高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)_不等式的性質(zhì)與證明

1、要點重溫之不等式的性質(zhì)與證明1在不等式兩邊非負的條件下能同時平方或開方，具體的：當a0,b0時，abanbn；當a0,bba2b2|a|b|。在不等式兩邊同號的條件下能同時取倒數(shù)，但不等號的方向要改變，如：由或x2推得的應(yīng)該是：0x（別漏了“00即可。以下用“取倒數(shù)”求：3-f(x)3，分兩段取倒數(shù)即03-f(x)或3-f(x)0得301h(x)b,則ac2bc2；若ac2bc2,則ab；若ab,cd則a-db-c；若ab,則a3b3；若ab,則若ababb2；若ab|b|；若abb且,則a0,bab0,則；其中正確的命題是 。遷移若abc且a+b+c=0，則：a2ab，b2bc，bc0,則|

2、x-a|m和|y-a|m是|x-y|2m的A充分而不必要條件， B必要而不充分條件C充要條件 D既不是充分條件也不是必要條件。解析：|x-a|m且|y-a|m，則|x-y|=|x-a+a-y|x-a|+|y-a|2m；而當m=4,x=9,y=2,a=2時，|x-y|=7m,|x-a|m和|y-a|m是|x-y|2m的充分而不必要條件,選A。舉例2不等式|2x-log2x|0，不等式|2x-log2x|2x+|log2x|等價于：|2x-log2x|0log2x0x1 不等式的解集為（1，+)。鞏固1a,b都是非零實數(shù)，下列四個條件：|a+b|a|+|b|；|a+b|a|-|b|； |a|-|b

3、|a+b|； |a|-|b|0)始終平分圓x2+y2-4x-2y-8=0的周長，則的最小值為 。解析：圓心（2，1），“直線始終平分圓”即圓心在直線上，a+b=1,=,當且僅當a=b=時等號成立。舉例2正數(shù)a,b滿足a+3=b(a-1),則ab的最小值是 ，a+b的最大值是 。解析：ab=a+b+32+3-2-3039，當且僅當a=b=3時等號成立。a+b=ab-3-3 a+b6, 當且僅當a=b=3時等號成立。注：該方法的實質(zhì)是利用基本不等式將等式轉(zhuǎn)化為不等式后，解不等式；而不是直接用基本不等式放縮得到最值，因此不存在放縮后是否為定值的問題。鞏固1在等式中填上兩個自然數(shù)，使它們的和最小。鞏固

4、2某工廠第一年年產(chǎn)量為A，第二年的年增長率為，第三年的年增長率為，這兩年的平均增長率為，則（ ）ABCD遷移甲、乙兩人同時從寢室到教室，甲一半路程步行、一半路程跑步，乙一半時間步行、一半時間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則：A甲先到教室 B乙先到教室 C兩人同時到教室 D不能確定誰先到教室5比較大小的方法有：比差：判斷“差”的正負，因式分解往往是關(guān)鍵；比商：判斷“商”與1的大小，兩個式子都正才能比商，常用于指數(shù)式的比較；變形：如平方（需為正數(shù)）、有理化（根式的和、差）等；尋求中間變量，常見的有0，1等；數(shù)形結(jié)合。用定義證明單調(diào)性的過程就是已知自變量的大小比較函數(shù)值的大小的過程。舉例1

5、已知且，若則、的大小關(guān)系是（ ）AB C D解析：記x=, y=()2, 直接比較x、y的大小將大費周章，但： x=1,y=，xy，又0c1,。舉例2 x0是x的方程ax=logax(0a1)的解，則x0,1,a這三個數(shù)的大小關(guān)系是 。xyO11P解析：顯然方程ax=logax不能用代數(shù)方法研究。分別作函數(shù)y=ax及y=logax的圖象如右，它們的交點為P（x0，y0）,易見x01, y0 1，而y0=logax0即logax01,又0aa,即ax02，p=,q=,則：Apq Bpq與p=q都有可能 Dpq與p0時,f(x)1；判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性。6放縮法的方法有：添加或舍去一些項，如：；將分子或分母放大（或縮?。?；利用基本不等式，如：；等；利用常用結(jié)論：下列各式中（） （）； （） ； () ； 舉例已知a、b、c是ABC的三邊長，A=,B=,則：AAB, B AB, CAB DAB解析：B=A鞏固若nN,求證：遷移已知an=2n-1,數(shù)列an的前n項和為Sn，bn=,數(shù)列 bn的前n項和為Tn，求證：對一切自然數(shù)n，恒有Tn2。簡答1鞏固1