函數(shù)零點易錯題、三角函數(shù)重難點(教師版)

1、. 函數(shù)零點易錯題 三角函數(shù)重難點 教師版函數(shù)的零點是函數(shù)圖象的一個重要的特征，同時也溝通了函數(shù)、方程、不等式以及算法等內(nèi)容，在分析解題思路、探求解題方法中起著重要的作用，因此要重視對函數(shù)零點的學(xué)習(xí)下面就函數(shù)的零點判定中的幾個誤區(qū)進行剖析，希望對大家有所幫助1 因望文生義而致誤例函數(shù)的零點是（），錯解：錯解剖析：錯誤的原因是沒有理解零點的概念，望文生義，認為零點就是一個點而函數(shù)的零點是一個實數(shù)，即使成立的實數(shù)，也是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標正解：由得，和，所以選點撥：求函數(shù)的零點有兩個方法，代數(shù)法：求方程的實數(shù)根，幾何法：由公式不能直接求得，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，函數(shù)的圖象與軸交點的橫

2、坐標即使所求2 因函數(shù)的圖象不連續(xù)而致誤例函數(shù)的零點個數(shù)為（）錯解：因為，所以，函數(shù)有一個零點，選錯解剖析：分析函數(shù)的有關(guān)問題首先考慮定義域，其次考慮函數(shù)的圖象是不是連續(xù)的，這里的函數(shù)圖像是不連續(xù)的，所以不能用零點判定定理正解：函數(shù)的定義域為，當時，當時，所以函數(shù)沒有零點也可由得方程無實數(shù)解點撥：對函數(shù)零點個數(shù)的判定，可以利用零點存在性定理來判定，涉及多個零點的往往借助于函數(shù)的單調(diào)性若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即,則在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)至少有一個零點，即相應(yīng)的方程在區(qū)間至少有一個實數(shù)解然而對于函數(shù)的，若滿足，則在區(qū)間內(nèi)不一定有零點；反之，在區(qū)間內(nèi)有零點也不一定有前

3、者是因為圖象不連續(xù)，后者是因為方程有重根如下圖所示：3 因函數(shù)值同號而致誤例判定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否有零點錯解：因為，所以，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點錯解剖析：上述做法錯誤地用了函數(shù)零點判定定理，因為函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)圖像是連續(xù)曲線，且，也可能在內(nèi)有零點如函數(shù)在區(qū)間上有，但在內(nèi)有零點正解：當時，函數(shù)在上的圖象與軸沒有交點，即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點法二：由得，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點點撥：對有些函數(shù)，即使它的圖象是連續(xù)不斷的，當它通過零點時，函數(shù)值也不一定變號如函數(shù)有零點，（如上圖）但函數(shù)值沒變號對函數(shù)零點的判定一定要抓住兩點：函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)曲線，在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即4 因忽略區(qū)間端點而致

4、誤例已知二次函數(shù)在上有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍錯解：由函數(shù)的零點的性質(zhì)得，即，解得所以實數(shù)的取值范圍為錯解剖析：錯解的原因是只注意到函數(shù)零點的應(yīng)用，而忽略問題的其它形式：在上有二重根；終點的函數(shù)值可能為正解：當方程在上有兩個相等實根時，且，此時無解當方程有兩個不相等的實根時， 有且只有一根在上時，有，即，解得當時，解得，合題意當時，方程可化為，解得合題意綜上所述，實數(shù)的取值范圍為點撥：在求參數(shù)時，要注意將函數(shù)零點的特殊性質(zhì)與函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)相結(jié)合，進行分類討論使復(fù)雜的問題簡單化本文已在學(xué)苑新報上發(fā)表方程的根與函數(shù)的零點1函數(shù)的零點為（ ）A、 B、 C、 D、不存在2函數(shù)的零點個數(shù)為（

5、）A、0 B、1 C、2 D、33. 函數(shù)的零點一定位于區(qū)間（ ）. A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5)1.C 2.D 3.易知函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù).，. ，即函數(shù)的零點在區(qū)間(2,3). 所以選B.4. 求證方程在內(nèi)必有一個實數(shù)根.4. 證明：設(shè)函數(shù). 由函數(shù)的單調(diào)性定義，可以證出函數(shù)在是減函數(shù).而，即，說明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，且只有一個. 所以方程在內(nèi)必有一個實數(shù)根.點評：等價轉(zhuǎn)化是高中數(shù)學(xué)解題中處理問題的一種重要思想，它是將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，每個問題的求解過程正是這樣一種逐步的轉(zhuǎn)化. 此題可變式為研究方程的實根個數(shù).5. （1）

6、若方程在內(nèi)恰有一解,則實數(shù)的取值范圍是 .（2）已知函數(shù)，若在上存在，使，則實數(shù)m的取值范圍是 .5. 解：（1）設(shè)函數(shù)，由題意可知，函數(shù)在內(nèi)恰有一個零點. ， 解得. （2）在上存在，使， 則， ，解得. 所以， 實數(shù)m的取值范圍是.6. 已知關(guān)于x的方程x22mx2m3=0的兩個不等實根都在區(qū)間（0，2）內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍6. 解：令有圖像特征可知方程f（x）=0的兩根都在（0，2）內(nèi)需滿足的條件是解得。7. 已知函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|-a分別滿足下列條件，求實數(shù)a的取值范圍.(1) 函數(shù)有兩個零點; (2)函數(shù)有三個零點; (3)函數(shù)有四個零點.7. 因為函數(shù)f(x)=|x

7、2-2x-3|-a的零點個數(shù)不易討論，所以可轉(zhuǎn)化為方程|x2-2x-3|-a=0根的個數(shù)來討論，即轉(zhuǎn)化為方程|x2-2x-3|=a的根的個數(shù)問題,再轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|與函數(shù)f(x)=a交點個數(shù)問題.解：設(shè)f(x)=|x2-2x-3|和f(x)=a分別作出這兩個函數(shù)的圖象(圖3-1-1-5)，它們交點的個數(shù)，即函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|-a的零點個數(shù). (1)若函數(shù)有兩個零點，則a=0或a4.(2)若函數(shù)有三個零點，則a=4.(3)函數(shù)有四個零點,則0a4.8. 已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d有三個零點，分別是0、1、2,如圖所示，求證:b0.8.證：因為f

8、(0)=f(1)=f(2)=0,所以d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0.所以a=,c=b.所以f(x)=x(x2-3x+2)=x(x-1)(x-2).當x0時，f(x)0，所以b2時,f(x)0,所以a0.比較同次項系數(shù)，得b=-3a.所以b0. 三角函數(shù)的主要考點是：三角函數(shù)的概念和性質(zhì)（單調(diào)性，周期性，奇偶性，最值），三角函數(shù)的圖象，三角恒等變換（主要是求值），三角函數(shù)模型的應(yīng)用，正余弦定理及其應(yīng)用，平面向量的基本問題及其應(yīng)用題型1 三角函數(shù)的最值：最值是三角函數(shù)最為重要的內(nèi)容之一，其主要方法是利用正余弦函數(shù)的有界性，通過三角換元或者是其它的三角恒等變換轉(zhuǎn)化問題例1 若是三角形的最

9、小內(nèi)角，則函數(shù)的最大值是（）A B CD分析：三角形的最小內(nèi)角是不大于的，而，換元解決解析：由，令而，得又，得，得，有選擇答案D點評：涉及到與的問題時，通常用換元解決解法二：，當時，選D。例2已知函數(shù)，且 （1）求實數(shù)，的值；（2）求函數(shù)的最大值及取得最大值時的值分析：待定系數(shù)求，；然后用倍角公式和降冪公式轉(zhuǎn)化問題解析：函數(shù)可化為 （1）由，可得，所以， （2），故當即時，函數(shù)取得最大值為點評：結(jié)論是三角函數(shù)中的一個重要公式，它在解決三角函數(shù)的圖象、單調(diào)性、最值、周期以及化簡求值恒等式的證明中有著廣泛應(yīng)用，是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的工具，是聯(lián)系三角函數(shù)問題間的一條紐帶，是三角函數(shù)部分高考命題的重點內(nèi)容題型2

10、 三角函數(shù)的圖象：三角函數(shù)圖象從“形”上反應(yīng)了三角函數(shù)的性質(zhì)，一直是高考所重點考查的問題之一例3（2009年福建省理科數(shù)學(xué)高考樣卷第8題）為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A向左平移個長度單位B向右平移個長度單位C向左平移個長度單位D向右平移個長度單位分析：先統(tǒng)一函數(shù)名稱，在根據(jù)平移的法則解決解析：函數(shù)，故要將函數(shù)的圖象向左平移個長度單位，選擇答案A例4 （2008高考江西文10）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象是20090318分析：分段去絕對值后，結(jié)合選擇支分析判斷解析：函數(shù)結(jié)合選擇支和一些特殊點，選擇答案D點評：本題綜合考察三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當不注意正切函數(shù)的定義域或是函數(shù)分段不準確時，就會解錯這

11、個題目題型3 用三角恒等變換求值：其主要方法是通過和與差的，二倍角的三角變換公式解決例5 （2008高考山東卷理5）已知，則的值是ABCD 分析：所求的，將已知條件分拆整合后解決解析：C ，所以點評：本題考查兩角和與差的正余弦、誘導(dǎo)公式等三角函數(shù)的知識，考查分拆與整合的數(shù) 學(xué)思想和運算能力解題的關(guān)鍵是對的分拆與整合例6（2008高考浙江理8）若則=A B C D分析：可以結(jié)合已知和求解多方位地尋找解題的思路方法一：，其中，即，再由知道，所以，所以 方法二：將已知式兩端平方得方法三：令，和已知式平方相加得，故，即，故方法四：我們可以認為點在直線上，而點又在單位圓上，解方程組可得，從而這個解法和用

12、方程組求解實質(zhì)上是一致的 方法五：只能是第三象限角，排除CD，這時直接從選擇支入手驗證，由于計算麻煩，我們假定，不難由同角三角函數(shù)關(guān)系求出，檢驗符合已知條件，故選B點評：本題考查利用三角恒等變換求值的能力，試題的根源是考生所常見的“已知，求的值（人教A版必修4第三章復(fù)習(xí)題B組最后一題第一問）”之類的題目 ，背景是熟悉的，但要解決這個問題還需要考生具有相當?shù)闹R遷移能力題型4 正余弦定理的實際應(yīng)用：這類問題通常是有實際背景的應(yīng)用問題，主要表現(xiàn)在航海和測量上，解決的主要方法是利用正余弦定理建立數(shù)學(xué)模型例7（2008高考湖南理19）在一個特定時段內(nèi)，以點為中心的海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域點正北海里處

13、有一個雷達觀測站某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點北偏東且與點相距海里的位置，經(jīng)過分鐘又測得該船已行駛到點北偏東 (其中，)且與點相距海里的位置 （1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由分析：根據(jù)方位角畫出圖形，如圖第一問實際上就是求的長，在中用余弦定理即可解決；第二問本質(zhì)上求是求點到直線的距離，即可以用平面解析幾何的方法，也可以通過解三角形解決解析：（1）如圖， ， ，由于，所以由余弦定理得所以船的行駛速度為（海里/小時）（2）方法一 ： 如上面的圖所示，以為原點建立平面直角坐標系，設(shè)點的坐標分別是，與軸的交點為由

14、題設(shè)有， ，所以過點的直線的斜率，直線的方程為又點到直線的距離，所以船會進入警戒水域解法二： 如圖所示，設(shè)直線與的延長線相交于點在中，由余弦定理得，=從而在中，由正弦定理得，由于，所以點位于點和點之間，且過點作于點，則為點到直線的距離在中，所以船會進入警戒水域點評：本題以教材上所常用的航海問題為背景，考查利用正余弦定理解決實際問題的能力，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)坐標方位畫出正確的解題圖 本題容易出現(xiàn)兩個方面的錯誤，一是對方位角的認識模糊，畫圖錯誤；二是由于運算相對繁瑣，在運算上出錯題型5 三角函數(shù)與平面向量的結(jié)合：三角函數(shù)與平面向量的關(guān)系最為密切，這二者的結(jié)合有的是利用平面向量去解決三角函數(shù)問題，

15、有的是利用三角函數(shù)去解決平面向量問題，更多的時候是平面向量只起襯托作用，三角函數(shù)的基本問題才是考查的重點例8（2009年杭州市第一次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測理科第18題）已知向量，（），令，且的周期為(1) 求的值；(2)寫出在上的單調(diào)遞增區(qū)間分析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的計算公式將函數(shù)的解析式求出來，再根據(jù)的周期為就可以具體確定這個函數(shù)的解析式，下面只要根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識解決即可解析：(1) ，的周期為 ， ， (2) 由于，當（）時，單增， 即（），在上的單調(diào)遞增區(qū)間為點評：本題以平面向量的數(shù)量積的坐標運算為入口，但本質(zhì)上是考查的三角函數(shù)的性質(zhì)，這是近年來高考命題的一個熱點例9 （2009江蘇

16、泰州期末15題）已知向量，且 （1）求的值；（2）求的值分析：根據(jù)兩個平面向量垂直的條件將問題轉(zhuǎn)化為一個三角函數(shù)的等式，通過這個等式探究第一問的答案，第一問解決后，借助于這個結(jié)果解決第二問解析：（1），而，故，由于，解得，或，故（舍去）（2），由，求得，（舍去）， 點評：本題以向量的垂直為依托，實質(zhì)上考查的是三角恒等變換在解題要注意角的范圍對解題結(jié)果的影響題型6 三角形中的三角恒等變換：這是一類重要的恒等變換，其中心點是三角形的內(nèi)角和是，有的時候還可以和正余弦定理相結(jié)合，利用這兩個定理實現(xiàn)邊與角的互化，然后在利用三角變換的公式進行恒等變換，是近年來高考的一個熱點題型例10（安徽省皖南八校200

17、9屆高三第二次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)17題）三角形的三內(nèi)角，所對邊的長分別為，設(shè)向量，若，（1）求角的大??；（2）求的取值范圍分析：根據(jù)兩個平面向量平行的條件將向量的平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形邊的關(guān)系，結(jié)合余弦定理解決第一問，第一問解決后，第二問中的角就不是獨立關(guān)系了，可以用其中的一個表達另一個，就把所要解決的問題歸結(jié)為一個角的三角函數(shù)問題解析：（1）， 由余弦定理，得（2）， 點評：本題從平面向量的平行關(guān)系入手，實質(zhì)考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等變換，解決三角形中的三角恒等變換要注意三角形內(nèi)角和定理和角的范圍對結(jié)果的影響題型7 用平面向量解決平面圖形中的問題：由于平面向量既有數(shù)的特征（能進行類似數(shù)的運

18、算）又具有形的特征，因此利用平面向量去解決平面圖形中的問題就是必然的了，這在近年的高考中經(jīng)常出現(xiàn)考試大綱明確指出用會用平面向量解決平面幾何問題例11. 如圖，已知點 是的重心，點在上，點在上，且過 的重心，試證明為常數(shù)，并求出這個常數(shù)分析：根據(jù)兩向量共線的充要條件和平面向量基本定理，把題目中需要的向量用基向量表達出來，本題的本質(zhì)是點共線，利用這個關(guān)系尋找所滿足的方程解析：令，則，設(shè)的中點為， 顯然，因為是的重心，所以由、三點共線，有、共線，所以，有且只有一個實數(shù)，使 ，而，所以又因為、不共線，由平面向量基本定理得，消去，整理得，故結(jié)論得證這個常數(shù)是【點評】平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要工具，它有著廣

19、泛的應(yīng)用，用它解決平面幾何問題是一個重要方面，其基本思路是根據(jù)采用基向量或坐標把所要解決的有關(guān)的問題表達出來，再根據(jù)平面向量的有關(guān)知識加以處理課標區(qū)已把幾何證明選講列入選考范圍，應(yīng)引起同學(xué)們的注意題型8 用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)問題：導(dǎo)數(shù)是我們在中學(xué)里引進的一個研究函數(shù)的重要工具，利用導(dǎo)數(shù)探討三角函數(shù)問題有它極大的優(yōu)越性，特別是單調(diào)性和最值例12. 已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍分析：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在大于等于零恒成立解析：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則等價于不等式在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立， 從而在區(qū)間上恒成立， 而函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，所以為所求 點評：

20、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，是解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想意識本題如將化為的形式，則與有關(guān)，討論起來極不方便，而借助于導(dǎo)數(shù)問題就很容易解決題型9 三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用：將三角函數(shù)和其它的知識點相結(jié)合而產(chǎn)生一些綜合性的試題，解決這類問題往往要綜合運用我們的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想，全方位的多方向進行思考例13. 設(shè)二次函數(shù)，已知不論，為何實數(shù)，恒有和（1）求證： ；（2）求證：； （3）若函數(shù)的最大值為，求，的值分析：由三角函數(shù)的有界性可以得出，再結(jié)合有界性探求解析：（1）因為且恒成立，所以，又因為 且恒成立，所以， 從而知，即（2）由且恒成立得，即，將代如得，即（3），因為，所以當時， 由 ， 解得 ，點評：本題的關(guān)鍵是，由 利用正余弦函數(shù)的有界性得出，從而，使問題解決，這里正余弦函數(shù)的有界性在起了重要作用【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測】一、選擇題1若，