2017屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題六解析幾何1.6.3定點(diǎn)定值存在性問(wèn)題課件理.pptx

1、第三講 定點(diǎn)、定值、存在性問(wèn)題,【知識(shí)回顧】 1.定點(diǎn)、定值、存在性問(wèn)題的解讀 (1)定點(diǎn)問(wèn)題: 在解析幾何中,有些含有參數(shù)的直線或曲線的方程,不論參數(shù)如何變化,其都過(guò)某定點(diǎn),這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為定點(diǎn)問(wèn)題.,(2)定值問(wèn)題: 在解析幾何中,有些幾何量,如斜率、距離、面積、比值等基本量和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參變量無(wú)關(guān),這類(lèi)問(wèn)題統(tǒng)稱(chēng)為定值問(wèn)題.,(3)存在性問(wèn)題的解題步驟: 先假設(shè)存在,引入?yún)⒆兞?根據(jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程(組)或不等式(組). 解此方程(組)或不等式(組),若有解則存在,若無(wú)解則不存在. 得出結(jié)論.,2.幾個(gè)重要結(jié)論 (1)直線與圓錐曲線相交的問(wèn)題,牢記“聯(lián)立方程,根與 系數(shù)的關(guān)系

2、,定范圍,運(yùn)算推理”. (2)有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題,牢記弦長(zhǎng)公式|AB|= |x1-x2| = |y1-y2|及根與系數(shù)的關(guān)系,“設(shè)而不求”;有關(guān) 焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題,要牢記圓錐曲線定義的運(yùn)用,以簡(jiǎn)化運(yùn)算.,(3)涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題,牢記“點(diǎn)差法”是聯(lián)系中點(diǎn)坐標(biāo)和弦所在直線的斜率的好方法. (4)求參數(shù)范圍的問(wèn)題,牢記“先找不等式,有時(shí)需要找出兩個(gè)量之間的關(guān)系,然后消去另一個(gè)量,保留要求的量”.不等式的來(lái)源可以是0或圓錐曲線的有界性或題目條件中的某個(gè)量的范圍等.,【易錯(cuò)提醒】 1.對(duì)概念理解不準(zhǔn)確致誤:直線與雙曲線、拋物線相交于一點(diǎn)時(shí),不一定相切,反之,直線與雙曲線、拋物線相切時(shí),只有一個(gè)交點(diǎn).,2.忽略直線

3、斜率不存在的情況致誤:過(guò)定點(diǎn)的直線,若需設(shè)直線方程,應(yīng)分直線的斜率存在和不存在兩種情況求解. 3.混淆點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度致誤:在表示三角形面積時(shí),用頂點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離表示三角形邊長(zhǎng)的距離要注意符號(hào).,【考題回訪】 1.(2016北京高考)已知橢圓C： (ab0)的 離心率為 ，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，OAB 的面積為1. (1)求橢圓C的方程.,(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N. 求證：|AN|BM|為定值.,【解析】(1)離心率e= 所以a=2b.OAB 的面積為 ab=1，所以a=2，b=1.所以橢圓C的方程為 +y2=1.,(2)

4、設(shè)P(x0，y0).當(dāng)直線BP的斜率存在時(shí)， 直線AP方程為y= (x-2)，直線BP方程為y= x+1. 所以 所以 所以|AN|BM|=,因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以 代入上式得 |AN|BM|,當(dāng)BP的斜率不存在時(shí)，N(0，0)，M(0，-1)，|AN|BM|=4. 因此，|AN|BM|為定值4.,2.(2015全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C:y= 與直線y=kx+a(a0)交于M,N兩點(diǎn). (1)當(dāng)k=0時(shí),分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程. (2)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有OPM= OPN?說(shuō)明理由.,【解析】(1)由題設(shè)可得 M(2 ,a),N(-2 ,a),或M(-

5、2 ,a),N(2 ,a). 又y= ,故y= 在x=2 處的導(dǎo)數(shù)值為 ,曲線C在 點(diǎn)(2 ,a)處的切線方程為y-a= (x-2 ),即 x -y-a=0.,y= 在x=-2 處的導(dǎo)數(shù)值為- ,曲線C在點(diǎn)(-2 ,a) 處的切線方程為y-a=- (x+2 ), 即 x+y+a=0.,(2)存在符合題意的點(diǎn)P,證明如下: 設(shè)P(0,b)為符合題意的點(diǎn),M(x1,y1),N(x2,y2),直線PM,PN的斜率分別為k1,k2. 將y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0. 故x1+x2=4k,x1x2=-4a.,從而 當(dāng)b=-a時(shí),有k1+k2=0, 則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角

6、互補(bǔ),故OPM=OPN,所以點(diǎn)P(0,-a)符合題意.,熱點(diǎn)考向一圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題 命題解讀:主要考查直線、曲線過(guò)定點(diǎn)或兩條直線的交點(diǎn)在定曲線上,以解答題為主.,【典例1】已知p,m0,拋物線E:x2=2py上一點(diǎn)M(m,2)到 拋物線焦點(diǎn)F的距離為 . (1)求p和m的值. (2)如圖所示,過(guò)F作拋物線E的兩條弦AC和BD(點(diǎn)A,B在 第一象限),若kAB+4kCD=0,求證:直線AB經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).,【解題導(dǎo)引】(1)依據(jù)點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)F的距離及拋物線的定義求p,進(jìn)而求出拋物線方程,然后代入M點(diǎn)的坐標(biāo)求得m. (2)設(shè)出直線AB,AC的方程及點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo),根據(jù)kAB+4kCD

7、=0找出四點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而可求出經(jīng)過(guò)的定點(diǎn).,【規(guī)范解答】(1)由點(diǎn)M(m,2)到拋物線焦點(diǎn)F的距離 為 ,結(jié)合拋物線的定義得, 即p=1,所以拋物線 的方程為x2=2y,把點(diǎn)M(m,2)的坐標(biāo)代入,可解得m=2.,(2)顯然直線AB,AC的斜率都存在,分別設(shè)AB,AC的方程 為y=k1x+b,y=k2x+ , 聯(lián)立 得x2-2k1x-2b=0, 聯(lián)立 得x2-2k2x-1=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),則x1x2=-2b,x1x3=-1,同理,x2x4=-1,故kAB+4kCD= 注意到點(diǎn)A,B在第一象限,x1+x20, 所以 =0故

8、得x1x2=4,-2b=4, 所以b=-2,即直線恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-2).,【一題多解】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 顯然直線AC,BD的斜率都存在,設(shè)AC的方程為y=kx+ , 聯(lián)立 得x2-2kx-1=0, 所以x1x3=-1,同理,x2x4=-1,故kAB+4kCD= 注意到點(diǎn)A,B在第一象限,x1+x20, 所以 故得x1x2=4,直線AB的方程為 化簡(jiǎn)得 即直線AB恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-2).,【規(guī)律方法】動(dòng)線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的兩大類(lèi)型及解法 (1)動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,解法:設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y=kx+t,由題設(shè)條件將t用k表示為t=mk,得y

9、=k(x+m),故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)(-m,0). (2)動(dòng)曲線C過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,解法:引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程,再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立,令其系數(shù)等于零,得出定點(diǎn).,【變式訓(xùn)練】(2016合肥二模)已知橢圓E: (ab0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2 ,2),且離心率為 ,F1,F2是橢圓E 的左,右焦點(diǎn). (1)求橢圓E的方程.,(2)若點(diǎn)A,B是橢圓E上關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)(A,B不是長(zhǎng)軸的端點(diǎn)),點(diǎn)P是橢圓E上異于A,B的一點(diǎn),且直線PA,PB分別交y軸于點(diǎn)M,N,求證:直線MF1與直線NF2的交點(diǎn)G在定圓上.,【解析】(1)由條件得a=4,b=c=2 ,所以橢圓E的方程 為 (2)設(shè)B(x0,y0),P(x1,y

10、1),則A(-x0,y0),直線PA的方程為 y-y1= (x-x1),令x=0,得y= 故 同理可得,所以, 所以,F1MF2N,所以直線F1M與直線F2N的交點(diǎn)G在以F1F2為直徑的圓上.,【加固訓(xùn)練】 已知橢圓C: (ab0)的離心率e= ,短軸長(zhǎng) 為2 .,(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)如圖,橢圓左頂點(diǎn)為A,過(guò)原點(diǎn)O的直線(與坐標(biāo)軸不重合)與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),直線PA,QA分別與y軸交于M,N兩點(diǎn).試問(wèn)以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(與直線PQ的斜率無(wú)關(guān))?請(qǐng)證明你的結(jié)論.,【解析】(1)由短軸長(zhǎng)為2 ,得b= , 由e= 得a2=4,b2=2. 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1.,

11、(2)以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)F( ,0). 證明如下:設(shè)P(x0,y0),則Q(-x0,-y0), 且 ,即 因?yàn)锳(-2,0),所以直線PA方程為:y= (x+2), 所以M(0, ), 直線QA方程為:y= (x+2),所以N(0, ),以MN為直徑的圓為 (x-0)(x-0)+(y- )(y- )=0, 即x2+y2- 因?yàn)閤02-4=-2y02，所以x2+y2+2 y-2=0, 令y=0,則x2-2=0,解得x= . 所以以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)F( ,0).,熱點(diǎn)考向二圓錐曲線中的定值問(wèn)題 命題解讀:以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為背景,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想以解答題為主,和對(duì)定值問(wèn)題的處理能

12、力,常涉及式子、面積的定值問(wèn)題.,【典例2】(2015全國(guó)卷)已知橢圓C:9x2+y2=m2 (m0),直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個(gè) 交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M. (1)證明:直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值. (2)若l過(guò)點(diǎn) 延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P,四邊形OAPB 能否為平行四邊形?若能,求此時(shí)l的斜率,若不能,說(shuō)明 理由.,【解題導(dǎo)引】(1)將直線y=kx+b(k0,b0)與橢圓C:9x2+y2=m2(m0)聯(lián)立,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式證明.(2)由四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分求解證明.,【解析】(1)設(shè)直線l:y=kx

13、+b(k0,b0), A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 將y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故 于是直線OM的斜率 即kOMk=-9,所以直 線OM的斜率與l的斜率的積是定值.,(2)四邊形OAPB能為平行四邊形. 因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn) 所以l不過(guò)原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的 充要條件是k0,k3. 由(1)得OM的方程為y= 設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP.,將點(diǎn) 的坐標(biāo)代入l的方程得 四邊形OAPB為平行四邊形,當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互 相平分,即xP=2xM. 于是 解得 因?yàn)閗i0,ki3,i=1,2,所以當(dāng)l的斜率為4- 或4+ 時(shí),

14、四邊形OAPB為平行四邊形.,【規(guī)律方法】求解定值問(wèn)題的兩大途徑 (1)首先由特例得出一個(gè)值(此值一般就是定值)然后證明定值:即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明待證式與參數(shù)(某些變量)無(wú)關(guān). (2)先將式子用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參數(shù)表示,再利用其滿足的約束條件使其絕對(duì)值相等的正負(fù)項(xiàng)抵消或分子、分母約分得定值.,【變式訓(xùn)練】(2016中原名校聯(lián)盟二模)已知橢圓C: (ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)B(0, ) 為短軸的一個(gè)端點(diǎn),OF2B=60. (1)求橢圓C的方程.,(2)如圖,過(guò)右焦點(diǎn)F2,且斜率為k(k0)的 直線l與橢圓C相交于D,E兩點(diǎn),A為橢圓的 右頂點(diǎn),直線AE,AD分別交直線x=3于點(diǎn)M

15、,N,線段MN的中點(diǎn)為P,記直線PF2的斜率為k.試問(wèn)kk是否為定值?若為定值,求出該定值;若不為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.,【解析】(1)由條件可知a=2,b= , 故所求橢圓方程為,(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F2(1,0)的直線l方程為:y=k(x-1). 由 可得:(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0因?yàn)辄c(diǎn) F2(1,0)在橢圓內(nèi),所以直線l和橢圓都相交,即0恒 成立.設(shè)點(diǎn)E(x1,y1),D(x2,y2), 則 因?yàn)橹本€AE的方程為: y= (x-2),直線AD的方程為:y= (x-2),令x=3,可得 所以點(diǎn)P的坐標(biāo) 直線PF2的斜率為k=,所以kk為定值- .,【加固訓(xùn)練】如圖所示,在平面直角

16、坐標(biāo) 系xOy中,設(shè)橢圓E: =1(ab0),其中 b= a,過(guò)橢圓E內(nèi)一點(diǎn)P(1,1)的兩條直線分別與橢圓 交于點(diǎn)A,C和B,D,且滿足 其中為正 常數(shù).當(dāng)點(diǎn)C恰為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí),對(duì)應(yīng)的= .,(1)求橢圓E的離心率. (2)求a與b的值. (3)當(dāng)變化時(shí),kAB是否為定值?若是,請(qǐng)求出此定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.,【解題導(dǎo)引】(1)由b= a求離心率. (2)由 時(shí),C為橢圓的右頂點(diǎn),求點(diǎn)A坐標(biāo),代入橢圓方程,求a,b. (3)設(shè)出點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo),利用點(diǎn)差法求kAB與kCD,再根據(jù)kAB=kCD求解.,【解析】(1)因?yàn)閎= a,所以b2= a2, 得a2-c2= a2,所以e2=

17、 ,e= . (2)因?yàn)镃(a,0),= ,所以由 得 將它代入到橢圓方程中, 得 解得a=2(負(fù)值舍去), 所以a=2,b= .,(3)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 由 得 同理 將A,B坐標(biāo)代入橢圓方程得 兩式相減得3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,即3(x1+x2)+4(y1+y2)kAB=0, 同理,3(x3+x4)+4(y3+y4)kCD=0,而kAB=kCD,所以3(x3+x4)+4(y3+y4)kAB=0, 所以3(x3+x4)+4(y3+y4)kAB=0, 所以3(x1+x3+x2+x4)+4(y1

18、+y3+y2+y4)kAB=0,即 6(1+)+8(1+)kAB=0,所以kAB=- 為定值.,熱點(diǎn)考向三圓錐曲線中的存在性問(wèn)題 命題解讀:以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為背景,考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.,命題角度一點(diǎn)、線的存在性問(wèn)題 【典例3】(2016臨汾二模)已知橢圓C: (ab0)的離心率為 ,以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長(zhǎng)半 軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線2x- y+6=0相切. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.,(2)已知點(diǎn)A,B為動(dòng)直線y=k(x-2)(k0)與橢圓C的兩個(gè) 交點(diǎn),問(wèn):在x軸上是否存在定點(diǎn)E,使得 為定值?若存在,試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.,【題目拆解】解答本

19、題第(2)問(wèn),可拆解成兩個(gè)小題: 假設(shè)存在定點(diǎn)E(m,0),把 用k,m表示; 尋找滿足定值需要的條件.,【規(guī)范解答】(1)由e= 得 即c= a, 又以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓為 x2+y2=a2且與直線2x- y+6=0相切, 所以a= 代入得c=2, 所以b2=a2-c2=2.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為,(2)由 得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以 根據(jù)題意,假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)E(m,0), 使得 為定值.,則 =(x1-m,y1)(x2-m,y2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2 =(k2+1)x1x2-(2

20、k2+m)(x1+x2)+(4k2+m2) 要使上式為定值,即與k無(wú)關(guān),3m2-12m+10=3(m2-6), 得m= .,此時(shí), 所以在x軸上存在定點(diǎn) E 使得 為定值,值為- .,命題角度二字母參數(shù)值的存在性問(wèn)題 【典例4】(2016長(zhǎng)沙二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,已知F1,F2分別是橢圓E: (ab0)的左、 右焦點(diǎn),A,B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn),D(1,0)為線段 OF2的中點(diǎn),且,(1)求橢圓E的方程. (2)若M為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)(異于點(diǎn)A,B),連接MF1并延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)N,連接MD,ND并分別延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)P,Q,連接PQ,設(shè)直線MN,PQ的斜率存在且分別為k1

21、,k2.試問(wèn)是否存在常數(shù),使得k1+k2=0恒成立?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.,【解題導(dǎo)引】(1)根據(jù)條件D(1,0)為線段OF2的中點(diǎn),且 以及a2=b2+c2,即可求解.(2)將直線MD的方 程與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可建立k1,k2 所滿足的一個(gè)關(guān)系式,從而可探究的存在性.,【規(guī)范解答】(1)因?yàn)?,所以 因?yàn)閍+c=5(a-c),化簡(jiǎn)得2a=3c,點(diǎn)D(1,0)為線段OF2的 中點(diǎn),所以c=2,從而a=3,b= ,左焦點(diǎn)F1(-2,0),故橢圓 E的方程為,(2)存在滿足條件的常數(shù),=- ,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), P(x3,y3),Q(x4,y4),則直線MD的方程為x= 代入橢 圓方程 整理得, 所以y1+y3= 所