睛】本題考查了函數的應

18、用，分段函數，利用導數求最值，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.22.已知函數 f（x）=ax+（1a）lnx+（ar）（）當a=0時，求 f（x）的極值；（）當a0時，求 f（x）的單調區(qū)間；（）方程 f（x）=0的根的個數能否達到3，若能請求出此時a的范圍，若不能，請說明理由【答案】【解析】試題分析：（）代入a的值，求出定義域，求導，利用導數求出單調區(qū)間，即可求出極值；（）直接對f（x）求導，根據a的不同取值，討論f（x）的單調區(qū)間；（）由第二問的結論，即函數的單調區(qū)間來討論f（x）的零點個數試題解析：（）f（x）其定義域為（0，+）當a=0時，f（x）=，f（x）=令f（x）=0，解得x=1，當0x1時，f（x）0；當x1時，f（x）0所以f（x）的單調遞減區(qū)間是（0，1），單調遞增區(qū)間是（1，+）；所以x=1時，f（x）有極小值為f（1）=1，無極大值 （） f（x）=a（x0）令f（x）=0，得x=1或x=當1a0時，1，令f（x）0，得0x1或x，令f（x）0，得1x；當a=1時，f（x）=當a1時，01，令f（x）0，得0x或x1，令f（x）0，得a1；綜上所述：當1a0時，f（x）的單調遞減區(qū)