17導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法

1、第17講 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法一、專題綜述導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識(shí)，是研究函數(shù)，解決實(shí)際問題的有力工具。在高中階段對(duì)于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，主要是以下幾個(gè)方面:1導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問題：（1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細(xì)微）；（2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）；（3）應(yīng)用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡便）等關(guān)于次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)問題屬于較難類型。2關(guān)于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項(xiàng)討論，導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡便。3導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個(gè)方向，應(yīng)引起注意。二、知識(shí)整合1導(dǎo)數(shù)概念的理解2利用導(dǎo)數(shù)判別可導(dǎo)函數(shù)的

2、極值的方法及求一些實(shí)際問題的最大值與最小值復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是微積分中的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容。課本中先通過實(shí)例，引出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，接下來對(duì)法則進(jìn)行了證明。3要能正確求導(dǎo)，必須做到以下兩點(diǎn)：（1）熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及和、差、積、商的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。（2）對(duì)于一個(gè)復(fù)合函數(shù)，一定要理清中間的復(fù)合關(guān)系，弄清各分解函數(shù)中應(yīng)對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)。4求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：(1）適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系；（2）分步求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)）；（3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。也就是說，首先，選定中間變量，分解復(fù)合關(guān)系，說明

3、函數(shù)關(guān)系y=f()，=f(x)；然后將已知函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)，中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)；最后求，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個(gè)過程可簡記為分解求導(dǎo)回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。三、例題分析例1 在處可導(dǎo)，則 思路： 在處可導(dǎo)，必連續(xù) 例2已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f(a)=b，求下列極限：（1）； （2）分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量x的形式是多種多樣，但不論x選擇哪種形式，y也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。解：（1）（2）說明：只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題

4、。解決這類問題的關(guān)鍵是等價(jià)變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。例3觀察，是否可判斷，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。解：若為偶函數(shù) 令 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù) 另證： 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)例4（1）求曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程；（2）運(yùn)動(dòng)曲線方程為，求t=3時(shí)的速度。分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率。瞬時(shí)速度是位移函數(shù)S(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。解：（1），即曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率k=0因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1（2）。例5 求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間（1）

5、（2）（3） （4）解：（1） 時(shí) ， （2） ，（3） ， ，（4） 定義域?yàn)?例6求證下列不等式（1） （2） （3） 證：（1） 為上 恒成立 在上 恒成立（2）原式 令 （3）令 例7利用導(dǎo)數(shù)求和：（1）；（2）。分析：這兩個(gè)問題可分別通過錯(cuò)位相減法及利用二項(xiàng)式定理來解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式，可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可使問題的解決更加簡捷。解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，；當(dāng)x1時(shí)，兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得即（2），兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得。令x=1得，即。例8設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能

6、力. 解：. 當(dāng)時(shí) .（i）當(dāng)時(shí)，對(duì)所有，有.即，此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增.（ii）當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，即，此時(shí)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù)在x=1處連續(xù)，因此，函數(shù)在（0，+）內(nèi)單調(diào)遞增（iii）當(dāng)時(shí)，令，即.解得.因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)也單調(diào)遞增.令，解得.因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.例9已知拋物線與直線y=x+2相交于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的切線分別為和。（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）求直線與的夾角。分析：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。解 （1）由方程組 解得 A(-2，0)，B(3，5)（2）由y=2x，則，。設(shè)兩直線的夾角為，根據(jù)兩直線的夾角公式， 所以說明：本例中直

7、線與拋物線的交點(diǎn)處的切線，就是該點(diǎn)處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對(duì)值符號(hào)。例10（2001年天津卷）設(shè)，是上的偶函數(shù)。（I）求的值； （II）證明在上是增函數(shù)。解：（I）依題意，對(duì)一切有，即，對(duì)一切成立，由此得到， 又，。（II）證明：由，得，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)。在上是增函數(shù)。四、04年高考導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題型集錦1（全國卷10）函數(shù)y=xcosx-sinx在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（ ） A () B (,2) C () D (2,3)2（全國卷22）（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函數(shù)f(x)的最大值；(ii)設(shè)0ab,證明0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.3.(天津卷9)函數(shù))為增函數(shù)的區(qū)間是(A) (B) (C) (D)4.（天津卷20）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)在處取得極值。(I)討論和是函數(shù)的極大值還是極小值；(II)過點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程。（江蘇卷10）函數(shù)在閉區(qū)間-3，0上的最大值、最小值分別是 ( )(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-19（浙江卷11）設(shè)f (x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=f