福建省福州市八縣（市、區(qū)）一中2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）

1、 整理于網(wǎng)絡(luò) 可修改福建省福州市八縣（市、區(qū)）一中2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）第卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）1.已知命題，使得，則為（ ）A. ，總有B. ，總有C. ,使得D. ，使得【答案】B【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題進(jìn)行求解即可【詳解】命題是特稱命題，則命題的否定是總有成立,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查含有量詞的命題的否定，根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題是解決本題的關(guān)鍵屬于基礎(chǔ)題2.已知中心在原點(diǎn)的等軸雙曲線，右頂點(diǎn)為，則雙曲線的焦距等于（ ）A. B. C. D. 【答

2、案】C【解析】【分析】根據(jù)等軸雙曲線的定義,右頂點(diǎn)以及雙曲線中的關(guān)系式,計(jì)算可求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線,所以,因?yàn)橛翼旤c(diǎn)為,所以,所以焦距.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了等軸雙曲線的定義,雙曲線的幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.3.不等式的一個(gè)必要不充分條件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式得,根據(jù)充分,必要條件的概念分析可求解.【詳解】由不等式得,解得,因?yàn)?,所以選項(xiàng)為充要條件,因?yàn)?所以選項(xiàng)為充分不必要條件,因?yàn)?且,所以選項(xiàng)是既不充分也不必要條件,因?yàn)?所以選項(xiàng)是必要不充分條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了必要不充分條件,屬于基礎(chǔ)題.4.下列命題中正

3、確的是（ ）A. 命題“若，則”的否命題為“若，則”；B. 命題“若平面向量共線，則方向相同”的逆否命題為假命題；C. 命題“若或，則”是真命題；D. 命題“若，則中至少有一個(gè)大于等于”的逆命題是真命題.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)寫否命題時(shí),既要否定條件,又要否定結(jié)論可知,不正確;根據(jù)原命題為假命題且逆否命題與原命題同真假可知,正確;根據(jù)逆否命題為假且原命題與逆否命題同真假可知,不正確;根據(jù)否命題為假命題且逆命題與否命題同真假可知,不正確.【詳解】對(duì)于,命題“若，則”的否命題為“若，則”,故不正確;對(duì)于,因?yàn)闀r(shí),滿足向量共線,但是不能說(shuō)方向相同,所以命題“若平面向量共線，則方向相同”是假命

4、題,所以其逆否命題也是假命題,故正確;對(duì)于,因?yàn)槊}“若或，則”的逆否命題”若,則且”是假命題,所以原命題也是假命題,故不正確;對(duì)于,因?yàn)槊}“若，則中至少有一個(gè)大于等于”的否命題”若,則都小于2”是假命題,所以逆命題也是假命題,故不正確.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了四種命題及其真假的判斷,屬于基礎(chǔ)題.5.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得到后,討論焦點(diǎn)的位置可得橢圓方程.【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng),短半軸長(zhǎng),半焦距分別為, 因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分,所

5、以,所以,所以,當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.6.如圖所示，在平行六面體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且.用表示向量的結(jié)果是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形,向量減法的三角形法則可得.【詳解】如圖所示:因?yàn)?.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的平行四邊形,向量減法的三角形法,屬于基礎(chǔ)題.7.空間四邊形中若則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則以及平面向量的數(shù)量積計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?,因?yàn)?所以,所以,故

6、選:B【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的三角形法則以及平面向量的數(shù)量積,屬于基礎(chǔ)題.8.已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用拋物線的定義,得=,再利用兩點(diǎn)之間連線段最短可得.【詳解】如圖所示:設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,則,因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線,且在線段上時(shí),取得等號(hào).故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,屬于基礎(chǔ)題.9.如圖，在正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，記為異面直線與所成的角，則的集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分別以邊所在直線為軸,軸,軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：設(shè)正方體

7、邊長(zhǎng)為1,，并能確定以下幾點(diǎn)坐標(biāo):;故選A10.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，點(diǎn)是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且垂直軸，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分別在雙曲線和拋物線中求出的坐標(biāo)為和,由此列式可求得.【詳解】不妨設(shè)在第一象限內(nèi),則在雙曲線中,在拋物線中,所以,且,所以,所以,所以,所以,所以或(舍).故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.11.已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為點(diǎn)，則的面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程可知焦點(diǎn)在軸上,所以,再聯(lián)立橢圓與雙曲線方

8、程解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值,然后利用面積公式可求得.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上,所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上,所以,即,聯(lián)立 ,所以,所以,所以,所以 ,所以,即點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為, 又,所以的面積為.故選:C點(diǎn)睛】本題考查了橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)問(wèn)題,三角形面積公式,屬于中檔題.12.已知橢圓的內(nèi)接的頂點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，右焦點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，且,則橢圓離心率的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè),所以,根據(jù)定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得弦的中點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)弦的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)列不等式可解得.【詳解】設(shè),因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得,化簡(jiǎn)得,所以弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為,根據(jù)弦

9、的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)可得,所以,所以,又離心率,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì),定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式,點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系,橢圓的離心率,屬于中檔題.第卷二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案填在答題卡相應(yīng)位置）13.命題“”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_.【答案】【解析】【分析】依題意列式或且,可解得.【詳解】因?yàn)槊}“”是真命題,所以對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立,所以或且,所以或,綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式恒成立,分類討論思想,屬于基礎(chǔ)題.14.雙曲線的一條弦恰被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是_.【答案】【解析】【分析】設(shè)弦為,

10、將的坐標(biāo)代入橢圓方程作差,可求出弦的斜率,再由點(diǎn)斜式可解得.【詳解】設(shè)弦為,所以,所以,所以,又弦的中點(diǎn)為,所以,所以,由點(diǎn)斜式得弦所在直線的方程為:,即.故答案為: .【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)差法求弦的斜率,直線方程的點(diǎn)斜式,屬于基礎(chǔ)題.15.已知A、B是過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線的交點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足，則的值為_【答案】【解析】【分析】由題意首先求得傾斜角的三角函數(shù)值，然后結(jié)合面積公式和三角函數(shù)的定義可得p的值.【詳解】設(shè)焦點(diǎn)弦的傾斜角為，由拋物線焦點(diǎn)弦的焦半徑公式可知：，故：，解得：，故，設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為h，則，由三角函數(shù)的定義可得：，即，解得：.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的焦

11、半徑公式，拋物線中的三角形問(wèn)題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16.如圖所示，在直四棱柱中，底面為菱形，且，為側(cè)棱的中點(diǎn)，分別是線段和線段上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，且滿足，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中正確的序號(hào)是_.在內(nèi)總存在與平面平行的線段；平面平面；三棱錐的體積為定值；可能為直角三角形.【答案】【解析】【分析】對(duì)于,取的中點(diǎn),則可證就是滿足條件的線段;對(duì)于,可證與平面垂直,再由平面與平面垂直的判定定理可證;對(duì)于,可用等體積法求得三棱錐的體積為定值;對(duì)于, 設(shè),可求得三角形三邊長(zhǎng),再用余弦定理判斷三角形不可能是直角三角形.【詳解】如圖所示:取的中點(diǎn),的中點(diǎn),的中點(diǎn),連,對(duì)于,根據(jù)梯形中位線有

12、,又,所以,所以四邊形為平行四邊形,所以,又平面,平面,所以平面,故正確;對(duì)于,在直四棱柱中，底面為菱形，,所以,又直四棱柱的側(cè)面與底面垂直,所以平面,而,所以平面,因?yàn)槠矫?所以平面平面,故正確,對(duì)于,設(shè),則為定值,故正確;對(duì)于, 設(shè),則,因?yàn)?所以為等腰三角形,所以不可能為直角,又 ,因?yàn)?所以或時(shí), 取得最小值,最小值為,所以,所以0,所以恒為銳角,不可能為直角,故不正確.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定定理,面面垂直的判定定理,等體積法求體積,余弦定理判斷三角形形狀,屬于中檔題.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.若命題實(shí)數(shù)滿

13、足，命題實(shí)數(shù)滿足.（1）當(dāng)且為真命題時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1) 為真命題時(shí),與都是真命題,用和或取公共部分即可得到;(2)利用真子集關(guān)系列式即可得到.【詳解】解：（1）由，得,當(dāng)時(shí)，由，得或,或,為真命題，真且真,實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）因?yàn)?，?得,設(shè),是的必要不充分條件，,又,實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法,命題的真假,必要不充分條件,屬于中檔題.18.（1）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且漸近線方程為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）在圓上任取一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足，當(dāng)點(diǎn)

14、在該圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù),聯(lián)立解方程組可解得,從而可得;(2)設(shè)出的坐標(biāo)為,根據(jù)中點(diǎn)公式可得的坐標(biāo),再將的坐標(biāo)代入橢圓方程可得.【詳解】解：（1）依題可知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則設(shè)其方程為：，且雙曲線的漸近線方程為,即又，由得得雙曲線方程為：（2）設(shè)軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則依題意可知點(diǎn)坐標(biāo)為的中點(diǎn)為，即點(diǎn)圓上運(yùn)動(dòng)，,所以,，經(jīng)檢驗(yàn)所求方程符合題意,點(diǎn)的軌跡方程為【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,代入法求曲線的軌跡方程,屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，是線段的中點(diǎn). (1)求證：平面； (2)求

15、二面角的大小.【答案】（）見(jiàn)解析（）【解析】試題分析：（1）證明線面平行常用方法：一是利用線面平行的判定定理，二是利用面面平行的性質(zhì)定理，三是利用面面平行的性質(zhì)；（2)把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;(3）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問(wèn)題代數(shù)化同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備試題解析：（I）記與的交點(diǎn)為，連接，、分別是的中點(diǎn)，是矩形四邊形是平行四邊形，平面平面，平面6分（）在平面中過(guò)作于，連接，平面，是在平面上的射影，由三垂線定理點(diǎn)得是二面角的

16、平面角，在中，二面角的大小為8分另解：以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)與交于點(diǎn)，則（I）易得：，則，由面，故面；（）取面的一個(gè)法向量為，面的一個(gè)法向量為，則，故二面角的大小為考點(diǎn)：證明線面平行及求二面角20.已知拋物線的方程為，上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.（1）求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，設(shè),求證:是定值.【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)利用拋物線的定義列式可解得,可得拋物線,令,可得的值;(2) 設(shè)直線的方程為,并代入拋物線,由韋達(dá)定理以及向量關(guān)系可解得.【詳解】解：（1）依題意得拋物線的

17、準(zhǔn)線為，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，由拋物線的定義可得，拋物線的方程為，.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不符合題意，故直線的斜率必存在且不為.直線過(guò)點(diǎn),設(shè)直線的方程為，當(dāng)時(shí),，點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè),由,得，整理得,，,，,，即同理可得,即是定值.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,直線與拋物線的位置關(guān)系,韋達(dá)定理,向量的線性運(yùn)算,屬于中檔題.21.如圖所示，等腰梯形中,，為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置（平面）（1）證明：平面平面；（2）若，試判斷線段上是否存在一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值;若不存在，說(shuō)明理由【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，使直線

18、與平面所成角的正弦值為，【解析】【分析】(1)利用線面垂直的判定定理證平面POB,利用面面垂直的判定定理證平面POB平面ABCE可得;(2)利用證明OPOB,然后以O(shè)為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量可求得直線與平面所成角的正弦值,根據(jù)已知列等式可解得.【詳解】解：（1）證明：連接,在等腰梯形ABCD中，為中點(diǎn)，四邊形為菱形，AE，即,且平面平面，AE平面POB又AE平面ABCE，平面POB平面ABCE（2）由（1）可知四邊形為菱形，在等腰梯形ABCD中正三角形同理,OPOB，由（1）可知，以O(shè)為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，各點(diǎn)坐標(biāo)為，,，設(shè),設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則，即,取，得，所以(0，1，),設(shè)直線與平面所成角為，則，即,化簡(jiǎn)得：，解得,存在點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，使直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的判定,平面與平面垂直的判定,線面角的向量求法,屬于中檔題.22.已知橢圓的離心率為，橢圓截直線所得線段的長(zhǎng)度為.過(guò)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線分別交軸于兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）求線段長(zhǎng)度的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（1）（2）取得最大值，此時(shí)點(diǎn)P位置是橢圓的左頂點(diǎn)【解析】【分析】(1)根據(jù)離心率為,橢圓截直線所得線段的長(zhǎng)度為,列式可解得;(2)先求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取